级联斯特恩-盖拉赫实验

接下来让我们将通过级联SG实验进一步揭示电子自旋的性质。在前述的SG实验中，银原子束通过磁场后分裂为两束，若我们将向下偏转即的一束用接收屏吸收掉，让向上偏转即的另一束再次通过另一个同样的磁场，由于两个磁场之间并没有什么能改变电子磁矩方向的因素，可以预见，这束银原子仍会向上偏转。
实际情况也确实如此，不同于初始从炉中射出的取向杂乱无章的银原子，我们用不均匀磁场和接收屏筛选得到了一束自旋方向分量确定的银原子，可以用表示。
现在我们让通过一个方向的不均匀磁场，会发生什么？
级联SG实验示意图。束通过方向不均匀磁场分裂为 两束。
实验装置和结果如图所示。银原子束在通过方向不均匀磁场后，又分裂为两束，这说明它们表现出了不同的。两束的状态可分别记为和。你也许想将新分裂出的两束的状态分别记为
“毕竟，方向已经筛选过了啊！”然后你可能想，只需要再进行一次方向的实验（当然，因为我们的原子束本就沿着方向运动，做方向实验需要一些技巧。），三个方向的自旋分量就都能确定，最终得到束各自取向都确定的银原子束。但这诱惑是无法兑现的。
让再次通过方向不均匀磁场，会发生什么？倘若其状态果真是，那就应该还向上偏转，但实际情况是银原子束再次分裂为上下两束，“本该被筛选消除掉的”又出现了！
原则上，可以将级联SG实验做得无限复杂。如让经历了“磁场-磁场-磁场”共三级得到的再通过磁场，束仍会分裂。 对上面没有提到的方向磁场做实验，结果也是一样的。
一般地，对任意方向的不均匀磁场（不限于），银原子束通过后总是分裂为两束，除非与上次经过的磁场方向相同。分裂的两束的强度（银原子数量）取决于这次磁场和上次磁场的夹角，当两次经过的磁场相互垂直时，两束强度相等，一比一分裂。

量子力学基本假设：量子态及其叠加原理

现在我们引入量子力学的一个基本假设来描述（【注】所谓“解释”大致有两种，一种是用人们更熟悉的另一种情况来类比，另一种是用“更基本”的语言来重新描述，物理学选择了后者。“更基本”的描述往往能囊括多种不同的情况，使得人们只需要很少的概念就能讨论很多现象。）SG实验：

