周末选读 │ 伽莫夫：从一到无穷大 ——科学中的事实和猜想（节选）

读者在读过以上的几十页文字后，一定觉得那些关于四维坐标的讨论太过晦涩难懂，为此，我深表歉意。现在，我邀请大家先到弯曲空间去散散步，换换心情。谁都知道什么是曲线，什么是曲面，但是“弯曲空间”对你来说又是什么呢？之所以很难想象出这样一种现象，并不主要因为受到固有概念不寻常性的影响，事实却是由于即使我们能从外部观察曲线和曲面，但三维空间的弯曲只能从内部进行观察，而矛盾的点就在于，我们就身处三维空间之内＊。为了理解三维空间里的人如何才能感知到他所处空间的曲率，我们需要先设定一个二维影子生物在平面以及曲面上生活的情况。在图31a和31b中，我们可以看到平面以及曲面（球面）这类“表面世界”，影子科学家正在研究其所处的二维空间的几何学特征。当然，可以用来研究的最简单的几何图就是三角形，即由连接三点的三条直线构成的图形。大家在高中几何课上都学过，平面上的任何一个三角形，其三个角的角度之和都是180度。但是，对于绘于球面上的任意三角形，这样的定理却是不适用的。实际上，一个球面三角形可由两条从极点发散出的地理子午线的部分构成，并且它们切割成的平行部分（此处借用了地理学上的概念）在基部相交形成了两个直角，同时还形成了一个角度分布于0到360度的顶角。比如在图31b中，这两个二维影子科学家正在研究的三角形，其三个角的角度之和就是210度，而非360度。由此可见，通过测量二维世界中的几何图形，这两个二维影子科学家不需要从外面进行观察，就可以探知到自己所处世界的曲率。＊译者注：此处大有“只缘身在此山中，当局者迷”之感。

弯曲空间与重力之谜

文 / 【美】伽莫夫

译 / 刘小君岳夏

选自《从一到无穷大：科学中的事实和猜想》

那么现在，将上述观察应用到一个增加了一维的世界，我们非常自然地就可以得出以下结论：生活在三维空间中的科学家只要测量自己所处空间中连接三个点的三条直线之间的夹角，就可以很容易地确定自己所在空间的曲率。若三个角之和为180度，那么空间是平坦的；否则，空间就一定是弯曲的。

但是在我们进一步论证之前，必须将直线这一表达的意思弄清楚才行。观察图31a和31b中的两个三角形，读者可能会说，平面上的三角形（图31a）之边都是真正的直线，而球面三角形（图31b）的边是服贴于球面的大圆弧，＊赤道和子午线均是这样的大圆。所以实际上，这些边是弯的。＊大圆指的是被一个通过球体中心的平面分割而得的圆。

图31　平面以及弯曲“表面世界”的二维科学家们用欧几里得定理检验各自所处空间中的三角形之和

这是基于我们的几何学常识而提出来的一种说法。这种说法否定了二维影子科学家对他们各自所处的二维空间发展的可能性。关于直线的概念需要一个普适的数学定义，以便它不仅能在欧几里得几何学中站得住脚，也能在平面的线段及更复杂的空间中寻到自己的立足点。这种概括可以通过将“直线”定义为表示两点之间最短距离的线来获得，该线与绘制它的表面或空间相符。通过对“直线”下定义，我们可以得到如下概括：直线表示的是曲面或空间内两点之间的最短距离。当然，在平面几何中，上述定义和我们认知里的直线概念是一致的，而在更复杂的情况下，比如说在曲面上，有一束符合定义的线，那么它们在这里所扮演的角色与欧几里得几何中普通“直线”所充当的角色相同。为避免产生误解，人们常把代表曲面上两点之间最短距离的线称为测地线或大地测量线。之所以使用这样的称谓，是因为这个概念首先被运用在大地测量学中，即在地球表面的测量学科中使用。事实上，当我们说起纽约到旧金山之间的直线距离时，我们指的是“像乌鸦一样直线飞行”—沿着地表曲率，而不是假设一个巨大的矿工钻头会向前推进，直直地钻透地球。

图32A

以上所提内容将“广义直线”或“测地线”定义成了两点间的最短距离，这表明我们可在所讨论的两点之间拉一条线以构造出这样的线，这是制作此类线最简单的物理方法。如果你选择在平面上做以上操作，那你会描绘出一条普通的直线，但如果在球面上操作，你会发现这根“线”沿着球面圆弧伸展开来，这个圆弧对应的是球面的测地线。

用同样的方法，我们还可以弄清楚我们所居住的三维空间是平的还是弯曲的。需要做的就是将空间中的三个点彼此拉开，看看这种情况下形成的三角形三个内角之和是不是180度。但在实验的设计阶段，我们必须记住两个要点。第一点是因为曲面或空间的很小一部分在我们看来可能平，所以必须进行大范围的实验；显然，我们不能指望测量自家后院就能确定地球表面的曲率！第二点是曲面或空间的某些区域可能是平的，而另一些则是弯曲的，因此彻底地测量就很有必要了。

