冰雹猜想：小学生都能看懂，专业数学家80年都做不出来

有小朋友问我：有没有什么数学问题，小学生都能看懂，数学家却做不出来呢？有，冰雹猜想就是其中之一。

如同哥德巴赫猜想一样，冰雹猜想的问题描述非常简单，这也让它成了民间数学家的最爱，如果你在网络上搜索“冰雹猜想”或者它其他的名字“3X+1猜想”“考拉兹猜想”“角谷猜想”等，会发现大量宣称证明了猜想的文章，可实际上问题提出80年来，许多专业数学家前仆后继，依然无法解决这个问题。

一、冰雹猜想

什么是冰雹猜想呢？我们一起来做一个数学游戏：

随便选一个正整数，如果这个数是奇数，就把它乘以3再加1；如果这个数是偶数，就把它除以2。

然后，我们对计算得到的结果重复这个操作，你会得到什么呢？

比如，从N =6开始：6是偶数，除以2变成3；3是奇数，乘以3再加1变成10；10是偶数，除以2变成5；5是奇数，乘以3再加1变成16；16是偶数，除以2变成8；8是偶数，除以2变成4；4是偶数，除以2变成2；2是偶数，除以2变成1。

大家注意，此时数字已经变成了1，而1是奇数，乘以3再加1又等于4。于是，这个数列就会陷入4-2-1-4-2-1的循环了。

N=6开始

如果从其他数字开始，情况又是如何呢？比如从数字7开始，数列最大会变成52，但是经过16步操作，还是会回到1；

N=7开始

从数字27开始，数列最大会变成9232，但是经过111步，还是会回到1。

N=27开始

实际上，人们已经尝试了2的68次方以下的每一个整数，从任意一个数出发，最终都会回到1。那么，是不是从任何一个整数开始，经过上述操作，最终都会变成1呢？1937年，德国数学家考拉兹提出了这个猜想，称为考拉兹猜想。由于这些数字总是上上下下的变化，最后变成1，就好像冰雹在空中总是上下运动，最终落到地面上一样，所以也叫做冰雹猜想。

考拉兹

二. 珊瑚树

冰雹猜想是一个世界级难题，从提出到现在80年了，数学家们还是没有解决，因为整数是穷无尽的，就算你验证了许许多多的整数都满足冰雹猜想，也可能在更大的数字上找到反例。不过，我们依然可以对这个猜想可能的证明方法做一点讨论。

首先，我们可以把这个数列倒过来推演。假如从某个数字开始计算，最终得到了数字1，那么1的上一个数字一定是数字2（因为2是偶数，除以2等于1），2的上一个数字一定是4，4的上一个数字一定是8（数字1已经出现过了，我们就不重复计算了），8的上一个数字一定是16。

到这里，情况就出现了不同：16的上一个数字既可能是32，也可能是5.因为32是偶数，按照规则除以2得到16；5是奇数，按照规则乘以3再加1也得到16.

按照这样的方法，从1开始逆推数列，逐渐补充数字，就会获得一棵“珊瑚树“

大家仔细观察这棵树就会发现：除了最底下的4-2-1循环之外，珊瑚树的其他方都没有循环，假如所有的正整数都能被这棵树包括在内，冰雹猜想就是成立的。

反过来说，冰雹猜想不成立，也有两种可能。第一种可能是：从某个特殊的数字出发，冰雹最终没有落到地上，而是在上下跳动中逐渐上升，最终到达无穷大；第二种可能是：除了4-2-1循环外，还有其他一些数字，也能构成一个循环，数字在这个循环中反复，不能变成1.可惜的是：这两种情况既没有被找到，也没有被证明不存在。

三. “几乎所有”的证明

虽然猜想并未被证明，但是数学家们对这个问题，也有了一点成果，下面我就带着大家了解一下这些研究进展，这里会用到稍微复杂一点的数学知识。

假设从正整数N出发，按照冰雹猜想的规则获得一个数列，数列中的最小值记为Col（N）。冰雹猜想就是要证明对于所有的正整数N都有Col(N)=1。其实，这等价于对于除了1以外的所有正整数，Col(N)<N。

这并不难理解，如果我们从任意正整数出发，都能获得一个比它小的数，从这个小的数出发，又能获得一个更小的数，只要这个数不是1，就能一直计算下去，直到获得数字1。既然有思路了，那就开干吧！

1976年，数学家泰拉斯（Terras）证明：在自然密度下，几乎所有的正整数N都满足规律Col（N）<N。1979年，另一位数学家Allouche加强了这个结论：在自然密度下，几乎所有正整数都满足规律Col(N)<N^a,其中a是任意一个大于0.869的数。到了1994年，Korec把指数a的下限继续缩小到ln3/ln4（大约0.7924）。

1994年，著名华裔数学家陶哲轩又证明了：在对数密度下，几乎所有的正整数N都满足规律：Col(N)<f(N)，其中f(N)是任意一个函数，只要在N趋向无穷大时，f(N)也趋向于无穷大就好。比如f(N)可以是N^1/2, 可以是log(N)，也可以是【log(N)】^1/2等等。

