迈向数学的统一
“数学是一个永不会完成的创造过程。”
本文是夏尔·埃雷斯曼(Charles Ehresmann,1905-1979)于1966年4月25日在堪萨斯大学劳伦斯分校数学系荣誉晚宴上的演讲,同年发表于Cahiers de topologie et géométrie différentielle catégoriques(《范畴拓扑学与范畴微分几何》) 杂志,题目为“Trends toward unity in mathematics”。埃雷斯曼是一位在德国出生的法国数学家,他是布尔巴基学派的早期成员之一,在微分拓扑和范畴论等领域作出了重要工作。
夏尔·埃雷斯曼
这篇文章简明地回顾了从古典时代到现代数学的发展历程,阐述了他对于采用范畴论的语言统一不同数学分支的设想。那时距范畴最初的概念在数学文献中正式出现不过21年的时间。到如今,将近60年的时间过去了,范畴论无论是在其自身还是在统一数学方面都有了长足的发展,因此埃雷斯曼文章所规划的蓝图与提出的问题不见得仍在现在的语境下适用。但范畴论发展所取得的成果却没有在更广泛的数学家群体中得到它应有的重视。翻译这篇几乎是60年前的文章,是希望和读者一起回到半个世纪之前,重新思考数学的本质、体会现代数学的思维方式。翻译整体遵照原文,对个别细节进行了修改,注释与粗体均为译者所加。
对希腊人来说,数学代表着算数(Arithmetics)和几何学(Geometry)。前者是关于自然数的科学,后者研究的是日常空间中图形的形状和几何量的比例。尽管他们的几何学是一个公理化的体系,但他们认为这些公理是被“证据”所强加的。事实上,他们在推理中所隐含的假设比明确说明的公理更多。令人惊讶的是,他们从未引入实数的概念,尽管欧多克索斯[2]的比例论与20多个世纪后由戴得金[3]给出的实数定义没有本质上的区别。这种把以前已知的某一类对象——在这里则是一类有理数——作为一个新的对象的抽象过程,对他们的思想来说是完全陌生的。即使是开创了诸如静力学(Statics)和流体力学(Hydrodynamics)等新领域并为积分理论开辟道路的阿基米德,也不愿意抽象地定义实数。在他之后,创造的冲动似乎被耗尽了,而数学在整个中世纪都处于沉睡之中。
[1] 亨利·柏格森 (Henri Bergson, 1859-1941),法国哲学家,文学家,于1927年凭借丰富、富有活力的思想和语言获得诺贝尔文学奖(译者注;全文所有的脚注均为译者所加,后不再一一指明)。
[2] 欧多克索斯(Eudoxus,408 B.C.–355 B.C. ),古希腊数学家、天文学家,欧几里得《几何原本》中的许多内容很有可能是来源于欧多克索斯,一些人认为他是古希腊最杰出的数学家。
[3] 里查德·戴得金(Richard Dedekind,1831-1916),德国数学家,在数论、抽象代数(特别是环论)以及算数的公理化等领域作出非常重要的贡献。
[4] 弗朗索瓦·韦达(François Viète,1540-1603),法国数学家,初高中生们熟悉的韦达定理就来源于他。
[5] 通用表意文字 (拉丁语为characteristica universalis),是莱布尼茨所设想的一种通用的形式化语言,该语言能够表达数学、科学以及形而上学等方面的概念,并支持一种通用的逻辑演算。
[6] 尼古拉·罗巴切夫斯基(Nikolai Lobachevsky,1792-1856 ),俄国数学家;鲍耶·亚诺什(János Bolyai, 1802-1860),匈牙利数学家,他们和高斯生活在同一时代。两人均独立的为非欧几何,特别是双曲几何,作出了重要贡献。
[7] 康德认为人类对时间和空间的认识不是通过概念化(conceptualisation)的方式完成的,它们是我们感观直觉的纯粹形式(pure form of sensible intuition)。非常粗略地来说,前者涉及知性(understanding)的运作,而后者形成的知识则是先验的。
[8] 格奥尔格·康托尔(Georg Cantor,1845-1918),是出生于俄国的德国数学家,创立了现代集合论,是实数的严格定义及整个微积分体系的理论基础,为数学基础(foundation of mathematics)作出了杰出的贡献。
[9] 这里指本文成文的时间,即20世纪。
[10] 尼古拉·布尔巴基(Nicolas Bourbaki)是20世纪一群法国数学家的共同笔名,他们自1935年开始撰写一系列关于现代高等数学的书籍,以把所有数学建立在集合论坚实的基础之上为目的。在这个过程中,他们致力于将数学概念尽可能地普遍化和严谨化, 对20世纪之后的数学发展产生了深刻的影响。
[11] 范畴论最早起源于1945年Eilenberg和MacLane 的题为General Theory of Natural Equivalences的论文,在随后的几十年内作为一门数学语言和工具迅速地参与到各个数学分支的发展之中。遗憾的是,本文作者埃雷斯曼的这一猜测直到多年后的今天也没能在大多数的大学内成为现实。
[12] 在现代的范畴论语言中,一般把范畴定义为两种类别的元素,即物体和它们之间的态射,所构成的数学对象;但也可以仅仅将一个范畴理解为一族态射加上上面部分定义的复合操作,因为范畴中的物体和单位态射是一一对应的。换句话说,态射的信息包含了物体的信息。本文对范畴所采取的是后一种理解。
[13] 即把一个同态看作是其对应的集合之间的函数。
本文译自 Ehresmann Charles. "Trends toward unity in mathematics." Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques 8 (1966): 1-7.
长按下方图片关注「返朴」,查看更多历史文章
最新评论
推荐文章
作者最新文章
你可能感兴趣的文章
Copyright Disclaimer: The copyright of contents (including texts, images, videos and audios) posted above belong to the User who shared or the third-party website which the User shared from. If you found your copyright have been infringed, please send a DMCA takedown notice to [email protected]. For more detail of the source, please click on the button "Read Original Post" below. For other communications, please send to [email protected].
版权声明:以上内容为用户推荐收藏至CareerEngine平台,其内容(含文字、图片、视频、音频等)及知识版权均属用户或用户转发自的第三方网站,如涉嫌侵权,请通知[email protected]进行信息删除。如需查看信息来源,请点击“查看原文”。如需洽谈其它事宜,请联系[email protected]。
版权声明:以上内容为用户推荐收藏至CareerEngine平台,其内容(含文字、图片、视频、音频等)及知识版权均属用户或用户转发自的第三方网站,如涉嫌侵权,请通知[email protected]进行信息删除。如需查看信息来源,请点击“查看原文”。如需洽谈其它事宜,请联系[email protected]。