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人类对自然世界的认知，甚至对人类自身社会活动的认知，当然是高级的哲学问题。对于 Ising 这种处于底层的学人而言，既无可能去触及、亦无足够高度去触及这些高深道理。不过，如果一定要对如此认知做一些让行家耻笑的搬弄是非，其实也挺好玩的。正因为观点显得无知，就更会有那种“一忽儿”的趣味。例如，Ising 认为西方自然科学的认知乃从最简单的“黑 / 白”、“是 / 否”、“0 / 1”这样的二元两态分类开始。人类许多努力和事业，都是为了将这 0 / 1 两态的每一态都整得稳稳当当、厚厚实实。注意，本文中“0 / 1”两态是广义的、非局限于物理上的两简并态，更多表达的是某个物态或功能的左右两个极端。东方的认知，则更多具有哲学思辨的意义，显得高大上而缺乏扎实根底：虽然也强调“黑 / 白”、“是 / 否”，但更多是强调中间的混合态，即“中庸化”或边界不清、纯度不高的“是非”与“黑白”。
这些认知的不同，让自然科学在东西方发展的时空轨迹有很大不同。西方自然科学看起来因为这种二元论划分而具有明确的逻辑意义。二元论易于进行推理、分类和数学描述，也就衍生出了当代自然科学的基本认知，其成就无与伦比。而在东方，则强调连续和模糊的“辩证法”模式，强调整体和利益最大化取舍 (例如追求 1 + 1 >> 2)，诸如此类，可称为“中庸化”。这种中庸，虽然未必“无与伦比”，但也算功效卓著。
此番论调，当然只是浅薄感受，当不得真的。自然科学的逻辑思维，让人类有了定义、分类、规范与一对一的因果关系认知。物理学有四大基本作用力，有电和磁，有物质的层级构造和承上启下，有金属态和绝缘态，如此等等。这些逻辑之概念清晰严格、内涵外延清澄、规律严谨完备。数学有维度、二进制、整数 / 实数，如此这般。这些认知虽难以一一列举，但每一层次都示性清晰、环环相扣。如此概念清晰、目标明确的问题，其解答过程或答案，也会简明扼要、明确无误，让人们在日常昏昏耗耗之余感受到简洁、明确、环环相扣对应。人们对自然科学，特别是对物理学和数学的内涵与表达一直仰望有加、敬佩无穷，是有原因的。
图 1. 笔者心目中所谓的 0 / 1 两态分类逻辑，及对“中庸化”的理解。
(A) 西方哲学和社会学者认知世界的粗暴表达：黑与白、是与非、美与丑 (when everyone in the world sees beauty, Then ugly exists. When everyone sees good, Then bad exists.)。(B) 中庸化逐渐将黑白混合杂化为各自带有对方色彩的混合式：不那么黑、不那么白。(C) 东方的所谓太极八卦表达：黑白之间既有区分、亦可和谐纠结在一起？
(A) from https://thedailyzen.org/2017/10/30/understanding-dualism/。
真实的自然学科图景，当然未必如此。即便学科始创之初是如此，演化到当下科学前沿后，图景也有了许多变化，出现了繁杂和多层面交叉混同。科学人美其名曰“学科交叉”、“知识集成”。到了今天，知识的面貌越来越复杂、越来越纠缠，已发展到靠人脑已难以掌控而不得不诉诸“人工智能”和“机器主宰”。这是调侃、是夸张，但也大致如此。
举些 Ising 比较熟悉而自以为是的例子。
(1) 二进制两态存储。数学和信息科学中，二进制应是最 NB 的计算规则，也是影响自然科学思维最深刻的表达。图 2(A) 显示一个例子。诸如 0 是 yes、1 是 no，无是 0、有是 1，黑是 0、白是 1，空是 0、满是 1，都是如此。有了这样的表达赋值，二进制就能无往而不胜，其普适性和无处不在的霸主之位无人置疑。即便是物理学用来表达功能的两态信息存储，也是基于二进制的衍生，最典型的表达就是两态 Ising 模型。也正因为这种两态存储的观念，冯 • 诺依曼架构也就得面对今天的存算分离和存储墙问题。随着所谓神经形态和类脑计算概念的发展，二进制逐渐被模糊，正在被多态和模拟信号等新的存算一体化理念部分取代 (能不能真的取代之尚无定论)。这是“中庸化”吧？
