从北京起飞的飞机，绕一圈还能回到北京吗？

前苏联有一位数学、物理、天文学方面的科普作家，名字叫别莱利曼。他一生中写了105本科普作品，其中最为有名的是《趣味物理学》。

雅科夫·伊西多罗维奇·别莱利曼

前两天，我在他写的另一本书《趣味数学》上，看到了一个有趣的问题。原题是以列宁格勒为例子，我把它修改成了以北京为例，题目如下：

如果一架飞机从北京出发，先向北飞2000km，再向西飞2000km，再向南飞2000km，再向东飞2000km，现在飞机在哪里？

我把题目发到网上之后，网友回答非常踊跃，而且答案千奇百怪：有的说回到了北京，有的说跟地球自转有关，有的说跟飞机高度有关，还有的说飞机没油了掉海里的。

其实，这是一个纯粹的中学地理和数学问题，并不是脑筋急转弯。今天我们就来研究一下，飞机究竟在哪里？

一、球面上的短程线

首先要了解的是：地球是一个球体，球面上的几何学与平面上的几何学是不同的。之前我们也曾经讨论过：在平面上，我们使用的几何叫做欧几里得几何。如果在一个马鞍面（双曲面）上，应该使用罗巴切夫斯基几何；如果在椭球面上，就要用到黎曼几何。这些几何的特点是不同的。

欧式几何、罗氏几何、黎曼几何上的三角形

比如在平面上，过直线外一点只有一条直线的平行线，三角形的内角和是180度；而在罗氏几何中，过直线外一点有多条直线的平行线，三角形内角和小于180度；在黎曼几何中，情况又不同：过直线外一点一条直线的平行线都没有，三角形内角和大于180度。

再比如：平面上，两点之间直线段最短。如果地球是一个平面，从北京出发经过四个方向各2000km的运动，最后一定会回到北京，并且形成一个正方形。

平面上的正方形

可是在球面上，情况并非如此。球面上并没有通常意义的直线，球面上的所有线都是弯曲的。不过，从一点出发到另一点，依然有一个最短路径，称之为短程线。

具体来讲：如果我们想知道从球面上一点A到另一点B怎么走最短，应该使用如下的方法：首先过A、B和球心O做一个平面，这个平面与球体相切，切面是一个圆。因为这个圆的圆心就是球心，所以圆的半径等于球的半径，这样的圆是球里所有圆形中最大的，称为球的“大圆”。

球面上的短程线

在这个大圆上，A和B把圆周分成两端弧，其中比较短的一端弧（大圆劣弧）就是A和B之间的最短路径，也叫作短程线。短程线就是球面上的“直线”。

明白了这个概念，我们很容易理解为什么黎曼几何中没有平行线的概念：球面上所有的大圆都是相交的。利用球面上的“直线”，我们能画出球面上的各种图形。比如，用三个彼此垂直的平面切割球面，形成三段互相垂直的“直线”，构成一个三角形ABC。这个三角形的每条边都相等，是个等边三角形。但是，它的每一个角都是直角，内角和居然有270度！这在平面上是不可想象的，因为平面上的三角形最多只能有一个直角，而且内角和是180度。

球面上的直角三角形

如果在地球上画出这个巨大的三角形，大约长这个样子。它告诉我们：如果你从北极点沿着某条经线走到赤道（大约1万公里），再左转90度向东走1万公里，再左转90度向北走1万公里，你就能画出一个三个角都是直角的等边直角三角形了。

我们再来研究一个简单问题：如果我们买一张机票从北京起飞，飞到纽约，飞机会经过哪里？也许有人说：当然是走直线啦！飞机起飞后向东，经过韩国、日本、太平洋，穿过美国大陆，然后到达美国东海岸的纽约！

北京到纽约，是这么飞么？

事实并非如此，北京起飞的飞机基本上会一路向北，经过北极上空，再到达纽约，原因是这条航线就接近于从北京到纽约的“短程线”，说专业一点叫做“大圆航线”。飞机沿着大圆航线飞，航程是最短的。

北京到纽约的短程线

顺便一说。我在某音上把这一段单独截取发了出来，有作者指出我两个问题：

第一，我说“飞机起飞后一路向北，飞过北极，再到纽约”说法有误，因为飞过北极之后就不再是向北了，而是向南！
第二，北京飞纽约的实际航线与短程线不同，飞机会多次调整航向，大约经过白令海峡北侧，阿拉斯加和加拿大，到达纽约，所以我说通过北极是错的。

