从零入门量子力学

提起量子力学，你会想到什么？波粒二象性？不确定性？能量离散？观测效应？以波粒二象性为代表的一系列概念提出时量子力学还没有建立，那时可以称之为旧量子论的时代。待到量子力学在1925到26年间建立后，旧量子论的概念就必须重新审视。
什么是量子力学？让我们通过一个实验来开始讨论。

斯特恩-盖拉赫实验

1921 到 22 年间由奥托·斯特恩（Otto Stern）和瓦尔特·盖拉赫（Walther Gerlach）完成的斯特恩-盖拉赫实验（Stern-Gerlach experiment）是近代物理学史上最重要的实验之一，以下简称 SG 实验。SG 实验揭示了电子的固有自旋的存在，而级联 SG 实验又能体现量子力学的态叠加原理，SG 实验及其变种是讨论量子力学的最佳试验场之一，我们将由此迈进量子力学的大门。
实验者准备一个留有小孔的炉子，其中放有银材料，银被加热至沸点以上，银原子开始通过热运动逸出材料表面向各个方向飞散，一部分经孔洞离开炉子。在孔洞前放置数个带有小孔的挡板作为准直器，这样就得到了一束几乎沿同一个方向运动、准直性很好的银原子束。为排除各种干扰，整个实验装置要放置在高真空中。
SG 实验装置示意图。实验装置的尺寸并不大，受益于 20 世纪初灯泡工业技术的发展，斯特恩和盖拉赫得以将实验装置整个置于真空室中。你也许听说过，黑体辐射的研究最初就是由灯泡工业的需求推动的，谁能想到小小的灯泡竟映照出了一场物理学革命呢？
当时人们已经认识到粒子可以带有磁矩，且早在一个世纪前，安培已经由分子电流假说设想了类似的情况。根据经典电磁学，带有磁矩、尺度足够小的物体，其在磁场中带有额外的能量
这表明，为了尽可能降低能量以趋于稳定，磁矩会倾向于与磁场的方向相同。但这并不是像一块小磁铁被一块大磁铁吸引，把方向“扳过去”那样。实际上，带有磁矩的粒子在磁场中受一个力矩
其使得磁矩方向绕着磁感线旋转，这称为拉莫尔进动（Larmor precession）。
拉莫尔进动示意图。带有磁矩的粒子被置于方向的匀强磁场中，“从上往下”看将顺时针旋转。
如图所示，当进动很快时（旋转周期远小于实验者的时间分辨能力），垂直于磁场的磁矩分量的效果平均而言为零，对外只显示平行于磁场的磁矩分量，即
这样看起来，磁矩的方向就和磁场相同了（但也变小了）。但是，携带着磁矩的物体本身的运动并不会受到影响，除非磁场是不均匀的。
当物体在空间不同位置可取得的能量不同时，就会感受到一个力，这个力会让物体倾向于往能让它能量更低的位置运动：
其中
对我们的实验设置而言，银原子束会受到一个沿方向的力：
这个力正比于磁场不均匀的程度，以及银原子磁矩在方向的分量，使得银原子在平面上偏离方向运动。由于热运动，银原子束中银原子的磁矩方向是完全随机的，应该在最大值（磁矩与磁场同向）和最小值（磁矩与磁场反向）之间连续分布。每个银原子受到的力各不相同，因而偏离中心的程度也各不相同。
在磁场出口放置一块冷却的玻璃板作为接收屏，让银原子冷凝在上面。持续“曝光”数小时后，用硫与其反应，产生黑色的硫化银痕迹， 由此就可以读出银原子的偏转量。
按照上面的分析，我们预期会看到沿着方向连续分布的一系列痕迹，然而，实验中只看到了两道明确分开的痕迹。这只能解释为银原子磁矩分量仅有两种可能的取值，而非经典力学允许的无穷多种取值， 这一现象称为角动量空间取向的量子化。

角动量，分子电流与磁矩

就像动量可以描述物体“包含多少平移运动”，角动量可以描述物体“包含多少旋转运动”。经典力学中，角动量定义为
其中冒号和等号的组合表示定义。连接物体与坐标原点的位置矢量的出现表明角动量是依赖于你选择的坐标原点的，即它不属于物体本身，而是物体和坐标系之间共有的。每当动量与不平行，物体就有绕原点旋转的趋势，不难想象吧？
基于安培的设想，我们可以将带磁矩的粒子想象为一个点电荷绕着固定轴做匀速圆周运动（【注】你也可以设想一个带电小球自转，但毕竟我们只是在做一个经典的玩具模型，在不引入量子力学的前提下增加细节并不会使我们更接近粒子的真实结构。），角速度为，位置矢量为。对轨道上的一个小截面，每隔周期就通过电荷，则平均电流为
这样一个电流为，半径为的电流圈，其在磁场中受的合安培力为零，但是力矩非零：
其中前半部分就称为磁矩，为对电流用右手螺旋得到的单位矢量。即
由
得到
即磁矩正比于角动量，比例系数称为旋磁比（gyromagnetic ratio）。磁矩和角动量的正比关系对服从量子力学的粒子也是成立的，但量子力学中角动量的含义已经和经典力学中有所不同。
上述的来自空间运动的角动量称为轨道角动量（orbital angular momentum），在建立量子力学的过程中，人们发现还存在一种与空间运动无关的角动量，称为自旋角动量（spin angular momentum）。
若使用其它种类的原子进行实验，则痕迹条数会有不同（其原因在学习了角动量理论后会明白），但都是分立的。改变磁场的方向将改变痕迹分开的方向，但痕迹的数目不变。
今天的我们已经知道，银原子在实验中展现的磁矩完全由最外层电子的自旋产生 ，的两种可能取值对应电子自旋的两种状态，记为
实验测得电子自旋的两种取值分别为和，其中为约化普朗克常量，读作h-bar， 它和最初提出的普朗克常量的关系是今天人们提到普朗克常量通常都指的是。
拿起一支笔，你可以将它指向随便什么方向，它和竖直方向的夹角在到之间任意取值，这支笔在竖直方向上的投影也就可以在整支笔的长度到零之间任意取值。然而SG实验告诉我们，一支表现得像电子自旋一样的笔将只能和竖直方向有两种夹角！“那好吧”，你可能以为这是因为竖直方向有某种特殊之处，“我看看这支笔现在指向什么方向，然后只要换一个参考的轴，就可以让笔和轴成任意角度了！” 然而这是行不通的，下一篇中我们将看到，电子自旋不存在一个确定的方向——换言之，三个相互垂直方向上的分量是无法同时确定的！
电子磁矩与轴只有两种可能的夹角，夹角约为。我们只能确定其在 z 轴（或其它轴）上的投影，无法确定其具体方向。我们将在下一篇中认识这一点。
继续阅读
阅读原文