因果推断简介之三：R. A. Fisher 和 J. Neyman 的分歧

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R.A.Fisher

这部分谈到的问题非常微妙：完全随机化试验下的 Fisher randomization test 和 Neyman repeated sampling procedure。简单地说，前者是随机化检验，或者如很多教科书讲的Fisher 精确检验（Fisher exact test）；后者是 Neyman 提出的置信区间（confidence interval）理论。

我初学因果推断的时候，并没有细致的追求这些微妙的区别，觉得了解到简介之二的层次就够了。不过在 Guido Imbens 和 Donald Rubin 所写的因果推断教科书（还未出版）中，这两点内容放在了全书的开端，作为因果推断的引子。在其他的教科书中，是看不到这样的讲法的。平日里常常听到 Donald Rubin 老爷子对 Fisher randomization test 的推崇，我渐渐地也被他洗脑了。

Fisher 的随机化检验，针对的是如下的零假设，又被称为 sharp null： $有限样本（finite sample）的因果作用时，每个个体的潜在结果的随机性仅仅由于“随机化” 本身导致的。理解清楚这点，才能理解 Fisher randomization test 和后面的 Neyman repeated sampling procedure。如果读者对于这种有限样本的思考方式不习惯，可以先阅读一下经典的抽样调查教科书，那里几乎全是有限样本的理论，所有的随机性都来自于随机采样的过程。$

如果认为潜在结果是固定的数，那么 Fisher sharp null 就和现行的假设检验理论不相悖。这个 null 之所以“sharp”的原因是，在这个零假设下，所有个体的潜在结果都固定了，个体的因果作用为零，唯一的随机性来自于随机化的“物理”特性。定义处理分配机制的向量为 $此时有限样本下的随机化分配机制如下定义：$

其中， $为处理组中的总数。$ 这里的“条件期望”并不是说 $是随机变量，而是强调处理的分配机制不依赖于潜在结果。$ 比如，我们选择统计量

来检验零假设，问题在于这个统计量的分布不易求出。但是，我们又知道，这个统计量的分布完全来自随机化。因此，我们可以用如下的“随机化”方法（Monte Carlo 方法模拟统计量的分布）：将处理分配机制的向量进行随机置换得到 $，计算此时的检验统计量$ $；$ 如此重复多次n不大时，可以穷尽所有的置换），便可以模拟出统计量在零假设下的分布，计算出 p 值。

有人说，Fisher randomization test 已经蕴含了 bootstrap 的思想，似乎也有一定的道理。不过，这里随机化的方法是针对一个特例提出来的。

J. Neyman

下面要介绍的 Neyman 的方法，其实早于 Fisher 的方法。这种方法在 Neyman 1923 年的博士论文中，正式提出了。这种方法假定n个个体中有m个随机的接受处理，目的是估计（有限）总体的平均因果作用：

一个显然的无偏估计量是

但是，通常的方差估计量，

高估了方差，构造出来的置信区间在 Neyman – Pearson 意义下太“保守”。可以证明，在个体处理作用是常数的假定下，上面的方差估计是无偏的。

通常的教科书讲假设检验，都是从正态均值的检验开始。Neyman 的方法给出了的点估计和区间估计，也可以用来检验如下的零假设： $实际中，到底是 Fisher 和零假设合理还是 Neyman 的零假设合理，取决于具体的问题。比如，我们想研究某项政策对于中国三十多个省的影响，这是一个有限样本的问题，因为我们很难想象中国的省是来自某个“超总体”。但是社会科学中的很多问题，我们不光需要回答处理或者政策对于观测到的有限样本的作用，我们更关心这种处理或者政策对于一个更大总体的影响。前者，Fisher 的零假设更合适，后者 Neyman 的零假设更合适。$

关于这两种角度的争论，可以上述到 Fisher 和 Neyman 两人。1935 年，Neyman 向英国皇家统计学会提交了一篇论文“Statistical problems in agricultural experimentation”，Fisher 和 Neyman 在讨论文章时发生了激烈的争执。不过，从今天的统计教育来看，Neyman 似乎占了上风。

用下面的问题结束：

在 sharp null下，Neyman 方法下构造的 T 统计量，是否和 Fisher randomization test 构造的统计量相同？分布是否相同？
Fisher randomization test 中的统计量可以有其他选择，比如 Wilcoxon 秩和统计量等，推断的方法类似。
当Y是二值变量时，上面 Fisher 的方法就是教科书中的 Fisher exact test。在没有学习 potential outcome 这套语言之前，理解 Fisher exact test 是有些困难的。
证明假定n个个体是一个超总体（super-population）的随机样本，超总体的平均因果作用定义为
那么 Neyman 的方法得到估计量是超总体平均因果作用的无偏估计，且方差的表达式是精确的；而 sharp null 在超总体的情形下不太适合。

原始的参考文献是：

Neyman, J. (1923) On the application of probability theory to agricultural experiments. Essay on principles. Section 9. reprint in Statistical Science. 5, 465-472. with discussion by Donald Rubin.

关于作者

丁鹏，2004-2011 年在北京大学概率统计系学习，获得学士和硕士学位；2011-2015 年在哈佛大学统计系学习，获得博士学位；2015 年在哈佛大学流行病学系做博士后；2016 年加入伯克利统计系任教。研究方向是因果推断。