量子力学基本假设

量子系统的状态（量子态）可以线性叠加，叠加的结果（叠加态）仍然是一个物理上合理的量子态。
总结级联SG实验的现象如下：
  • 仍为；
  • 仍为；
  • 等量分裂为和；
  • 也等量分裂为和；
  • 等量分裂为和；
  • 也等量分裂为和；
  • 等量分裂为和；
  • 也等量分裂为和；
  • 其它组合同理；
  • 当前后两级磁场方向不相互垂直，分裂不再等量。
这告诉我们，不可能通过级联SG实验不断筛选来确定电子自旋的三个分量，每当一个方向上的分量确定下来，其它方向上的分量就不再确定。银原子束分裂不是因为其中有些银原子处在、有些银原子处在，和是以一种“潜在”的方式蕴含在中的，并非已经确定。
这就是量子力学中的叠加态，可以写为：
即，电子自旋在方向确定为正的态，同时也是电子自旋在方向完全不确定（表现为会等量分裂）的态。另一方面也有
你可能听说过，像等号右边这样的态，意味着有的概率得到，的概率得到，“这只不过就像硬币有两面，两面的各有概率”，你可能会想。然而式两边是等价的，这很关键！我们必须承认，叠加态是确定的状态，而不是“不知道什么状态”！等号左边有多确定，等号右边就同等地确定。
矢量既不是方向，也不是方向，它有自己的方向——而不是“不知道什么方向”！在新坐标系中平行于轴，相应地，平行于旧轴的矢量不平行于新轴。
这还告诉我们，“这个态是叠加态吗？”是一个缺乏意义的问题，当你关心的是方向分量时，上式就不是叠加态，当你关心的是方向分量时，它就是叠加态。叠加态是相对而言的。这就像问一个矢量是否平行于坐标轴，是取决于你怎样建立什么样的坐标系一样。我不厌其烦地多次使用加粗字体，希望这能给你留下深刻的印象。
另一方面，对有
比起的式子两个叠加系数都是，这里一个是，另一个是，为什么是这样？详细的原因要在正式学到自旋时才知道，在这里我们给出一个启发性的说明。将尖头翻转，写成
然后将它和的式子“相乘”，即
我们约定，形如的符号，表达的是“A中有多少B”。我们已经在式中见过了“你中有我，我中有你”，那什么情况下才“你中无我”、互不相关呢？我们约定，物理上可以完全区分的两个态是互不相关的，满足
读作态与态正交。比如和代表的两束银原子，最终在接收屏上的痕迹完全分开，于是可以说
同理，，。
于是我们得到
A中有多少A本身呢？当然是，与相对应，我们最好约定。 为此我们需要调整一下之前的叠加系数，即
于是有
说明我们的约定是自洽的。也就是说，和都能等量分裂为和意味着两个叠加系数的绝对值相等，但符号不一样，这一符号差别保证了。而将系数绝对值从改为保证了，这种在保持相对大小不变的情况下，对系数的修改称为归一化。
那么，呢？正负号的“伎俩”已经用完了，我们该怎么表达与和之间的关系呢？ 答案是引入复数。
如果我们允许叠加系数是复数，那么可以写出（正式学到自旋后，我们会亲手把求出来）
此时，两个叠加系数就不再是简单的正负之差，而是在复平面上有角度之差，我们称之为相位差。
如对
由欧拉公式，可以写为
即右边两个系数相位差为，而
中两个系数相位差为。可见，当你把两个态叠加起来，你会得到什么态不仅取决于系数的绝对值（对复数来说，模长），还有系数之间的相位差。片面地用系数的绝对值（和概率有关）来描述一个态就会丢失关键的信息，毕竟，和可是完全不同的！