(2) 金属还是绝缘体。凝聚态物理中，这是一个能带问题，也即是否导电的问题。无带隙即金属，有带隙即绝缘体，半导体也大都是带隙不小的绝缘体。图 2(B) 显示其中图景。早先的物理人，无论是提出概念、发展理论、预测和研发材料，都不大去考虑那些带隙很小的体系，而是要么取大带隙的绝缘体做铁电、光电和光学之用，要么取无带隙的金属做导电之用。金属和绝缘体，在凝聚态分类中也就是0 / 1 两态。后来，磁性介入、超导介入、热电介入，那些小带隙的固体纷纷登场，给原本简单明了的 0 / 1 两态分类带来中间状态。这是“中庸化”吧？
(3) more is different。这是安德森那个著名的“演生”问题，原本是老先生因“负气”挑战“因果还原论”而提出的、火药味很浓的凝聚态物理宣言。原本的认知是：在物质世界组成的若干个层次中，上一尺度 (大尺度) 物态的某一 0 / 1 性质，必定是下一尺度 (小尺度) 许多个物态的某一 0 / 1 性质集合而成。求解这个集合，就能得到上一尺度的如此 0 / 1 性质。安德森说不是这样，这上一尺度物态有它自己新生的、下一层次集合原本无法赋予的新性质。图 2(C) 显示的乃是一个物态，经过大粒子集合后可呈现新的不同物态 (氦超流)。这应该是 1 + 1 > 2的逻辑、是“中庸化”吧？
(4) 磁电耦合。这是 Ising 虚委半生的领域，虽然只有学习的份。这里的“磁”和“电”分别表达“铁磁性”和“铁电性”，它们原本互斥、互不干扰，如图 2(D) 所示。好的电，必然是远离磁，越远越好，反之亦然。现在要将它们耦合在一起，希望实现“要风得风、要雨得雨”。虽然实际上难以逃脱“微风细雨”的窘境，但毕竟也算风雨兼得。这也是“中庸化”的一种模式。
(5) 超导电性。将“超导”这一大物理拿来做 0 / 1 调侃对象，虽然不大合适，但却也与本文主题相得益彰。超导的主题是电子配对。两个自旋相反、动量相反的电子，于空间通过声子联系 (电 - 声子耦合)，组成一个库珀对玻色子。大量玻色子相干凝聚，形成超流态而超导，这是 BCS 单态电子配对超导机制，即常规超导机制。这一机制排斥磁性、拒绝电子强关联，是 0 / 1 的一个极端。另一方面，磁性或电子关联介入，可能引入自旋涨落配对机制之类，可能得以支撑铜基、铁基、重费米子、镍基等非常规超导电性，是 0 / 1 的另一个极端。图 2(F1) / (F2) 所画乃这两个极端的一种简单示意。需要指出，非常规超导因为磁性和电子关联，通常伴随诸多新的量子态，如电荷密度波  CDW、配对密度波 PDW、自旋密度波 SDW、向列 nematic 相、手性自旋态等。非常规超导研究，正在付出巨大努力，揭露这些伴随量子态的真面目，以窥视它们与非常规超导态之间如何才能“度尽劫波兄弟在”。
图 2. 笔者自以为是编辑的几个所谓“两态”实例。
(A) 数学上的二进制，可用来表达、承载和运算所有信息、且只有“0 / 1”两态组合即可，但不能说仅仅只有 0 / 1。这是伟大的成就。(B) 固体能带理论中价带和导带都占据一定能量区间，但物理人认为费米能处有载流子就是金属，没有就是绝缘体。(C) 用 He3 / He4的超流特性来表示 more is different，不算无理。粒子的集合，可演生新的物理，而此物理非离子相互作用能推演出来。(D) 磁电耦合 (静态) 在麦克斯韦方程中是不可能的，要么电、要么磁。特定的磁或电组合，却可以得到一个不错的“中庸态”。(F1) 电 - 声子耦合导致库珀电子配对，自旋单态是前提。(F2) 自旋涨落导致电子库珀配对，无需电 - 声子耦合介入。这里，有没有某个“中庸态”可以左右逢源？量子材料人相信有！
(A) https://www.electrical4u.com/binary-number-system-binary-to-decimal-and-decimal-to-binary-conversion/。(B) https://www.jove.com/v/11357/band-theory。(C) https://www.scphys.kyoto-u.ac.jp/research/group/physics-1_english/t4-1.shtml。(F1/F2) J. Hwang, SR 11, 11668 (2021), https://www.nature.com/articles/s41598-021-91163-w。