陶哲轩

看起来，数学家们好像证明了Col(N)<N，他们甚至获得了更强的结论。但是你仔细看就会发现：在以上几个数学家的工作中，都有“几乎所有”这个前提，意味着这个结论并不一定对所有正整数都能成立，所以冰雹猜想依然没有被证明。

而且，“几乎所有“前面还有”对数密度“”自然密度“两种前缀，这又是什么意思呢？

四.集合的密度

物理学中，密度等于质量除以体积。数学上也有密度的概念，它表示一个自然数的子集在多大程度上接近自然数集，或者可以简单理解为一个自然数子集的元素个数占整个自然数集的比例。密度越大，表示数集越接近自然数集。

比如，集合A表示所有偶数的集合，它的元素有无穷多个，所有自然数中，偶数占一半，所以集合A的密度就是0.5；再比如集合B表示所有4的倍数的集合，它的元素也有无穷多个,占所有自然数的1/4, 所以B集合的密度是0.25.

其他复杂一些的集合，比如平方数的集合，密度如何计算呢？数学上有严格的定义：

自然数有子集A，若A中不大于自然数N的元素分别为a₁、a₂、a₃…、a_n，个数为n，则：

若N趋向于无穷时，n与N的比值收敛于P,即

则称P是A的自然密度。

2. 若N趋向于无穷时，a_i的倒数和与N的自然对数ln(N)之比收敛于P，即

则称P是A的对数密度。

你会发现：自然密度的定义大意是把集合里的元素取一个最大值N，然后计算集合里的元素占从1到N所有自然数个数的比例，再逐渐把N推广到无穷，如果比例趋于稳定（存在极限），我们就把这个极限定义为集合的密度。

对数密度的概念比较奇怪，分子是集合a元素的倒数和，分母是N的对数，这是咋回事呢？实际上，数学家欧拉证明：当N很大时，从1到N的自然数倒数和与ln(N)只相差一个确定的小数，这个小数叫做欧拉余项。

所以，分母上的ln(N)大约就等于前N个自然数的倒数和，对数密度就是用倒数和所占比例来判断集合元素多少的。

集合A是自然数的子集，所以无论自然密度还是对数密度，都不会超过1，而是在0和1之间。如果密度等于0，我们称“几乎没有“，密度等于1，我们称”几乎全部“。

我们来举个例子：求完全平方数集合的密度。分别取N=100，10000，1000000，小于等于100的完全平方数有10个，小于等于10000的有100个，小于等于1000000的有1000个，它们的倒数和也很容易计算：

N	小于等于N的元素个数n	n/N	倒数和与ln(N)的比
100	10	0.1	33.6%
10000	100	0.01	17.7%
1000000	1000	0.001	11.9%

我们会发现，随着N的增大，无论用哪种定义，比例都是在下降的。可以证明：在N趋向于无穷时，这个比例趋于0，（证明过程留给有兴趣的小伙伴自己完成）。

所以，完全平方数集合的自然密度和对数密度都是0. 这说明在自然数中，“几乎没有”完全平方数。但是，完全平方数不但有，而且有无穷多个。

同样，陶哲轩等人证明了在对数密度或者自然密度下，“几乎所有”的正整数都满足它们的结论，但是依然可能存在有限甚至无限个反例。冰雹猜想依然没有被证明。

大家看，虽然冰雹猜想表面上很简单，但是我们了解一下研究进展，都需要学习很多高等数学的知识，足见这个问题实际上相当复杂。有数学家说：人类的数学工具还不足以解决如此复杂的数学问题。甚至有美国数学家说：这个问题就是苏联人提出来的，目的就是为了干扰美国的数学研究进程，让美国数学家没有能力去研究正经事，尤其是与战争相关的数学问题。

郑国渠和这件事有什么关系？

虽然职业数学家解决不了，但是并不妨碍民间数学家的热情，他们一般使用初等数学的方法，两三页纸就能证明这个猜想。无论是爱因斯坦的相对论还是罗巴切苏斯基的非欧几何，都是在充分理解前人的工作基础之上，得出的新的科学突破。在今天这个信息充分交流的社会里，希望通过捡漏获得科学突破，几乎是不可能的。与其试图解决“哥德巴赫猜想“或者”冰雹猜想“这样的世界难题，碰瓷科学家吸引关注，不如多去读几本书，对我们的帮助更大。

杨绛先生说：你的主要问题在于书读的不多，而想的太多。现在许多人的问题，也在于此。

后记：在这篇文章中计算倒数和时，我使用了 wolframalpha这个软件（网站），这是一个非常强大的工具。

你可以问它数学问题，比如从1到10的倒数和是多少？

也可以问它其他问题，比如：世界上最有钱的人是谁。

它都会给出答案，而不是一些搜索结果。有需要的小伙伴不妨去转转，网址：

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制作这个内容的起因是最近一段时间我在网上看小视频学习英语，发现一个叫做真理元素Veritasium的频道很不错，推荐给喜欢科学、数学或者希望通过英语小视频练习口语和听力的小朋友。

就是这个胡子哥

这个频道里有一期冰雹猜想，在youtube上播放量很大，本内容部分取材于此。并感谢我的学生鲁泠溪同学对“几乎所有“”自然密度“”对数密度“内容进行的梳理与补充。

重点