在创设广义弯曲空间理论时，爱因斯坦的想法中包含了以下一项了不起的假设，即物理空间是在巨大质量的附近才变得弯曲的，且质量越大，弯曲率就越大。为了通过实验来证明这个假设，我们可以选一座漂亮的大山（图32A），绕着山安置三个木桩，并在木桩间拉三根绳子，然后再测量三根绳子之间形成的夹角。就算你选到最大的山，即使是喜马拉雅山的一个山丘，你最终也会发现：在测量误差允许的最大范围内，三个内角的度数之和恰好是180度。然而，这个结果并不一定意味着爱因斯坦就是错的，也并不表示大质量的存在不会使周围的空间弯曲。因为即使是喜马拉雅山这样大质量的存在，也不一定能让其周围的空间弯曲到用最精密的测量仪器就可以测算出差值的地步，大家一定还记得伽利略尝试用快门灯测量光速却惨遭失败的事吧！

所以，你不必气馁，但这一次一定要找一个更大的质量存在，例如，太阳。

你会发现，你要是从地球上的某个点拉一根弦到一颗恒星上，然后再从这颗恒星上拉一根弦到另一颗恒星上，最后将弦引回地球原来的那一点上。需要注意的是，你在选择恒星时，太阳的位置始终要处在三根弦围成的三角形之中。这样一来，你就会发现，这个三角形三个内角之和与180度相比发生了明显的出入。看吧，这下子，我们的尝试不就成功了嘛！如果你没有足够长的绳子来做这样的实验，那么不妨用一束光来代替它，这不会对最后的结果产生任何影响。因为光学告诉我们，光总是选择最短的路线进行传播。

如图32B中所示，我们可以直观地感受测量光束之间夹角的这项实验。位于太阳两侧（观测时）的恒星SI和SII的光线会聚入经纬仪，进而由经纬仪测算出它们之间的夹角；接着，需要在太阳离开时再进行一次测量，并将两次测量的结果，亦即两个夹角进行比较。测量结果如有不同，则证明太阳的质量改变了它周围空间的曲率，进而使光线偏离了原来的路径。这项实验最初由爱因斯坦提出，目的是检验他自己的理论。读者可参考图33所示的二维类比景象，以便更好地理解情况。

图32B

图33

在一般情况下要进行爱因斯坦的这项实验，有一个很明显的障碍：因为太阳光本身亮度灼眼，所以我们无法看清其周围的恒星，但在日全食期间，人靠肉眼也可在白天清楚地看到恒星。而发现这一实际情况的是英国的天文队。在1919年的时候，英国天文队到普林西比群岛（西非）探险，当时刚好遇到日全食的情况，他们就是在这样的状况下进行了实际的观测，并得出以下结论：在有太阳和无太阳的情况下，两颗恒星之间的角距离相差为1.61±0.30。而爱因斯坦的理论估测值为1.75″。此后，人们又在有太阳和无太阳两种情况下做了多次观测，得到的都是类似的结果。

当然，这不能算作一个多大的角度，但它却足以证明太阳的质量确实迫使其周围的空间发生了弯曲。

如果我们用的是比太阳还要大的恒星来代替太阳，那么欧几里得的三角形内角之和的定理就会因出现半角甚至是度这样的误差而被认定为不再适用。

对三维空间中的观察者来说，想要习惯三维弯曲空间的概念，的确需要一些时间来适应，同时也需要具备丰富的想象力才行。而你一旦找到了感觉，它就会像任何其他广为人知的古典几何概念一样，清晰而明确地显现在你眼前。

为了全面地弄清爱因斯坦的弯曲空间理论，并理解其与万有引力基本问题的关系，我们还需要再向前迈一步。为顺利达成这个目标，我们必须谨记，之前一直在讨论的三维空间只是四维时空世界的一部分，而四维时空世界才是一切物理现象发生的大背景。因此，三维空间本身的曲率所反映的只不过是四维时空世界更一般的弯曲而已，而代表光线和物质运动的四维世界线则必须被看作超级空间中的曲线。

从这个角度再来审视这个问题，爱因斯坦就得出了一个相当重要的结论，即重力现象仅仅是四维时空世界弯曲而产生的效应。而实际上，现在我们可以摒弃以下过去的观点，即太阳以某种力直接作用于行星，从而使得行星围绕特定的圆形轨道运动。那么新的、更准确的说法应该是：太阳的质量使它周围的时空世界发生了弯曲，而图23中行星的世界线看起来之所以是那样的，只是因为它们本身是穿过弯曲空间的测地线而已。如此一来，重力作为一种独立力的概念就从我们的原有推理中完全消失了，取而代之的是纯几何空间的概念：所有的物质都在其他巨大质量造成的弯曲空间中，沿着“最直的线路”或称测地线运动。

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从一到无穷大

科学中的事实和猜想

【美】伽莫夫著

刘小君岳夏译

文化发展出版社有限公司，2019

《从一到无穷大：科学中的事实和猜想》是当今世界有影响的科普经典名著之一，20世纪70年代末由科学出版社引进出版后，曾在国内引起很大反响，直接影响了众多的科普工作者。在本书中，伽莫夫以通俗易懂的方式介绍了20世纪以来世界范围内自然科学领域中的重大进展。全书共分四个部分，先由漫谈基础数学知识入手，用丰富有趣的比喻阐明了时间、空间和相对性，讲述了爱因斯坦的相对论及四维世界结构，最后全面讨论了人类在微观世界和宏观世界等方面的成就。