力学156个学习目标“一点一练”带你搞定 - Unit 2 Part 2（下） || AP物理C力学

要想备考AP，最权威的资料无非是College Board针对每一个科目制定的Course and Exam Description (CED，课程和考试描述)，也就是我们俗称的“大纲”。

虽然CED很全面，高屋建瓴地描述了每个学科的大框架大思想、核心知识、实践和技能等，但同学们看大纲往往会觉得比较笼统、抽象，不够具体，尤其是知识点细节度不够，更无法对应到题目。

其实在老师看来CED里对同学备考最有用的，是Learning Objectives学习目标，因为这些LO会直接转化成题目。大家可以留意在大纲结尾Sample Exam Questions的Scoring Guidelines里，每个小题都会标注本题包含的LO，也就是说题目会直接考察学生是否达到了这些学习目标。

因此，TD的老师们想带大家逐一击破大纲中的每一个学习目标，对每一个LO加以解读，并配合一道例题加深理解。这些例题的用意不在于深度或难度，而是巩固基础，保证所有学习目标都覆盖，起到帮助同学在复习中查缺补漏的作用。

AP物理C力学一共包含156个学习目标，其中Unit 2 Newton’s Laws of Motion包含33个，前两篇文章已经带大家见过了LO 1～14，30～33，包含常见的力与牛顿一二三定律在各种系统中的应用。

从上一篇文章开始👉力学156个学习目标“一点一练”带你搞定 - Unit 2 Part 2(上) || AP物理C力学，我们已经进入到学习Part 2: LO 15～29的阶段，重点关注流体阻力与微分方程、水平和竖直圆周运动这两类情景。

今天就来看看Part 2的15个学习目标中的剩下9个吧，关于圆周运动的学习目标。

👉

21~22. [INT-2.A]

a. Calculate the velocity of an object moving in a horizontal circle with a constant speed, when subject to a known centripetal force.

b. Calculate relationships among the radius of a circle, the speed of an object (or period of revolution), and the magnitude of centripetal acceleration for an object moving in uniform circular motion.

✨解读：这两个学习目标其实都是要求大家掌握向心加速度的公式：

只不过LO 21 [INT-2.A.a]更强调在知道向心力的情况下求解速度，那就需要用牛顿第二定律建立起向心力和向心加速度的关系，再根据向心加速度公式求速度；而LO 22 [INT-2.A.b]考察得更加宽泛，可能需要在各种已知条件下求解各种圆周运动的参数，包括半径、速率、周期等。这时候还需要知道周期和频率与速率、角速率的关系：

例：光滑水平面上，一根绳子牵着物体做匀速圆周运动。已知绳长L=40cm，物体质量m=800g，用测力计得到绳子的拉力为

a. 求物体的速率

；

b. 若绳子的拉力不变，要想让周期变成1

，求绳长应变成原来的几倍？

解：

a. 根据牛顿第二定律和向心加速度公式可以推导出速率表达式，但是要注意单位换算哦！

b. 因为拉力不变，所以向心加速度不变。此时周期和绳长的关系推导如下：

原本的周期代入数据可得

1.59

。从上面的表达式可以看出绳长正比于周期的平方，所以周期为

，绳长应该变为原来的

倍。

👉

23~25. [INT-2.B]

a. Explain how a net force in the centripetal direction can be a single force, more than one force, or even components of forces that are acting on an object moving in circular motion.

b. Describe forces that are exerted on objects undergoing horizontal circular motion, vertical circular motion, or horizontal circular motion on a banked curve.

c. Describe forces that are acting on different objects traveling in different circular paths.

✨解读：LO 23要我们知道向心力可以是一个力，也可以是多个力或者力的分量，因为本质上向心力是牛顿第二定律的体现，圆周运动速度方向要改变就需要一个向心加速度，根据牛顿第二定律就需要向心方向上的合力提供这个向心加速度。LO 24和25是一个意思，要求会描述各种水平和竖直圆周运动中是哪些力了提供向心力。

例：分析下面两个模型中是什么力提供了向心力，写出向心力的表达式。

a. 斜面转弯模型；

b. 过山车模型。

解：这两个模型是课上讲解的重点，对下文所述结论不理解的同学要抓紧补上～

a. 斜面转弯模型分为三种情况：

当速度为特定值时，不受静摩擦力，完全由支持力的分量提供向心力：

当速度偏小时，物体有向下滑的趋势，受沿斜面向上的静摩擦力：

当速度偏大时，物体有向上滑的趋势，受沿斜面向下的静摩擦力：

这个受力分析是后面

LO 29 [INT-2.E]

的基础。

b. 过山车模型中，支持力和重力的分量提供向心力。还要分为两种情况：

在圆心以下，重力分量背向圆心：

在圆心以上，重力分量指向圆心:

👉

26~27. [INT-2.C]

a. Describe the direction of the velocity and acceleration vector for an object moving in two dimensions, circular motion, or uniform circular motion.

b. Calculate the resultant acceleration for an object that changes its speed as it moves in a circular path.

✨解读：描述圆周运动（匀速或者非匀速）中速度和加速度矢量的方向；计算变速率圆周运动中的合加速度。这两个LO其实都是要我们除了考虑改变速度方向的向心加速度以外，还要考虑改变速度大小的切向加速度。合加速度是向心加速度和切向加速度的矢量合。

例：如图所示，小车在半径为r的水平圆轨道上顺时针运动，此时处在最北端，速率为v，且在以

减速。求：

a. 速度方向；

b. 加速度方向；

c. 加速度大小

解：

a. 速度沿切线方向，在最北端顺时针运动，速度方向为正东。

b. 向心加速度指向正南，由于在减速，切向加速度方向与速度相反，指向正西，所以合加速度方向为西偏南。

c.用勾股定理求加速度大小：

👉28. [INT-2.D] Derive expressions relating centripetal force to the minimum speed or maximum speed of an object moving in a vertical circular path.

✨解读：推导竖直圆周运动中向心力与最小速率或最大速率的关系表达式。根据牛顿第二定律：

如果物体只受重力和支持力，则物体越往高处走速率越小，需要的向心力越小。由此可见支持力在最高点最小，在最低点最大。题目往往考察物体在最高点将要离开轨道的临界情况，参见下面的例题。

例：求通过圆轨道最高点的最小速率，也称临界速率critical speed。

解：要保持与轨道的接触，最高点的支持力最小为0，完全由重力提供向心力，此时的速率

就是通过最高点所需的最小速率，即临界速率

。根据向心力公式：

👉29. [INT-2.E] Derive expressions relating the centripetal force to the maximum speed of an object or minimum speed of an object moving in a circular path on a banked surface with friction.

✨解读：

求斜面转弯的最大和最小速率。当物体以最大速率转弯时，处于即将向上滑动的临界状态，静摩擦力是沿斜面向下的最大静摩擦力；同理，最小速率对应即将向下滑的临界状态，静摩擦力是沿斜面向上的最大静摩擦力。我们需要联立三个方程：水平和竖直方向上的牛顿运动定律，和最大静摩擦力方程。

例：求斜面转弯的最大和最小速率，用斜面角度