探测笼目AV3Sb5输运的又一维度

实事求是地说，要对一种量子材料有深刻理解，物理人所拥有的表征手段其实并不多。表征技术的推进，长期以来都是凝聚态和材料科学的核心主题。Ising 坐井观天，感觉量子材料的表征范式，主要立足于对微结构和电子结构的谱学与对光、电、磁、热等性质的输运两大类上。而且，谱学表征变得远比输运表征重要得多，与传统材料的表征模式有很大差别。反过来，量子材料的实际应用，则还是依赖由输运规律主导的物理效应 (性质)。例如，超导体的零电阻与抗磁性、自旋电子学材料的磁电阻、光电子材料的透过率电导率、介电铁电材料的充放电、拓扑材料的特定表面态输运等等，都是如此，正如图 1 所示的几个例子这般。那些高端的谱学表征，不知道在未来什么时候能如白菜价一般到处都是。到那时，量子材料的使用技术，也许是另外一番风景了^_^。

这些问题之所以存在，可能是因为谱学或输运表征都难以直接显示整个物理图像。不过，如角分辨光电子能谱 (ARPES) 这样先进的谱学技术，大致上可以将费米面附近的能带完备展示出来，相关物理被揭露得也较为清楚。从输运角度去审视，则就是另外一种局面。一些输运曲线上的特征，背后可能存在多个物理起源。如此，直接从测量的输运规律去反推背后起源之努力，就会遭遇一定的不确定性，反映出物理理解与实际特征之间有 gap。现在的审稿人，对用超过三个拟合参数的模型去拟合实验数据的努力，都会觉得不舒服而要说三道四。因此，从输运角度看，仰仗单一行为特征，就声称得到了其背后的物理规律，存在一定风险。

图 1. 德国斯图加特大学知名量子材料学者 Tomohiro Takayama 博士心目中量子材料应用的几个例子，都是基于输运的效应。除此之外，该领域学者还有更多的应用 claims。

https://www.fmq.uni-stuttgart.de/takagi-group/takayama_group/

这种情形，如果推演到拓扑量子材料，其背后的物理概念和图像则更显得神秘而不直接了当，虽然也让人有瞎子摸象后又豁然开朗之感。毕竟，判定能带的拓扑平庸与否乃是一个全域概念，需要将整个能带形貌展示出来才是最为严谨的。如此，即便是 ARPES 这样的谱学表征，也难以完全做到。反过来，要从材料输运行为中提取拓扑的本征特征，只怕是更为困难，虽然材料的最终应用终究还是要回到输运上来。拓扑量子材料领域的物理人，特别容易“患上”这种感觉。拓扑材料的输运，一方面在纵向电阻上体现出磁电阻特征。众所周知，磁电阻可以有诸多不同物理根源，提取其中源于拓扑物理的规律不甚容易、或者说很不容易。另一方面，拓扑输运特征更常见的体现是在横向霍尔效应上，或者说霍尔效应已成为展示拓扑输运的最爱。包括从非磁性拓扑绝缘体的整数量子霍尔效应，到磁性拓扑绝缘体的反常量子霍尔效应，都有漂亮的输运特征可以标记，虽然严格意义上这种特征未必是唯一的。

克服这些风险的方法，以往多采取从几个相互独立的机制 - 行为关系上进行交叉印证、检验，以避免基于单一实验推演所承担的不确定性。例如，对一体系，既进行谱学表征，又展开输运测量，是量子材料经常使用的手段。正因为如此，量子材料研究，或更广泛地说，量子凝聚态的研究，实际上昂贵而富有挑战。从更为实际的挑战考量，量子材料研究平台必须更专门化和更具有独特性，方可事半功倍。从事谱学研究的群体，致力于深度钻研一项或者两项谱学技术，并成为此中行家里手。而从事输运研究的群体，也致力于一种或几种输运测量技术，如热输运、光电导、磁输运和介电输运等测量技术，并成为行家里手。客观地说，后者实施较为容易，得到的结果则不那么清晰直接。例如，时至今日，拓扑绝缘体的表面态输运还只能在很低温度和超高质量的样品中方能实现。图 2 显示为量子材料输运测量经常用到的样品架构，可见其中之精密与艰难。

图 2. (上) 量子材料输运测量的几个热力学架构。(下) 两个电输运测量样品的例子，包括纵向和横向输运样品，显示输运测量的难度与美感^_^。

(上) https://imprs-cpqm.mpg.de/129153/Thermodynamics-of-designer-quantum-materials，(下) https://www.weizmann.ac.il/condmat/ronen/home。

