3、7、11、13、17、19、23.…倍数有啥规律?
我记得30年前,我上小学的时候,学校组织了许多课后兴趣小组,每个月交个十块二十块的,就能参加了。我参加了数学、航模和计算机三个兴趣小组(后来航模小组被班主任强令退了),学了很多奇奇怪怪的知识,开拓了我的视野。
尤其是数学小组,我从三年级开始,一直上到六年级毕业,在里面学了很多好玩的知识,直到今天我还记得。比如:
- 三条直线能把一个圆形分成几个部分?
- 一次走一个台阶或者两个台阶,走上一个10个台阶的楼梯有几种方法?
- 甲乙两人相向而行,到达对方起点后返回,再次相遇时一共走多远?
- 把100拆成几个正整数的和,让它们的乘积最大,请问应该怎么拆?
……
这些问题在现在看来都非常小儿科,但是那时候,许多问题都让我百思不得其解。后来恍然大悟,又感觉畅快淋漓,从此爱上了数学。教我数学的王成邦老师、李伟群老师都去了广东、李国老师不知是否还在吉林市,时隔三十年,他们上课时的音容笑貌,我依然记忆犹新。
我记得有一次,王成邦老师讲倍数的特点,他教我们如何快速判断一个数是不是另一个数的倍数。比如2、3、5、7、11、13、17、19、23等数的倍数,都有什么特点。这么多年来,我对于这些规律都是单独记忆、单独证明,仿佛每条规律都是特殊的。在网上搜搜,结果也大体如此。
前两天与我的学生鲁泠溪聊天,提到此事,她告诉我:其实这些规则都是统一的,而且可以自己归纳总结出更多类似规则。30年了,一个小小的倍数问题,居然让我有了更深的理解。我再次体会到了小学三年级时那种豁然开朗的感觉。
今天,我就想来给大家讲讲这个简单但是有趣的问题。由于2、4、5、8、10这样的数字的倍数都比较简单,我在文章中主要讨论3、7、11、13、17、19的倍数特点,从最简单的3开始。
规则:如果一个数各个位上的数字和是3的倍数,那么这个数就是3的倍数。
例子:判断123456是不是3的倍数。
解:
- 1+2+3+4+5+6=21
- 21是3的倍数,所以123456是3的倍数。
证明:以三位数为例。
- 表示百位是a、十位是b、个位是c的一个三位数。
- 由于9是3的倍数,所以99a+9b也是3的倍数,当且仅当(a+b+c)是3的倍数时,才是3的倍数,证毕。
3的倍数的快速判断,小学生都知道,因为课本里有这一课。关于这种方法,我们还可以做以下两点引申:
根据刚才的证明过程可知:各位数字之和与原来的数关于3同余,或者说各位数字之和除以3余几,原来的数除以3就余几。。
9的倍数特点与3类似。各位数字之和是9的倍数时,这个数就是9的倍数。各位数字之和除以9余几,这个数除以9就余几。
下面我们讨论7的倍数。
规则:如果一个数去掉末位后的数减去末位的2倍,得到的结果是7的倍数,那么原来的数就是7的倍数。
例子:判断147和1234是不是7的倍数。
- 14-7x2=0
- 123-4x2=115,11-5x2=1
证明:
- 首先找到7的倍数21,21=7x3
- 一个数如果是7的倍数,减去整数个21后依然是7的倍数。我们要判断一个数是否是7的倍数,可以让这个数不停的减去21,判断余下的数是不是7的倍数。
- 以三位数为例。
- 判断是不是7的倍数,等价于判断是不是7的倍数,由于10与7互质,又等价于判断是不是7的倍数。
- 当且仅当是7的倍数时,才是7的倍数。
- 就是去掉末位后余下的数,就是去掉末位后减去末位的两倍,证毕。
说明:我们找到了一个数21,这个数是7的倍数。而且,21的十位是2,个位是1,当我们用原来的数字减去21时,末位减掉1,十位就要减掉2,所以就出现了规则:去掉末位后减去末位的两倍。
这句话很有普遍性:假如我们想判断一个数是不是某个质数的倍数(这个质数不能是2和5,因为它要与10互质),都可以用类似的方法。比如以下几个例子。
首先找到一个11的倍数,它的个位必须是1.显而易见,11本身就满足这个规律,它的十位是1,所以:
规则1:如果一个数去掉末位后余下的数减去末位,结果是11的倍数,那么原来的数就是11的倍数。
例子:判断1331是不是11的倍数。
解:
- 133-1=132,13-2=11。
- 11是11的倍数,所以132是11的倍数,所以1331是11的倍数。
不过说来,更方便的规则如下:
规则2:如果一个数奇数位的数字和减去偶数位的数字和,差是11的倍数,那么原来的数就是11的倍数。
例子:判断1331是不是11的倍数。
解:
1331第一、第二、第三、第四位数字分别是1、3、3、1 - 奇数位是第一、第三位,数字和=1+3=4;
- 偶数位是第二、第四位,数字和=3+1=4;
- 4-4=0,0是11的倍数,所以1331是11的倍数。