这里堆砌的每个例子，都以“中庸化”关键词结尾。事实上，审视一番，可看到这些“中庸化”的手法，似乎就是将 0 / 1 两个极端态的稳定性削弱一些，以求给“中庸化”一些抛头露面的机会。从能量角度看，稳定性来源于深势阱，操控之就需要较大能量，即所谓的大能标过程。压制这些大能标过程，即部分填充势阱，即可显著压制 0 / 1 两端，中庸的小能标们就可以登场了。
如上铺垫，絮絮叨叨，无非是为了渲染本文要触及的、超导电性的一个前言研究方向，即 kagome 笼目金属化合物 AV3Sb5 (A = K, Cs, Rb) 及其中的超导电性。过去一段时日，Ising 下笔写过几篇关于这一体系的读书笔记，如《笼目 Holstein 模型亦可 CDW》、《Kagome：吐故纳新》、《探测笼目 AV3Sb5 输运的又一维度》。写作下来，深感一篇比一篇迷糊和“中庸化”。其中的物理考量和令人意外的后果，感兴趣的读者可点击御览。大致的物理思路是：其一，kagome 笼目晶格是一类准二维的、平移对称性低的结构，很像双层魔角石墨烯构造的 Moire 晶格，能压制载流子动能项，显著平带化能带。其二，这类体系，不含磁性离子，电子关联也弱。如此，诸如铜基超导那般通过自旋涨落实现库珀配对的可能性不大。
也即是说，超导物理中常规超导的 0 和非常规超导的 1，在 AV3Sb5 这里似乎都是“有劲使不上”的模样。于此，“中庸化”就可登场了！果然，过去几年，对这类 kagome 笼目化合物的探索，展示出这类体系的独特性和“中庸化”特征，令人印象深刻，如图 3 所示：
(1) 平带化明显，有狄拉克点和 van Hove 点，和魔角石墨烯很像，是 kagome 晶格的做派。载流子动能被压制，意味着这是一类关联体系，而且还携带拓扑表面态。
(2) 多种表征证明，超导电性乃是 s 波常规超导，看起来是很典型的 BCS 物理。
(3) 多个相变，包括从高温无序相到 CDW，再到 nematic 相，最后是低温下的超导相 (s 波超导)，又展示了类非常规超导做派的一系列特征。
第 (1) 点和第 (2) 点，显示这里的超导电性，分别有 0 / 1 两个极端的特征。第 (3) 点则显示非常规超导的那些伴随特征，与 Ising 的“中庸化”谬论相符。至此，读者应能理解，为什么超导物理人不放过这个 kagome 金属体系 AV3Sb5。毕竟，这样好的“中庸化”平台，实在不多见！
图 3. 有关 kagome 结构化合物 CsV3Sb5 的一些基本知识点。
(A)晶体结构的ab面俯视图示意，显示有 V / Sb 组合构成的 kagome结构。(B) 晶体结构及其参数 (a) 和能带结构主要特征 (平带、拓扑狄拉克点和 van Hove 奇点) (b)。(C) 温度轴上的相变标记，包括 CDW 相变点 TCDW、nematic 向列相变点 Tnem 和低温超导转变 TSC。(D) (a) 定性描绘的相图，显示高温区 CDW 随等静压变化的演化进程。(b) 相干库珀对和非相干库珀对的配对模式。(c) 几类超导体之超导转变温度与磁穿透深度平方的依赖关系。(d) 两种 CDW 构型，一种是 2 × 2，一种是 1 × 4。这些结果显示，将 s 波常规超导与非常规超导的物理特征，各取部分来进行“中庸化”，就是这 kagome 物理。
(A) https://english.hf.cas.cn/nr/rn/202111/t20211129_293208.html。(B) / (C) 奉熙林等，《物理学报》71, 118103 (2022), https://wulixb.iphy.ac.cn/article/doi/10.7498/aps.71.20220891。(D) J. X. Yin, Science Bull. 68, 568 (2023), https://doi.org/10.1016/j.scib.2023.02.035。