对于第一个阅读理解问题，我不想评论。对于第二个问题，实际航线不可能是“严格”的短程线，因为需要考虑信风、机场、航域、操控等问题，但是大多是“接近”短程线的。而且，北极并非一个点，而是一个区域，北京飞纽约的航班进入了北极圈，经过“北极上空”的说法没有问题。

二、飞机为什么飞不回去？

题目中的飞机从北京起飞后，分别向北、西、南、东四个方向飞行，东、西两个方向，就指的是沿着纬线运动，纬线是平行于赤道的圆。南北两个方向，就是沿着经线运动，经线是连接地球南北两极的半圆。

经线和纬线

所有的经线都是一样长的，但是越靠近北极，纬线就越短，越靠近赤道，纬线就越长。现在，我们把题目中飞机飞行的路径画在图上，你就会发现：飞机最后不会回到出发点。

大致的飞行路线

仔细说说：假如飞机从地球上的A点出发，沿着经线向北飞2000km到达B点，此时它所在的纬度变高了，纬线圈变小了。飞机继而转向西方，沿着纬线飞2000km到达C点，由于纬线圈比较小，所以飞机跨越了比较多的经度。

飞机再向南，沿着经线飞2000km到达D点，此时它的纬度已经和出发点相同了。然后飞机再向东，沿着纬线飞2000km到达E，你会发现，飞机并没有形成一个正方形。这是因为虽然BC和DE的飞行距离都是2000km，但是由于BC处纬度高，纬线短，跨越的经度大，DE处纬度低，纬线长，同样飞行距离跨越的经度小。所以飞机现在依然在出发点的西侧，它还需要再飞行一段，才能回到出发点。一个更好看的图如下：

飞机的路径ABCDE

三、飞机到底在哪里？

现在，我们就来计算一下题目中的飞机最后到底在哪里，我们要依次计算出A、B、C、D、E五个点的坐标，最后找到E点的位置。

首先，北京的坐标大约是A（40^oN，116^oE），它先向北飞行2000km，到达B点，从下图可知：二者纬度差大约为18度，于是B点的坐标是（58^oN，116^oE）。根据三角函数关系，还可以计算出A和B两个点到地轴的距离R_A和R_B，这实际上就是北纬40度和北纬58度两条纬线的半径，这个数据在一会儿的计算中会很有用。

直观图，图中椭圆表示赤道平面

下面我们计算下一个转角C点的坐标。这需要画一个从北极上空的俯视图。从这个角度看去，A所在的纬线圈半径R_A比较大，B和C所在的纬线圈半径R_B比较小。经过2000km，BC之间夹角大约34度，这说明B和C的经度相差34度，C点在B的西侧，所以经度是116度-34度=82度，也就是C的坐标C（58^oN, 82^oE）。

北极上空俯视图

继续，从C点沿着经线向南，再走2000km到达D，就会回到A所在的纬线圈。此时D和C依然在同一根经线上，所以D点的纬度和A相同，经度和C相同，经纬度是D（40^oN，82^oE）。

北极上空俯视图

最后，飞机从D点沿着纬线向东飞2000km，就是沿着俯视图中A和D所在的圆向着A运动。飞行2000km后，到达E点，可以算出DE之间的夹角是23.5度，这也是D和E的经度差，E点的经度是82+23.5=106度，即E点经纬度（40^oN，106^oE）。

北极上空俯视图

由此，我们计算出了飞机经过的几个位置，你会发现最终飞机的纬度回到了与北京相同纬度的地方，但是经度却差了大约10度，飞机的确没有飞回北京。如果我们在地图上查阅北纬40度，东经106度，会发现是在内蒙古自治区阿拉善盟阿拉善左旗的位置，在北京西侧800多公里处。

阿拉善左旗

最后留个思考题吧。根据我们刚才所讲的：只有球面上的短程线（大圆的弧）才能算是球面上的“直线”，所以经线都是直线，而纬线中只有赤道才算直线。飞机沿着非赤道纬线向东西飞行时，走的都不是直线。

假如你还是乘坐一架飞机从北京出发，沿着直线向北飞行2000km，然后左转90度角，继续沿着直线飞行2000km，再次左转90度角，再沿直线飞行2000km，再左转90度角，再沿直线飞行2000km，经过三个转角和4个2000km后，你现在在哪里？

知道这个答案的小伙伴，请在在评论区留言。

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