大家要知道,规则2其实与规则1是相同的,只不过是换了一种展现方式。以四位数为例:
- 按照规则1:判断四位数是不是11的倍数,可以去掉末位得到三位数,再减去末位d,在不考虑退位的情况下(这里略过对退位情况的证明,有退位时同理不难证明),三位数是;
- 重复规则1,去掉末位减末位,得到两位数;
- 重复规则1,去掉末位减末位,得到一位数;
- 如果这个数是11的倍数,原来的四位数就是11的倍数。而这个数刚好满足规则2——奇数位的和减去偶数位的和,这说明两个规则是等价的。
首先找到一个13的倍数,它的个位必须是1,发现:91=13x7。由于91的十位是9,所以:
规则1:如果一个数去掉末位后余下的部分减去末位的9倍,结果是13的倍数,那么原来的数就是13的倍数。
例子:判断7293是不是13的倍数。
解:
- 729-3x9=702;
- 70-2x9=52;
- 52是13的倍数,所以702、7293也是13的倍数。
其实,这种方法还可以简化:因为13=9+4,如果减去末位的9倍是13的倍数,那么加上末位的4倍也是13的倍数。所以:
规则2:如果一个数去掉末位后余下的部分加上末位的4倍,结果是13的倍数,那么原来的数就是13的倍数。
例子:判断7293是不是13的倍数。
解:
- 729+3x4=741;
- 74+1x4=78;
- 7+8x4=39
- 39是13的倍数,所以78、741、7293也是13的倍数。
找到一个17的倍数,它的个位必须是1,发现:51=17x3,由于51的十位是5,所以:
规则:如果一个数去掉末位后余下的数减去末位的5倍,结果是17的倍数,那么原来的数就是17的倍数。
例子:判断6137是不是17的倍数。
解:
- 613-7x5=578;
- 57-8x5=17.
- 17是17的倍数,所以578、6137也是17的倍数。
找到一个数,它是19的倍数,并且个位是1.我们发现:171=19x9,它的十位和百位是17,所以:
规则1:如果一个数去掉末位后减去末位的17倍,结果是19的倍数,那么这个数就是19的倍数。
例子:判断4047是不是19的倍数。
解:
- 404-7x17=285;
- 28-5x17=-57;
- -57是19的倍数,所以285和4047是19的倍数。
显然,把一个数乘以17,这种方法有点复杂。由于19=17+2,所以如果减去末位的17倍结果是19的倍数,那么加上末位的2倍也是一样,所以有:
规则2:如果一个数去掉末位后加上末位的2倍,结果是19的倍数,那么这个数就是19的倍数。
例子:判断4047是不是19的倍数。
解:
- 404+7x2=418;
- 41+8x2=57;
- 57是19的倍数,所以418和4047是19的倍数。
大家发现规律了吧?判断一个数是不是7、11、13、17、19这样的质数的倍数,都可以按照这样的规则:首先找到这个质数的倍数,并且这个倍数个位是1。十位(包括百位)是几,就用原来的数去掉末位后减掉几倍的末位,判断余下的数是不是那个质数的倍数就可以了。按照这样的方法,你能找到一种判断23的倍数的方法吗?
判断倍数的方法不止一种。例如:判断7、11、13的倍数,还有一种公共方法:
规则:把一个数的末三位和其余部分分成两段,用这两段数字做差,如果结果是7或者11或者13的倍数,那么原来的数就是7或者11或者13的倍数。
例子:判断54327是不是7、11、13的倍数。
解:
- 将54327分成两段,分别是54和327, 将两段做差:327-54=273;
- 判断273是不是7的倍数,用去掉末位减去末位2倍的方法:27-3x2=21,21是7的倍数,所以273、54327是7的倍数。
- 判断273是不是11的倍数,用奇、偶位数和做差的方法:2+3-7=-2,-2不是11的倍数,所以273、54327不是11的倍数。
- 判断273是不是13的倍数,用去掉末位减去末位9倍的方法:27-3x9=0,0是13的倍数,所以273、54327是13的倍数。
综上,54327是7和13的倍数,但不是11的倍数。
反复使用这种方法,可以让一个很大的数变成3位以内,再用之前的方法判断是否是7、11、13的倍数就可以了。
为什么这种方法是正确的?我提示一下:1001=7x11x13,试试看,你自己能不能给出在证明?利用同样的规律,我们知道2001=3x23x29,你能自己再找到一个判断23、29倍数的方法吗?
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方法
数学
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