来自中国科学院物理研究所周睿老师、高鸿钧老师等，与日本冈山大学  (Okayama University) 郑国庆老师 (Guo-qing Zheng) 及北京师范大学的合作者一起，对 kagome 笼目金属 CsV3Sb5中 CDW 与超导电性开展了探索工作。在以国内有生力量为主的高强度投入背景下，这类体系中的 CDW 已被广泛关注，包括几个重要的动机：
(1) 一般而言，CDW 被认为是电 - 声子耦合的结果，因此与 BCS 的库珀对同源。它们之间是竞争对手，从知己知彼角度亦需要关注 CDW 物理。
(2) 一般非磁性体系，CDW 相不会破坏时间反演对称性。但是，这类体系的 CDW 破坏了时间反演对称。物理所的胡江平老师他们，认为这一特性源于轨道磁矩的某种手性交替排列结构。这一新的特征是否影响低温区电子配对，尚未可知。
(3) CDW 相变温度较高，而超导转变温度低很多，中间温区还存在打破了 kagome 点阵的 C6 对称性的 nematic 向列相。如此两重对称的调制结构，作用何为，尚未明了。
深入而全面理解笼目金属 CsV3Sb5 中 CDW 的结构、相变行为，看起来很必要。过去数十年，超导物理人历经高温超导的风花雪月，也历经追寻超导机制的万水千山，得到很多经验教训。其中一条经验是：非常规超导电性或超导相，总是与另外某个有序量子相相联系。它们此起彼伏，通过一个量子临界点 QCP 完成相互转换。通过外场或内禀参量，操控 CDW 产生或湮灭，揭示这一 QCP，也是不错的课题。
周睿 / 郑国庆 / 高鸿钧老师他们选择用压力操控 CDW 的演化。这是超导研究的标准方法，同行也已开展了此类研究。压力调制 CDW 归隐于 QCP、进而诱发或操控超导电性，亦不是新观点。事实上，对 CsV3Sb5 中的 CDW，已有工作揭示静水压会压制 CDW，伴随超导转变温度提高。周老师这一工作的特别之处，在于利用了核磁共振谱学 NMR 中的核四偶极共振谱 (nuclear quadrupole resonance, NQR) 来探测 CDW 相。
一般读者常读到 NMR 探测量子材料的工作，但相对较少听说 NQR 这一探测方法及其背后的原理。对 Ising 亦是如此：NQR 乃新事物一枚。据文献，NQR 乃利用原子核普遍存在的电荷四偶极子对局域电场梯度的共振响应 (偶极子能级有其对应的共振频率，大约在 MHz 量级)，来精确探测原子核周围的空间电场 (梯度) 分布，从而反推其周围的电子结构。很显然，CDW 乃电荷密度波，也即电荷密度在空间呈现梯度调制。因此，NQR 是探测 CDW 局域结构畸变的最好方法之一，虽然它的运用要求有很高的数据解谱技巧。
有意思的是，CsV3Sb5 中的 Sb 同位素121Sb / 123Sb，一共有至少十条 NQR 谱线。一一探测之，便能精确解构 CDW 在静水压下的结构畸变细节。对相关技术细节，Ising 在此就不班门弄斧了，感兴趣读者可参阅周老师他们不久前刊登在《npj QM》上的原始论文。Ising 按照自己理解，highlight 几点主要结果，并取来部分数据集成于图 4 中：
(1) 同行的 NMR 已揭示出，随压力增加，CDW 会从常态下公度的 star - of - David (SoD) 结构，演化为类条纹相 (4a0波长调制)。周睿他们则解构出 CDW 会从 SoD 形态的公度相，逐渐演化为一种复杂形貌的非公度过渡相。所谓形貌复杂，指其由 SoD 结构单元与所谓的三角 - 六角交替排列 (tri-hexagonal, TrH) 结构单元沿 c 轴方向堆叠而成，如图 4(B) 所示。如此复杂的结构，能被解构出来，显示了作者的非凡功力。
(2) 即便是在静水压下 CDW 会不稳定，但短程 CDW 涨落依然存在，并一直延续到常压 CDW 之相变温度处。此处可见 CDW 是何等“威武不能屈”。此等坚强，对超导电子配对未必有利？
(3) 在压力达到 ~ 1.9 GPa 时，体系的确展现出类 QCP 特征，而此时体系的超导温度也最高。这种对应，再一次显示出 CDW 与超导电性之间的竞争，也昭示了 QCP 的作用。
