狭义与广义相对论浅说
阿尔伯特 · 爱因斯坦 著
各位同学大家好！我是李永乐老师。今天我们继续漫谈相对论！
如果你想用一句话概括广义相对论，应该是哪一句呢？我想，应该是：
物质告诉时空如何弯曲，时空告诉物质如何运动。
时空弯曲是广义相对论的核心概念，那么，什么是时空弯曲呢？爱因斯坦用一个旋转的圆盘的思想实验，为我们说明了这个道理。
你看，假如我们站在地面上，观察一个正在旋转的圆盘，我们可以用一把尺子测量圆盘的周长和半径。我们知道：无论周长和半径分别是多大，它们的比一定是2π。
地面上的人测量圆盘的周长和半径
可是，如果有个小人，他坐在这个旋转的圆盘上，他也用一把尺子测量圆盘的周长和半径，会发生什么？
当他要测量半径的时候，他需要把尺子沿着半径的方向放，尺子虽然随着小人一起转动，但是尺子的方向和运动的方向是垂直的，在我们看来，小人手里的尺子长度不会发生变化。小人测量出的半径长度和我们在地面上测量出的结果一样。
可是，当小人要测量周长的时候，他需要把尺子沿着圆盘转动的方向放。这样，在我们看来，尺子的方向和运动方向相同。根据狭义相对论动尺收缩原理，尺子会发生收缩，它变短了。或者说，尺子上距离为“1”的两个刻度之间的距离短了，所以，小人测量出的周长会比地面上的我们更大。
圆盘上的人测量圆盘的周长和半径
于是，如果小人测出了周长和半径，并且用周长除以半径，结果会比2π更大。
什么时候圆周率会变？显然，在一个平面上，圆周率是永恒不变的。但是如果你在一个球面上画一个圆形，你会发现圆形的周长和半径的比会跟圆形的大小有关。圆形越大，这个比值就越小。圆形足够大，这个比值甚至可以为零，这个结果就和刚才的例子非常相似了。
曲面上的圆周率的确可以变化
看起来，如果随着圆盘一起旋转的小人想研究几何学，欧氏几何貌似不能满足它的要求，他必须使用曲面上的几何学。
我们在地面上看，旋转小人存在向心的加速度。但是，在小人自己感觉来看，他只会感受到一种向外的力量，但是他不能区分这种力量到底是离心力，还是引力。因为根据等效原理，旋转物体存在向心加速度，等效于受到一个离心方向的引力。那么，根据我们刚才的讨论，小人可能会做出这种判断：我的空间不同于欧氏几何的空间，是因为我处于引力场中。这就是爱因斯坦想到的：在存在物质的空间中，因为物质的引力，造成了时空的弯曲，这种弯曲也必须使用曲面的几何学描述。
圆盘上会感觉自己处于离心的引力场中
爱因斯坦还曾经说：假如我们的宇宙是平直的，那么它的空间可以无限拓展。但是如果它是弯曲的，它也可以是一个没有边界而体积有限的空间。就好像地球是一个弯曲的二维空间，它没有边界，但是它的总面积是有限的。1919 年爱因斯坦9 岁的儿子爱德华问他：“爸爸，你到底为什么这样出名？”爱因斯坦笑了起来，然后严肃地解释说：“你看见没有，当瞎眼的甲虫沿着球面爬行的时候，它没发现它爬过的路径的弯的，而我有幸地发现了这一点。”
刚才我们说到了空间的弯曲，但实际上，引力造成的弯曲并不是三维空间的弯曲，而是四维时空的弯曲。我们还可以从刚才这个圆盘的例子出发。如果小人在圆盘的中心和边缘各放了一个时钟，我们在地面上观察，会发现中央的时钟没有运动，所以走时正常；圆盘边缘的时钟由于高速运动，时钟走时变慢。经过一段时间，中央部分的时钟示数会远远大于边缘处的时钟。
在圆盘的小人看来，两个时钟都是静止而且走时准确的。那为什么中央部位的时钟走时快，边缘处的时钟走时慢？他又会想到：这是因为整个圆盘处于一个离心方向的引力场中，越靠近边缘，引力势越低。想到这里，爱因斯坦又得出一个结论：引力势越低的地方，时间流逝速度越慢。
对于通常的天体，引力都是向心的，所以越靠近天体，引力势越低，时间流逝速度越慢。
比如地面上的时钟就比天上的时钟走得慢。如果引力特别强，比如靠近黑洞，那么在外人看来，时钟就会停滞。大家还记得一部电影《星际穿越》吗？宇航员到一个黑洞附近的星球去探险，他们在星球上只过了几个小时，但是在远处接应的宇航员时间却过了20多年。这就是因为登陆的宇航员来到了低引力势的地方，时钟流逝速度变慢了。
你也许看过这样一张图：在太阳旁边，有一个弯曲的时空，地球在太阳造成的凹陷中运动，它非常形象的说明了爱因斯坦的看法。
星球质量越大，时空弯曲就越厉害。当质量足够大时，时空弯曲会造成光都没有办法逃脱，就形成了黑洞。
如果你还想问：能不能用更数学化的方法描述一下平直和弯曲的区别？爱因斯坦在他的《狭义与广义相对论浅说》里，也通俗的说明了这个问题。他说：假如我们有一个二维的面，用一对坐标u和v就能描述出平面上的一个点。那么，如果这个平面是平直的，那么两个很接近的点距离应该满足勾股定理：ds²=du²+dv²。狭义相对论描述的其实就是这种情况。
