要想备考AP，最权威的资料无非是College Board针对每一个科目制定的Course and Exam Description (CED，课程和考试描述)，也就是我们俗称的“大纲”。
虽然CED很全面，高屋建瓴地描述了每个学科的大框架大思想、核心知识、实践和技能等，但同学们看大纲往往会觉得比较笼统、抽象，不够具体，尤其是知识点细节度不够，更无法对应到题目。
其实在老师看来CED里对同学备考最有用的，是Learning Objectives学习目标，因为这些LO会直接转化成题目。
大家可以留意在大纲结尾Sample Exam Questions的Scoring Guidelines里，每个小题都会标注本题包含的LO，也就是说题目会直接考察学生是否达到了这些学习目标。
因此，TD的老师们想带大家逐一击破大纲中的每一个学习目标，对每一个LO加以解读，并配合一道例题加深理解。这些例题的用意不在于深度或难度，而是巩固基础，保证所有学习目标都覆盖，起到帮助同学在复习中查缺补漏的作用。
AP物理C力学一共包含156个学习目标，其中Unit 2 Newton’s Laws of Motion包含33个，前两篇文章已经带大家见过了LO 1～14，30～33，包含常见的力与牛顿一二三定律在各种系统中的应用：
力学156个学习目标“一点一练”带你搞定：Unit 2 Part 1(上)|| AP物理C力学
156个学习目标 “一点一练”带你搞定 - Unit 2 Part 1(下)|| AP物理C力学
今天开始，我们要来学习Part 2: LO 15～29，重点关注流体阻力与微分方程、水平和竖直圆周运动这两类情景。
今天我们就先来看看Part 2的15个学习目标中的前6个关于流体阻力（特别是空气阻力）的学习目标吧。
👉15. [INT-1.H.a] Derive an expression for the motion of an object freely falling with a resistive drag force (or moving horizontally subject to a resistive horizontal force).
✨解读：推导受阻力的竖直下落和水平运动的的表达式。这里指的是合力的表达式，这个表达式会用在后面一组学习目标[INT-1.J.a~c]中推导速度、加速度和位置随时间变化的表达式。要了解AP物理中两种常见的velocity-dependent resistive force模型，即力的大小和速率成正比或者和速率的平方成正比。
例：一个质量为m的物体竖直向上抛，受到的空气阻力和速度大小成正比、方向相反，即
，其中k是个正常数。写出上升和下降过程中的合力大小表达式。
解：要注意上升过程中空气阻力向下；而下降过程中空气阻力向上。重力始终向下。所以：
在一维运动中，用符号F，v表示力和速度矢量时，它们是实数，正负号即表示方向，题目中的
总是需要这个负号，不论上升还是下降。以向上位正，重力是-mg，合力应写作：
但如果以向下为正，
这个关系不变，重力变成+mg，合力就应该是：
这种用实数表示一维矢量的方式，也是后面求解微分方程的基础。
👉16. [INT-1.H.b] Describe the acceleration, velocity, or position in relation to time for an object subject to a resistive force (with different initial conditions, i.e., falling from rest or projected vertically).
✨解读：根据合力的表达式可知，一个物体如果从静止开始下落，初始时刻速度为0，阻力为0，合力等于重力，初始加速度等于重力加速度。随着物体向下加速，阻力变大，合力变小，加速度变小。当阻力趋近于重力时，合力趋近于0，加速度趋近于0，速度趋近于一个常数，这也就是下一个LO 17. [INT-1.I]中的最终速度terminal velocity。
例：从静止开始下落且受空气阻力的物体，速度、加速度、位移时间图像如何？以向下为正。
解：速度从0开始增大，但因为加速度减小，所以斜率减小，最终趋于一个常数，在图像上表现为一个水平渐近线。加速度从g开始减小，最终趋近于0，以横轴为水平渐近线。位移从0开始增大，因为速度在增大，所以斜率增大。参考图像如下：
速度-时间图像：
加速度-时间图像：
位移-时间图像：
👉17. [INT-1.I] Calculate the terminal velocity of an object moving vertically under the influence of a resistive force of a given relationship.
✨解读：上一个LO中说过，当阻力趋近于重力时，合力趋近于0，加速度趋近于0，速度趋近于一个常数，即这一个LO中的terminal velocity最终速度。求解最终速度只需要根据合力为0列出平衡方程即可，即阻力和重力大小相等。
例：对
两种阻力模型，分别求解最终速度大小
。
解：
（1）令
，得
；
（2）令
，得
。
👉18～20. [INT-1.J]
a. Derive a differential equation for an object in motion subject to a specified resistive force.
b. Derive an expression for a time-dependent velocity function for an object moving under the influence of a given resistive force (with given initial conditions).
c. Derive expressions for the acceleration or position of an object moving under the influence of a given resistive force.
✨解读：这三个LO其实是跟前面的LO 15 [INT-1.H.a]是一套“组合拳”。给定阻力、得到合力的表达式后，可以用牛顿第二定律列出一个方程。合力是速度v的函数，只要将里面的加速度写成微分形式即
，就可以得到一个包含速度和时间的微分方程，用分离变量法求解微分方程即可得到速度时间函数，然后求导得到加速度，求积分得到位移或位置。
例：质量为m的物体从静止开始下落，受到的阻力可表示为
。
1.列出一个可以用来求速度时间函数的微分方程；
2.求解微分方程得到速度时间函数；
3.求加速度和位移随时间变化的函数。
解：以向下为正，物体所受合力为
。
a. 根据牛顿第二定律：
b. 用分离变量法求解微分方程，以下展示关键步骤：
c. 求导得到加速度，求积分得到位移：
以上就是Unit 2 Part 2 (上)的全部内容了，下期我们会继续学习Unit 2剩下的9个关于圆周运动的学习目标，我们下期见~
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