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这节采用和前面相同的记号。Z表示处理变量（1是处理，0是对照），Y表示结果，X表示处理前的协变量。在完全随机化试验中，可忽略性 后，处理的分配机制才是完全随机化的。比如，男性和女性中，接受处理的比例不同，但是这个比例是事先给定的。

在传统的农业和工业试验中，由于随机化，可忽略性一般是能够得到保证的；因此在这些领域谈论因果推断是没有太大问题的。Jerzy Neyman 最早的博士论文，就研究的是农业试验。但是，这篇写于 1923 年的重要统计学文章，迟迟没有得到统计学界的重视，也没有人将相关方法用到社会科学的研究中。1970 年代，Donald Rubin 访问 UC Berkeley 统计系，已退休的 Jerzy Neyman 曾问起：为什么没有人将潜在结果的记号用到试验设计之外？正如 Jerzy Neyman 本人所说 “without randomization an experiment has little value irrespective of the subsequent treatment（没有随机化的试验价值很小）”，人们对于观察性研究中的因果推断总是抱着强烈的怀疑态度。我们经常听到这样的声音：统计就不是用来研究因果关系的！

在第一讲 Yule-Simpson 悖论的评论中，有人提到了哲学（史）上的休谟问题（我的转述）：人类是否能从有限的经验中得到因果律？这的确是一个问题，这个问题最后促使德国哲学家康德为调和英国经验派（休谟）和大陆理性派（莱布尼兹-沃尔夫）而写了巨著《纯粹理性批判》。其实，如果一个人是绝对的怀疑论者（如休谟），他可能怀疑一切，甚至包括因果律，所以，康德的理论也不能完全“解决”休谟问题。怀疑论者是无法反驳的，他们的问题也是无法回答的。他们存在的价值是为现行一切理论起到警示作用。一般来说，统计学家不会从过度哲学的角度谈论问题。从前面的说明中可以看出，统计中所谓的“因果”是“某种”意义的“因果”，即统计学只讨论“原因的结果”，而不讨论“结果的原因”。前者是可以用数据证明或者证伪的；后者是属于科学研究所探索的。用科学哲学家卡尔·波普的话来说，科学知识的积累是“猜想与反驳”的过程：“猜想”结果的原因，再“证伪”原因的结果；如此循环即科学。

下面谈到的是，在什么样的条件下，观察性研究也可以推断因果。这是一切社会科学所关心的问题。答案是：可忽略性，即 从上面的公式来看，似乎我们的任务是估计两个条件矩E{Y|X, Z=z}(z=0,1). 这就是一个回归问题。不错，这也是为什么通常的回归模型被赋予“因果”含义的原因。如果我们假定可忽略性和线性模型 成立，那么 就表示平均因果作用。线性模型比较容易实现，实际中人们比较倾向这种方法。但是他的问题是：（1）假定个体因果作用是常数；（2）对于处理和对照组之间的不平衡（unbalance）没有很好的检测，常常在对观测数据外推（extrapolation）。

上面的第二条，是线性回归最主要的缺陷。在 Donald Rubin 早期因果推断的文献中，推崇的方法是“匹配”（matching）。一般来说，我们有一些个体接受处理，另外更多的个体接受对照；简单的想法就是从对照组中找到和处理组中比较“接近”的个体进行匹配，这样得出的作用，可以近似平均因果作用。“接近”的标准是基于观测协变量的，比如，如果某项研究，性别是唯一重要的混杂因素，我们就将处理组中的男性和对照组中的男性进行匹配。但是，如果观测协变量的维数较高，匹配就很难实现了。现有的渐近理论表明，匹配方法的收敛速度随着协变量维数的增高而线性的衰减。