本文仅限于讨论量子材料的电学输运测量，甚至只限于讨论横向霍尔输运测量。这种选择，还是因为量子材料输运测量中霍尔效应占据了重要地位。之所以这么说，除了内在的物理本源外，Ising 觉得存在两个原因：

(1) 能标的差别：纵向输运，载流子在电场作用下运动的能标 (静电能和动能) 较大，掩盖了磁场引入的纵向磁电阻所蕴含的物理细节。与此相对，在霍尔输运中，载流子受横向外场，即磁场、磁矩、Berry 曲率等不同物理语言描述的等效场下作用，驱动力是横向力，能标要小很多。正因为能标小，很多量子物理过程都可以由此体现出来 (毋庸讳言，量子物理过程通常都是小能标过程)。部分源于这一原因，我们能欣赏到霍尔输运行为的很多精细特征。例如，量子霍尔效应和反常量子霍尔效应那几乎无法更漂亮、更干净的霍尔平台，就是这一精细特征的体现。

(2) 场属性的差别：霍尔测量引入横向力，霍尔效应是磁场作为轴矢量的体现。电场作用是点乘，磁场作用是叉乘，载流子输运特征对这两种场的响应迥然不同，因此也展示不同的物理。例如，自旋 - 轨道耦合中 DM 相互作用、Rashba 效应、界面法向上的空间对称破缺，都源于叉乘物理，背后有诸多更高层次的量子机制 (例如规范场之类)。Ising 水平有限，在此不论。

具体而言，对量子材料，特别是拓扑量子材料，霍尔效应成为输运表征的主战场，纵向磁电阻反而成为配角。再加上常规的电阻 - 温度关系测量，物理人也许可将体系的内在特征展示出五六成 (?)。图 3(A) 展示了物理人最为熟悉的霍尔效应家族，其中每一种模式都可以作为佳话让我们津津乐道。有意思的是，不常接触霍尔输运的物理人以为图 3(A) 所示的霍尔家族已很庞大、很完整了，同时也形成了霍尔效应测量的思维定式：横向输运，磁场、磁矩或与 Berry 曲率相联系的等效场均垂直于纵向电流和横向电压，组成那“著名的”相互垂直的几何模式 (叉乘物理)。

图 3. 量子材料霍尔输运测量家族的一些成员。(A) 正常霍尔效应的成员，包括与拓扑量子材料密切相关的量子霍尔效应。这里，外磁场或等效场是面外取向的。(B) 平面霍尔效应 (planar Hall effect, PHE) 及平面各向异性磁电阻效应 (planar anisotropic magnetoresistivity, PAMR) 的测量，包括 PHE 和 PAMR 对磁场面内旋转角度的依赖关系，显示出振荡行为。其中 (a) 显示 PHE 的测量几何 (a / b即面内 x / y，磁场 B 位于面内，与a 轴成夹角θ)，(b) 显示测量的原始霍尔数据 ρ_xy，(c) 乃 PHE 的霍尔电阻 ρ_xy(PHE)，(d) 乃纵向电阻 ρ_xx。

(A) https://thesciencelife.com/archives/2383，(B) D. D. Liang et al, AIP Adv. 9, 055015 (2019), https://doi.org/10.1063/1.5094231。

事实上，物理人从来不满足于此，毕竟这里的输运能给我们的福利也还只有五六成。过去若干年，已有很多与霍尔效应相联系的测量新模式和新花样。再说一遍，霍尔效应常规测量基于面外磁场 (或等效轴矢量场) B_z和面内纵向直流电流 I_x，测量的是面内横向电压 V_xy或电阻 ρ_xy。后来，也许物理人觉得这样的测量定式太陈旧而 boring，开始对各个环节动刀子、使绊子。Ising 孤陋寡闻，只听说两个：

(1) 非线性霍尔效应：既然常规测量是用纵向直流电流 I_x，那不妨改为交流 I_x • sin(ωt)，这里 ω 是交流信号频率、t 乃时间。如果测量同频的霍尔信号，得到的物理大概与直流霍尔效应差别不大，除非是在甚高频率区域。更进一步，懂得一点非线性光学或声学中倍频效应的物理人，应该能够联想到去测量倍频下的霍尔信号输出，就有了新物理呈现出来。2015 年 MIT 的傅亮教授基于波矢空间 (电子) 分布函数的二阶非线性项，推出了二阶非线性霍尔效应与 Berry 偶极矩之间的联系，并很快得到实验跟随验证，从而对 Berry 曲率的高阶物理有了表征手段。此中物理，看起来美轮美奂，也使得非线性霍尔效应的研究成为量子材料的前沿课题。在非线性霍尔测量模式下，所有线性霍尔家族的物理都可被拓展推广到新高度。南方科技大学帅哥学者卢海舟教授他们，曾经给本公号撰写过《让霍尔也非线性》的科普雄文。Ising 鹦鹉学舌，后来也写过《在Weyl半金属中建造nonlinear Hall大厦》的读书笔记。感兴趣读者可以点击标题，前往御览。这里不再展开此题。