(4) 高压下 NQR 数据也昭示，体系存在有较强的自旋涨落，虽然 CsV3Sb5 不含磁性离子。这一结果，可能与轨道磁矩的贡献有关，显示轨道磁性不可小觑，也暗示有非常规超导的萍踪侠影。看起来，自旋涨落的存在，似乎合理解释了 QCP 之上超导电性依然没有消亡的实验观测。
图 4. (A) 不同静水压、不同温度下121Sb1 (蓝线) 和121Sb2 (红线) 对应的 NQR 测量谱。(B) SoD 单元与 TrH 单元混合形成 CDW 相的结构示意图。NQR 谱拟合结果也呈现于其中。(C) 从 NQR 谱解构而得的相图，显示类量子临界点 QCP 出现在压力为 ~ 1.9 GPa 附近。详细描述请见周睿老师他们的原文。
周老师他们的工作，在前人基础上，将等静压下 kagome 化合物 CsV3Sb5 中的 CDW 结构演化细节展示得更为淋漓尽致，殊为可贵。这类 kagome 金属中不但存在原本多在非常规超导中出现的诸多量子态，而且与超导电性竞争，虽然这里的超导电性竟然是常规 s 波一族。或者说，立足“中庸化”而不是“黑白分明”的认知，物理人在这类材料中看到了更多未知、理解了更多未知、感受到更多丰富多彩。
当然，在这类“正常 s 波”超导体中，要出现超乎寻常的高温超导电性，看起来不那么乐观。只是，常规超导与非常规超导之间的 gap，并非虚无缥缈，而是多有隐于云雾之中的重崖叠嶂。能够深入其中，窥得一番风景，也是量子材料人的乐趣。
雷打不动的结尾：Ising 乃属外行，描述不到之处，敬请谅解。各位有兴趣，还请前往御览原文。原文链接信息如下：
Commensurate-to-incommensurate  transition of charge-density-wave order and a possible quantum critical point  in pressurized kagome metal CsV3Sb5
X. Y. Feng, Z. Zhao, J. Luo, J. Yang, A. F. Fang, H. T. Yang, H. J. Gao, R. Zhou & Guo-qing Zheng
npj Quantum Materials 8, Article  number: 23 (2023)
https://www.nature.com/articles/s41535-023-00555-w
Kagome 量子材料的专辑：
Ordered States  in Kagome Metals
Guest Editors: Stephen Wilson, Joseph  Checkelsky, Ziqiang Wang, Satoru Nakatsuji
https://www.nature.com/collections/bfiebceiic
备注：
(1) 笔者 Ising，任职南京大学物理学院，兼职《npj Quantum Materials》编辑。
(2) 小文标题“ Kagome是黑白还是中庸”乃感性言辞，不是物理上严谨的说法。这里只是表达 CsV3Sb5 及类似的 kagome 笼目非磁化合物超导似乎就是 s 波超导，但伴随超导的那些 CDW、nematic 和 van Hove 奇异性、PDW 等量子态，又都是非常规超导物理的元素。到底是 s 波还是非常规？这里告知我们没必要去那么黑白划分。或者说，物理人迎来了一种“中庸”的超导物理。
(3) 文底图片来自于磁湖岸边 (20230214)。有梅花初开，其形态若 star of David 的 CDW 形态。小词 (20230130) 原本写别故乡、下金陵之行，有春意暗动之感。此处无非是表达在 kagome metal 这一类新体系中探索超导春意的想象。
(4) 封面图片显示了 kagome-CsV3Sb5 晶格的三种结构 (nematic, star-of-David, normal kagome) 及 NQR 谱学原理图 (来自 http://peachgeranium.cocolog-nifty.com/blog/2012/11/nuclear-quadrup.html)。
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