后来 Paul Rosenbaum 到 Harvard 统计系读 Ph.D.，在 Donald Rubin 的课上问到了这个问题。这就促使两人合作写了一篇非常有名的文章，于 1983 年发表在 Biometrika 上：“The central role of the propensity score in observational studies for causal effects”。倾向得分定义为 熟悉传统回归分析的人会感到奇怪，直接将 Y对 Z和 X做回归的方法简单直接，为何要推荐倾向得分的方法呢？确实，读过 Rosenbaum 和 Rubin 原始论文的人，一般会觉得，这篇文章很有意思，但是又觉得线性回归（或者 logistic 回归）足矣，何必这么复杂？在因果推断中，我们应该更加关心处理机制，也就是倾向得分。按照 Don Rubin 的说法，我们应该根据倾向得分来“设计”观察性研究；按照倾向得分将人群进行匹配，形成一个近似的“随机化试验”。而这个设计的过程，不能依赖于结果变量；甚至在设计的阶段，我们要假装没有观察到结果变量。否则，将会出现如下的怪现象：社会科学的研究者不断地尝试加入或者剔除某些回归变量，直到回归的结果符合自己的“故事”为止。这种现象在社会科学中实在太普遍了！结果的回归模型固然重要，但是如果在 Y模型上做文章，很多具有“欺骗性”的有偏结果就会出现在文献中。这导致大多数的研究中，因果性并不可靠。

讲到这里，我们有必要回到最开始的 Yule-Simpson’s Paradox。用Z表示处理（1表示处理，0表示对照），Y表示存活与否（1是表示存活，0表示死亡），X表示性别（1表示男性，0表示女性）。目前我们有处理“因果作用”的两个估计量：一个不用性别进行加权调整

另一个用性别进行加权调整（由于此时协变量是一维的，倾向得分和协变量本身存在一一对应，用倾向得分调整结果相同，见下面问题 1）

其中，表示相应的矩估计。是否根据性别进行调整，对结果有本质的影响。当 时， 第一个估计量是因果作用的相合估计；当 时，第二个估计量是因果作用的相合估计。根据实际问题的背景，我们应该选择哪个估计量呢？到此为止，回答这个问题有些似是而非（选择调整的估计量？），更进一步的回答，请听下回分解：因果图（causal diagram）。

作为结束，留下如下的问题：

  1. 如果X是二值的变量（如性别），那么匹配或者倾向的分都导致如下的估计量:

  2. 倾向得分的加权形式，

    本质上是抽样调查中的 Horvitz-Thompson 估计。在流行病学的文献中，这样的估计量常被称为“逆概加权估计量”（inverse probability weighting estimator; IPWE）。

  3. 直观上，为什么估计的倾向得分会更好？想想偏差和方差的权衡（bias-variance tradeoff）。

关于“可忽略性”（ignorability），需要做一些说明。在中文翻译的计量经济学教科书中，这个术语翻译存在错误，比如 Wooldridge 的 Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data 的中译本中，“可忽略性”被翻译成“不可知”。子曰：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成。”在 Rubin (1978) 中，“可忽略性”这个概念是在贝叶斯推断的框架下提出来的：当处理的分配机制满足这样的条件时，在后验的推断中，可将分配机制“忽略”掉。在传统的贝叶斯看来，所有的推断都是条件在观测数据上的，那么为什么处理的分配机制会影响贝叶斯后验推断呢？Donald Rubin 说，当时连 Leonard Jimmie Savage 和 Dennis Victor Lindley 都在此困惑不解，他 1978 年的文章，原意就是为了解释为什么随机化会影响贝叶斯推断。

“可忽略性” 这个名字最早是在缺失数据的文献中提出来的。当缺失机制是随机缺失（missing at random：MAR）且模型的参数与缺失机制的参数不同时，缺失机制“可忽略”（ignorable）。“可忽略”是指，缺失机制不进入基于观测数据的似然或者贝叶斯后验分布。

参考文献：

  1. Rosenbaum, P. R. and Rubin, D. B. (1983) The central role of the propensity score in observational studies for causal effects. Biometrika, 70, 41-55.

  2. Rubin, D. B. (1976) Inference and missing data (with discussion). Biometrika, 63, 581-592.

  3. Rubin, D. B. (1978) Bayesian inference for causal effects: The role of randomization. The Annals of Statistics, 6, 34-58.

  4. Wooldridge, J. M. (2002) Econometric analysis of cross section and panel data. The MIT press.


关于作者


丁鹏，2004-2011 年在北京大学概率统计系学习，获得学士和硕士学位；2011-2015 年在哈佛大学统计系学习，获得博士学位；2015 年在哈佛大学流行病学系做博士后；2016 年加入伯克利统计系任教。研究方向是因果推断。


往期回顾

因果推断之一：从Yule-Simpson's Paradoc讲起

因果推断之二：Rubin Causal Model (RCM) 和随机化试验

因果推断之三：R. A. Fisher 和 J. Neyman 的分歧


作者：丁鹏

编辑：向悦


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