(2) 平面霍尔效应：既然常规测量中磁场或等效场指向面外 (B_z)，推而广之，不妨将等效磁场改成面内场。如果再进一步，实际施加的等效场可以沿 (x, y, z) 三维空间的任意方向，而本文只限于讨论面内 (x, y) 磁场 B_xy (与x轴成夹角 θ)。按照磁致洛伦兹力的简单机制，面内场产生的横向力是面外的，不会产生面内霍尔信号 V_xy。如果纯粹从简单的洛伦兹力去理解，则不应有霍尔效应存在 (V_xy= 0)。当然，物理人不会止步于什么都没有的结果。实际上，有一些磁性 / 非磁场金属、或窄带半导体，其中存在面内电子结构或轨道自由度的空间各向异性。若此，面内磁场也可能激发非零的霍尔信号，背后物理应归属于一般电磁学意义的磁电效应 (galvanomagnetic effects) 之一类。此乃所谓的平面霍尔效应 (planar Hall effect, PHE)，似乎与面内各向异性磁电阻 (planar anisotropic magnetoresistivity, PAMR) 有异曲同工之妙。

如此产生的所谓PHE，一般都很微弱，毕竟其来源只是磁场对电子结构的微弱调控。后来，这一方法推展到测量横向电压信号 V_xy与夹角 θ 的依赖关系，无形中多出一个转角自由度。由此，PHE 测量可以基于磁场强弱和面内取向两个自由度。再后来，PHE 的测量就落脚于 V_xy与面内转角之间的周期振荡关系，即所谓转角振荡。这种周期振荡特征，一下子就将电子结构的面内各向异性展现出来。

很显然，对于高对称体系，这样的 PHE 电阻变化一般具有 180°周期振荡对称性 (称为“二阶振荡”)。此时，如果面内晶体或电子结构打破二重旋转对称性，则测量得到的 PHE 会呈现附加周期特征，如高阶振荡 (higher order PHE oscillation)。这种面内对称性破缺导致的 PHE 高阶振荡，将是对常规的、基于面外有效场几何下的霍尔效应测量的重要补充，甚至是不可或缺的补缺^_^。这种补缺效果，在量子材料中可能起着那种临门一脚的、决定性的作用。如此论调，并非夸大其词，反而在很多量子材料研究中掷地有声。这也是为何 PHE 的高阶振荡测量在最近几年变得受关注的原因。

一个很好的例子，与最近一系列具有 kagome 笼目结构的金属化合物 AV₃Sb₅(A = K, Rb, Cs) 受到瞩目有关。这一类金属化合物，具有很强的层状结构特征，而面内 kagome 几何具有六角对称和高度几何阻挫特征，很难形成对称性破缺的长程实空间有序态，从而为若干低能标的量子物态和拓扑物态出现制造了机遇。果不其然，最近几年，在这类体系中陆续报道了超导电性、费米面附近平带 / 范霍夫奇异点 / 狄拉克费米子等非平庸拓扑特征，还有电荷密度波 (charge density wave, CDW) 及电子向列相的实验证据。Ising 最近也写过相关小科普文《CsV₃Sb₅超导的那些春秋之事》、《好是 Kagome、糟也是 Kagome》(点击标题即可御览)，可供入门参考。在晶体对称性约束下，这类体系的电子全部自由度相互作用在能标上相差不大，对应的物理效应相互竞争态势纷繁复杂，出现这些量子凝聚态的演生物理 (emergent phenomena) 一点都不奇怪。

注意到，这每一个效应都有足够让量子材料人激动的物理，却也对他们所拥有的那些捉襟见肘的输运表征手法提出挑战。于是，便有人为此茶饭不思，试图寻求更多的手法。在此情势之下，PHE 粉墨登场，参与到这种层状结构体系的面内量子态表征上，是再合适不过了。

图 4. 王猛老师他们的部分研究结果。(A) PHE 的测量几何架构和样品图片 (a) 及 KV₃Sb₅的晶体结构示意 (b)。(B) PHE 模式下的横向电阻 (a) 和 PAMR 模式下的纵向电阻 (b) 与磁场面内转角的振荡依赖关系 (14 T 高磁场下的结果)。(c) 和 (d) 是对应的振荡 FFT 处理结果。(e) 展示了他们得到的相图，而 (f) 则大致示意出 CDW 导致的晶格畸变与费米面的演化，可以说明 PHE 高阶振荡的起源。数据呈现说明可参加王猛老师他们的原文。