量子力学基本假设：投影测量

我们已经通过SG实验认识了量子态及其叠加原理——虽然碍于知识准备不足，一些细节没有被论述。但还有一点对接下来的讨论至关重要，让我们再度考虑级联SG实验。
如对已经筛选出的，我们让它通过方向不均匀磁场，如果加入接收屏筛掉其中之一，那么留下的银原子再次进入磁场时就会分裂。如果我们在磁场的出口紧接着再设置一个方向反向的不均匀磁场，随后让银原子进入下一级磁场，会发生什么？
按照经典力学的直觉，上述设置会将两束银原子合并为一束——虽然空间上沿着同一个方向运动，但是自旋取向却不同，一半是，另一半是。再进入磁场，这两半都会等量分裂，就结果而言将在最终的接收屏上留下两道痕迹，就像最原始的SG实验一样。
然而出乎意料的事发生了：在最后的接收屏上，只有一道向上偏转的痕迹，银原子束没有分裂，就好像输入的跳过了中间的阶段一样（【注】这一可逆SG实验由魏格纳（Wigner）于1963年提出。）。
可逆SG实验示意图。最终出来只有，这迫使我们接受银原子是保持着叠加态通过磁场而非选择了某条特定的路径。
这是怎么回事？用上一小节引入的叠加态可以清楚地描述这个过程。入态为
进入磁场后的态是什么呢？对于电子的自旋态而言，无论哪个方向，只有两种相互正交的可能，这称为完备性。即，无论何时，电子的自旋态都能用和叠加出来，只不过两个系数不同。也就是说进入磁场后，态变为
其中和是两个复数，满足归一化。以进入磁场为时刻，则
原则上，银原子离开第一级磁场，进入第二级反向磁场时的系数可以用量子力学计算出来。但这里我们只需要借助电磁相互作用下的运动是可逆的这一点，可知在银原子离开第二级磁场时，两个叠加系数又都变回，也就是说态又变回了！这样，再进入磁场时当然就只会有一束。
关键在于，和必须始终保持叠加，或者说保持相干性（这里量子力学借用了光学的术语），即银原子束在磁场中处于叠加态，是一束（尽管反直觉）而不是两束，这样最后才可能恢复为。
而如果在磁场中，态“中间的加号被切断了”，银原子确确实实地变成了两束，那就无法恢复为！我们称叠加被“切断”的现象为退相干，如果能把“切断”后的态记录下来，我们就说发生了测量。
在SG实验中，重点是接收屏的存在，而不是“你”是否“看”实验装置。当然，为了见证实验结果，我们最终必须去看实验装置，但如果没有合适的接收屏，看也没有任何影响。怎样算合适呢？关键在于接收屏上的化学成分可以与银原子局域地相互作用以在屏上某处生成痕迹，因此接收屏具有测量银原子位置的能力。而通过不均匀磁场，自旋与银原子束的偏转、进而与接收屏上的位置形成了关联，这关联将电子自旋的信息泄露了出去，构成了一个合格的测量过程。我们今后会看到，这关联不是别的，正是量子纠缠。由此，测量过程可以概括为“相互作用——建立纠缠——力学量的信息经关联泄露”。
测量是相互作用吗？只能说，相互作用是测量的必要条件。测量中涉及的必须是与待测的力学量有关的相互作用，而不是随便什么相互作用。如SG实验中，自旋与银原子束的偏转关联起来，所以我们要通过测量位置来间接测量自旋，这就要求使用接收屏——一个能和银原子局域地相互作用的装置。这里局域性是至关重要的，你必须预估银原子束的前进方向来放置接收屏，如果你将接收屏放置在八竿子打不着的地方，那么就无法测量，银原子束将保持相干性。（【注】当然，你可能听说过，波动性让银原子有微小的可能出现在远离银原子束的地方，进而你可以期待摆错地方的接收屏仍能进行测量——但这可能性比中头奖还要远远低得多。只要不把银原子束的集中程度限制得太厉害，对于宏观的实验者来说就可以认为银原子束是在像经典力学的质点一样运动，从而可以预估。）。
还有一个问题是，根据量子力学计算，接收屏与银原子的相互作用将把接收屏这个仪器也“带入叠加态”，可以写成
即，相干性可以通过相互作用扩散到更大的系统中。但在实验室中，我们可以看到明确的结果态，这一经验事实与量子力学的结果发生了不协调。对这个问题，就像经典力学中的各种理想模型一样，量子力学的先驱们为测量也提出了一个理想模型：

量子力学基本假设

量子系统处于态，则测量力学量时，量子态会随机地投影到该力学量具有确定取值的某一个态上。设有种可能的取值，则测量投影到的概率为。
这一假设称为投影假设，其中后一段由玻恩提出，称为玻恩概率诠释或玻恩定则（【注】历史上，玻恩最初给出的是对位置测量的诠释，这里的推广到所有力学量的诠释也称为广义统计诠释（generalized statistical interpretation）。）。
在许多实验，尤其是量子力学历史早期的实验中，人们不太关心（也缺乏技术手段去关心）测量的最终阶段发生了什么。接受这一假设意味着将测量当成一个黑箱——但是是一个行为可预期的黑箱，人们可以通过玻恩定则计算力学量在量子态上的\textbf{期望值}，即用概率加权的平均值：
有了期望值，人们就可以比较理论和实验了。包括投影假设在内的“标准量子力学”取得了辉煌的成就，成为了人类科学史上最精确的理论之一。
当然，有许多人不满足于此，对测量过程的研究称为测量问题。自20世纪50年代起，得益于量子光学的理论和技术发展，许多过去只能模糊思辨的问题都能得到清楚的描述和确切的检验了。尽管测量问题的最终解决还未到来，但连续量子测量（continuous quantum measurement）、量子轨线理论（quantum trajectory theory）等新观念的诞生，大大深化了人们对测量问题的理解。弱测量，乃至“零作用测量”等的实验实现，向人们揭示了一个远比先驱者们预想的更加广阔而充满潜力的量子自然。
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