凝聚态材料中的拓扑相与拓扑相变——2016年诺贝尔物理学奖解读 |《物理》50年精选文章
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|作者:戴希1,2
(1 中国科学院物理研究所 量子物质科学协同创新中心)
(2 中国科学院大学物理学院)
本文发表于《物理》2016年第12期
■推荐理由
拓扑相与拓扑相变是在过去几十年快速发展的物理学分支。通过对2016诺奖解读,使读者尽快了解这一领域的内涵和外延。
图1 2016 年度诺贝尔物理学奖获得者
在介绍超流/超导体中的涡旋之前,我先向大家介绍一点非常基本的场论,一个二维标量场,比如一个绷紧的鼓面,考虑它的横向振动,就是一个典型的二维标量场,它的运动可以由平面坐标(x,y)点处的振幅
Z(x,y)来描写,它的集体运动模式就是我们熟悉的声波振动,如图2所示。
图2 鼓面的不同振动模式由一个标量场描述
图3 超导/超流体波函数的相位构型 (a)基态构型;(b)普通型激发;(c)涡旋激发
图4 生活中处处可见“纤维丛”
图5 二维布里渊区示意图 (a)沿kx,ky 方向周期性延伸;(b)轮胎面
图6 最简单的绝缘体能带图
图7 陈数分别为0(a)和1(b)时相位角θ (ky) 的演化示意图
跟计算陈数的时候一样,首先我们也还是要把二维布里渊区划分成一条条的平行线,如图5(a)所示。与破坏了时间反演对称的绝缘体不同的是,当具有时间反演对称时,最简单的绝缘体系统将至少具有两条占据能带,这是电子自旋自由度的体现。于是当我们仿照上文的做法构建Wilson loop 时,我们发现相邻k点的波函数内积不再是一个复数而是一个2*2 的矩阵,同样我们可以把这些矩阵按照次序乘起来,
。注意通过这样的Wilson loop 得到的矩阵
不再只是U(1)规范不变,而是U(2) 规范不变,它可以分解成U(1)部分和SU(2) 部分
,其中U(1)部分z 就是矩阵
的行列式,是一个复数,而这个复数的相位角随ky的演化则得到系统的陈数,请参看上节。剩下的
是一个行列式为1 的幺正矩阵,Z2拓扑不变量就藏在这个矩阵的本征值里。2*2 幺正矩阵
的本征值是两个模为1且互相共轭的复数对,我们可以提取出它们的相位,记为θ1,θ2 ,(注意,又是相位!)并且考察它们随着ky的演化。由于系统具有时间反演对称,这两个相位的演化必须满足下面两个条件:(1)只有一半的演化过程是独立的,如ky=0 到π,而另一半(-π到0)只是前一半的简单重复;(2)在ky=0 和π处,相应的Wilson loop 在时间反演操作下是不变的,因此上面提到的两个相位θ1,θ2 必须相等,且满足θ1=-θ2 (共轭性的要求)。所以在ky=0 到π处,它们或者都等于0,或者都等于π(π等价于-π,又是相位紧致性的体现!)。于是当我们考察ky=0 到π 的演化过程时,相位θ1,θ2 的演化曲线有两种拓扑上不等价的构型,分别如图8(a)和(b)所示。
图8 时间反演对称能带相位演化的两种不同拓扑构型 (a)Z2=0;(b)Z2=1
图9 能带相位演化的两种不同拓扑构型 (a)Z2=0;(b)Z2=1
图10 二维绝缘体的拓扑分类
和曲率
分别由下面两个公式来定义:
图11 两种手性的外尔费米子
图12 总是成对出现的外尔点
图13 外尔半金属表面的费米弧
图14 (a)三维布里渊区中的一个外尔点;(b)在表面布里渊区的投影
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10.云团形成的流体动力学
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