各位同学大家好！今天是大年三十！先给大家拜个年！祝新的一年身体健康！财源滚滚！
就在这年根上，我来教大家一个关于“根”的技——手算开平方根！学了这个技能，在新的一年中，你又能在小伙伴面前炫耀啦！
一 连分数法
手算开平方的方法其实有很多，我先来教大家一种连分数的方法。如果要计算一个数s的平方根，只需要把这个数写成s=a2+b （a2>>b）的形式，然后就可以通过下面的式子计算：
观察这个式子，你会发现：除了第一项是a，其余的加号前面都是2a，分子都是b，很好记。这个连分数有无限多层，但是我们在计算过程中不需要取无限多层，只需要一两层，就能得到很好的效果。
比如，我们要计算150的平方根。我们将150写成144+6，前者是12的平方，即150=122+6，也就是在（1）式中a=12，b=6
我们可以按照不同的精度，分别取0层、1层、2层…近似
如果我们用计算机按出根号150，它等于12.2474487…，大家会发现，其实1层近似就已经很准确了，到了2层近似的时候，已经准确到小数点后第四位了，误差在百万分之二，怎么样？还是很不错的方法吧！
这种方法的证明也不难。如下：
大家观察最后一个表达式：左右两侧都等于√s，而在右侧表达式的右下角还有√s。于是，我们可以把右侧整个代入到右下角的√s中。
把绿色框内部分代入红色的框
这样就得到
大家看，这样就出现了一个2a。我们可以重复这个步骤，用（2）中的绿色框再次替代（3）中右下角的√s，这样就得到了：
如此，我们反反复复计算下去，就会得到最初的结论（1）了。怎么样？简单吧!
二 长除法
除了刚才的方法，还有一种很方便的方法——长除法，看起来和我们小学时候学过的除法长得差不多。它大体有分段、试根、求余项、更新余项等几个步骤，其中试根和求余项要反复进行。与普通的除法不同的是：它求出的每一位商与除数的末尾是相同的。我们举个例子：求1234的平方根。在求解过程中，我用同样颜色的方框表示同样的数字。
1. 分段：从小数点开始，向左和向右每两位分一段。1234分段后就是12，34 . 00,00，…分段之后，每一段上面要求出一个一位数字的商，一共有4位数。这些商合起来就是所求的平方根的前几位。注意：平方根的小数点与原来的小数点对齐。
2. 试根 首先计算第一段【12】上面的商，类似于除法，我们要找到一个除数和商，它们的乘积最接近12，又小于12. 与普通除法不同的是：除数和商需要是同样的一位数字。显然，这个数字是3，3x3=9。然后把12和9做减法，得到余项3。
3. 更新余项：将第二段【34】落下来，构成新的余项334。
  4. 乘20：这一步是理解算法的关键。我们需要将原来已经得到的商乘以20，然后把除了最后一位0以外的其他数字写到刚才得到的余项的左侧，构成新的除数的一部分。例如：已经得到了第一段的商是3，乘以20得到60，把0空着，数字6写到余项334的左侧：
   5. 再试根。现在要求第二位商，它必须和第二个除数末位数字相同。而且，按照除法规则，第二位商和除数的乘积不能超过余项334。经过尝试，第二位的商最大可以填5. 5x65=325，再用334-325求出新的余项9.
   6. 再将00段落下，更新余项为900, 重复上述过程：将已经得到的商35乘20，把结果700写到除数上，但留下最后一位不写。
   7. 求第三位的商，这个商与除数末位数字相同，并且二者乘积不超过900，应该商1，1x701=701，再求出余项900-701=199。
  8. 按照同样的方法，将后一段00落下，把刚得到的商351乘20，并加上一个待定的数字写在除数的位置上，这个待定的数字要与第四位商相同，二者的乘积不超过19900. 这个商是2
按照这样的方法，只要我们愿意，就能手动得到任意精度的平方根。实际上，1234的平方根是35.128336… 前面几位正是35.12
这个方法的证明也不难。我们假设一个数字s的平方根是两位数，它的十位是a，个位是b，我们写作
将这个式子两边平方
再进行移项，和提公因式，得到
大家看，左边有s-100a2，100代表了两位数字一段，每一段要求一次余项。右侧有20a，就是把之前得到的商乘以20，然后加上b乘上b，意思是除数的最后一位和商必须是相同的数字。如果两侧刚好相等，就说明开根号完成了，这恰恰就是刚才我们的计算过程。实际上，a不一定是一位数，它可以代表一串数字，这种算法具有普遍性。
怎么样？这么炫酷的技能学会了没有？快去跟小伙伴们炫耀吧！
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