可是，如果存在引力，空间会被引力弄得弯曲了，那么这时，再计算两个点的间隔，就需要使用这样的公式：
其中g就叫做度规，它能表示平面弯曲的情况。这种规律不光可以用在二维情况下，四维时空也可以使用，如果你知道了整个四维时空的度规，就知道了四维时空弯曲的情况了。
那么，物质的存在或者说引力是如何引起时空弯曲的？1915年底，爱因斯坦发表了一篇论文，提出了广义相对论，以及著名的引力场方程。
这是一个复杂的张量方程组，它描述了物质是如何影响其周围的几何时空的，是爱因斯坦的广义相对论的核心。通过这个方程，只要给定一种质量分布，我们就能够求解出时空的弯曲情况。
理解了引力等效于时空弯曲后，我们对宇宙中物体的运动就有了一种全新的认识。现在我们要回答第二个问题：在一个弯曲的时空中，物体是如何运动的？为此，我们要先来解释一个概念——测地线。
在平面上画一条直线很容易，可是在弯曲的面上（比如球面上）画出的“直线”是什么样子的呢？
我们不妨这样设想：如果我们想在平面上寻找两点之间的直线，可以在两个点挖洞，再拿一根软绳，把绳子的两端分别放到洞口里，再在洞口慢慢收紧绳子。当绳子绷直不能再收的时候，它经过的空间位置一定是一条直线。这是因为一个简单的道理：两点之间线段最短。
平面上的测地线就是直线
同样，球面上的直线也应该定义为两点之间的最短路线。你可以在球面上挖两个洞，从这两个洞收紧一条松弛的绳子，绳子拉紧后，绳子经过的位置就是球面上的最短的路径，我们叫它测地线，测地线就是曲面上的直线。
你知道怎样找到球面上两点之间的测地线吗？数学上可以证明：将这两点和球心所在的平面画出，并且让平面和球面相交，交线是球面上的一个最大的圆形。大圆在原来两点之间比较短的弧线就是测地线。
如果我们买一张机票从北京起飞，飞到纽约，你知道飞机会经过哪里？如果你眼前刚好有一张世界地图，也许你会说：当然是走直线啦！飞机起飞后向东，经过韩国、日本、太平洋，穿过美国大陆，然后到达美国东海岸的纽约！
事实并非如此，北京起飞的飞机基本上会一路向北，经过北极上空，再到达纽约，原因是这条航线就接近于从北京到纽约的“短程线”，说专业一点叫做“大圆航线”。飞机沿着大圆航线飞，航程是最短的。
其实，在弯曲的时空中也有测地线，只不过，在闵可夫斯基四维时空中，测地线不是最短线，而是最长线。想到这里，爱因斯坦提出了一个大胆的想法。当物体除了引力外不受其他力的作用时，它将会沿着测地线运动。
爱因斯坦的猜想
比如：在没有太阳等恒星产生引力的时候，宇宙空间是平直的，这时，测地线就是一条直线。如果地球存在于这样的宇宙中，它将会速度不变的沿着一条直线，这就是牛顿所谓的匀速直线运动。
太阳的出现，让太阳系的时空变得弯曲了。在这个弯曲的时空中，依然存在测地线，地球只受到太阳的引力，所以还是沿着这条测地线运动的，只不过这条测地线在我们看来并不是直线了。
物质造成时空弯曲，爱因斯坦通过引力场方程告诉我们弯曲的程度如何计算；时空告诉物质如何运动，如果物体除了引力外不受到任何其他力的作用，那么它就会沿着测地线运动，这就是爱因斯坦对引力的理解。地球围绕太阳旋转，月球围绕太阳旋转，原因都是如此。
爱因斯坦提出这个理论，经过了十分艰辛的过程。当他最初想到引力可能是一种几何效应时，不知道用什么样的几何学才能描述它。他找到自己的同学，数学家格罗斯曼帮忙，当初爱因斯坦毕业后找不到工作，还是格罗斯曼拜托自己的父亲帮忙，才给爱因斯坦在专利局找了一份差事。
格罗斯曼看了爱因斯坦的想法后，敏锐的建议爱因斯坦学习黎曼几何，黎曼几何就是描述弯曲面上的几何学，也称之为椭球几何。同时，格罗斯曼还介绍了一些黎曼几何的专家给爱因斯坦，其中就包括20世纪最伟大的数学家——希尔伯特。
格罗斯曼
希尔伯特
在希尔伯特的帮助下，1915年底，爱因斯坦发表了一篇论文，提出了广义相对论。其实，在与爱因斯坦讨论问题的过程中，希尔伯特也产生了广义相对论的想法，而且发表论文的时间还比爱因斯坦早5天，只可惜，在希尔伯特的这篇论文中，没有明确的提出引力场方程。后来，希尔伯特看到爱因斯坦的论文，才把引力场方程补充到自己的论文中。
希尔伯特还特意写信给爱因斯坦，说：你看，我们的理论发表了！爱因斯坦赶紧说：那是我的理论！希尔伯特非常大度，没有和爱因斯坦争夺这份功劳。
广义相对论是人类纯智力活动的最高成就。爱因斯坦曾经自豪的说：如果我不提出狭义相对论，不出五年就有人提出它。但是如果我不提出广义相对论，50年里也不会有人发现它。
那么，广义相对论是对的吗？我们通过什么实验可以验证这个理论呢？
关注我，
下一回我们继续漫谈相对论。
END
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