的确，来自中山大学物理学院的王猛教授团队，与中科院物理所的于国强教授合作，最近运用 PHE 和 PAMR 对 AV₃Sb₅中量子态演化进程进行了精细表征。他们年初在《npj QM》上刊登了部分研究结果，引起同行关注。他们关注的体系是 KV₃Sb₅，关注的问题是 PHE 和 PAMR 与 CDW 转变的内在联系。这种无长程磁序的体系，其面内 CDW 转变不大会在常规霍尔效应表征中崭露头角。Ising 愚钝，学习一番下来，只够鹦鹉学舌，搬来他们得到的几条结果 (部分结果显示于图 4 中)：

(1) PHE 和 PAMR 及其转角振荡行为被用于表征量子材料，并非王猛老师他们首创。在他们之前，同行们已对若干具有面内各向异性费米面、磁性和晶体结构的体系，包括具有 kagome 结构的面外铁磁体 Co₃Sn₂S₂(就是那个著名的Weyl 铁磁半金属？)，开展了 PHE 和 PAMR 的测量表征。主要结果，似乎大多是相对“正常”的二阶振荡 (即二重 180°振荡)，实现高阶振荡似乎不容易。

(2) 与此不同，同样是 kagome 晶格的 KV₃Sb₅，没有长程磁序，但低温下展现了四阶振荡。这一四阶振荡特征随温度升高而演化，在温度 T ~ 60 K 附近逐渐回归到二阶振荡。注意到在这个温度附近，低温区的 CDW 相失去稳定性，意味着四阶振荡与 CDW 有内在联系。特别值得指出的是，T ~ 2 K 下的四阶振荡特征，只有在高场 (> 7 T) 时才变得显著，即足够的面内磁场才触发 CDW 出现高阶振荡。

(3) KV₃Sb₅中各向异性费米面形貌与 CDW 关系似乎不大，或者说 CDW 存在与否对费米面对称性影响不大。这意味着高阶振荡非源于费米面对称性变化。KV₃Sb₅中也不存在磁有序，高阶振荡源于磁涨落的可能性也不大。排除那些不大可能起作用的机制后，高阶振荡看起来应该与 CDW 转变带来的载流子散射行为有关。

(4) 王猛老师他们基于晶格和电子结构对称性，开展深入的模型分析与数据提取，从多维度确立了 CDW 对载流子的散射 (强度、对称性) 可能是 PHE 和 PAMR 高阶振荡的起源。这一结论，坐实了 PHE 可以作为表征诸如 AV₃Sb₅这类量子材料输运的一个有价值的维度，对揭示电子结构和输运物理提供支持。除此之外，王猛老师他们也宣称，这一行为有可能付诸磁探测和磁传感应用。

值得指出，KV₃Sb₅作为 kagome 量子材料家族中独特之一类，其 CDW 与超导态的竞争正受到高度关注。《npj QM》也正在组织一个《Ordered States in Kagome Metals》的专辑，看起来很受关注(https://www.nature.com/collections/bfiebceiic)。王猛老师他们的工作，应该算是较早从 PHE 高阶振荡视角对这一体系的探索，至少确认了 CDW 对载流子输运行为的影响。不过，反过来，这一表征方法，目前还着重于 PHE 和 PAMR 的角度依赖振荡。这种振荡行为，与体系电子结构和量子关联竞争之间的对应关系，还很复杂，还缺乏直观和定量的表达。从这个角度看，本文一开始对输运表征之问题所进行的评估依然存在。PHE 和 PAMR 表征方法，还有诸多潜力和未知需要探索。

雷打不动的结尾：Ising 乃属外行，描述不到之处，敬请谅解。各位有兴趣，还是请前往御览原文。原文链接信息如下：

Higher-order oscillatory planar Hall effect in topological kagome metal

Leyi Li, Enkui Yi, Bin Wang, Guoqiang Yu, Bing Shen, Zhongbo Yan & Meng Wang

npj Quantum Materials 8, Article number: 2 (2023)

https://www.nature.com/articles/s41535-022-00534-7

谢池春·湖萍山影

欲上高楼，望去水明峰淡

好逍遥，琼池俯瞰

朝闻初旭，隐荷盘摇滟

夕闻风，唱来霞染

流光数过，不尽方才无憾

伫轩窗，云疏雨渐