丘成桐谈陈省身：二十世纪伟大的几何大师

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本文是丘成桐院士为“陈省身先生 110 周年纪念会”（时间：2021 年 10 月 10—14 日，地点：清华大学，线上直播 Zoom ID: 228 011 0844 (Passcode: Chern110)

撰文 | 丘成桐

陈省身（1911.10.28–2004.12.03）

油画照片来源：蕉岭丘成桐国际会议中心

书联呈陈省身老师

只手换乾坤，拓扑知曲率，

几何化宏观，后学永参陈氏类；

无双真国士，弟子遍寰球，

卓识贯六合，先生长留万世名。

—— 弟子丘成桐

按：此联作于公元二千年，呈给陈省身先生。陈先生极为欣赏，坚持我用毛笔字写好，挂在南开数学所堂上。我毛笔字太差，始终不敢动笔。先生去世后，我请了书法大师欧阳中石写了这个对联，挂在南开数学所堂上。今年先生一百一十岁冥辰，遂动笔写字如后。

先生之教育

早期

陈师省身先生 1911 年 10 月 28 日生于浙江嘉兴，2004 年 12 月 3 日在天津去世。

先生的父亲当时是一名法官，在家时间很少。先生的家在嘉兴是一个富足的家庭。先生没有上小学，但在 9 岁时开始上初级中学。

扶轮中学

先生 11 岁时，全家搬到天津。在 12 岁时，先生进入基督教中学——扶轮中学，期间学习的数学书有：

霍尔（Hall）和奈特（Knight）的《代数》,
温特沃斯（Wentworth）的《高等代数》，和
斯密斯（Smith）的《几何与三角学》。

14 岁时，先生遇到了他父亲的一个朋友，南开大学钱宝琮（1892-1974）教授。钱宝琮教授代数，同时也是中国数学史的专家之一。两年之后，他推荐先生申请南开大学。

南开大学

在南开大学本科期间，先生受教于在库利奇（Julian Coolidge, 1873-1954）指导下获得 1919 年哈佛大学博士学位的姜立夫（1890-1978）教授。大学期间，先生研读了

库利奇的非欧几何学《圆和球面的几何》，
萨蒙（Salmon）的《圆锥切面和三维解析几何》，
卡斯泰尔诺沃（Castelnuovo, 1865-1952）的《解析和射影几何》，和
斯坦德（Otto Stande）的《线构造法》等书。

清华大学

19 岁时，先生以理科最优等毕业生之一（当时只有三名）毕业于南开大学，之后成为清华大学研究生。

先生的硕士导师是研究射影微分几何的孙瑭（或孙光远，1900-1979）教授，该领域由维尔幸斯基（E.J. Wilczynski, 1876-1932）在 1901 创立，后来被富比尼（Fubini, 1879-1943）和切赫（Čech, 1893-1960）发展。

先生的硕士论文是关于射影线几何的，研究了三维射影空间中所有直线组成德空间德超曲面。先生考虑了线汇，即线生成的二维子流形和二次线复体的振荡。在他硕士毕业前，先生已完成了 4 篇关于射影微分几何的论文。发表在《东北数学杂志》上的第一篇论文，是先生的硕士论文，主要研究了射影微分几何。

布拉施克

1932，德国数学家布拉施克（Wilhelm Blaschke, 1885-1962）访问中国。他以"微分几何中的拓扑问题"为题在北京大学开设了六次讲座，内容涉及网几何、微分同胚的拟群及其局部不变量。

布拉施克的讲座促使先生阅读维布伦（Oswald Veblen, 1880-1960）的著作《位置分析》（1922）。先生开始转而研究整体微分几何，而不是射影微分几何。

1933 年，拓扑学家施佩纳（Emanuel Sperner, 1905-1980）在北京大学开设拓扑学的讲座，他关于约当曲线定理的证明给先生留下了深刻的印象。

哈佛大学的伯克霍夫（G.D. Birkhoff, 1884-1944）在北京大学也开设了讲座，先生同时从他的讲座中受益匪浅。

当时清华大学数学系主任是郑桐荪（1887-1963）教授，后来成了先生的岳父。在他的帮忙下，先生得到了奖学金，于 1934 年赴汉堡跟随布拉施克做研究。

在布拉施克的指导下，先生完成了关于网几何的博士论文。当时阿廷（Emil Artin, 1898-1962）、赫克（Erich Hecke, 1887-1947）和凯勒（Erich Kähler, 1906-2000）也在那里。布拉施克那段时间正在研究网几何和积分几何。先生研读了塞弗特—特雷法尔（Seifert—Threlfall）的《拓扑学讲义》（1934）和亚历山德罗夫—霍普夫（Alexandroff—Hopf）的专著《拓扑学》（1935）。

先生又开始研究积分几何。这门学问始自克罗夫顿（Morgan Crofton），他透过一根针和一平面曲线相交的测度，给出了计算平面曲线长度的公式。

积分几何的另一开拓者是拉东（Johann Radon, 1887-1956），他引入了现在广泛应用于医学图像中的拉东变换，即利用移动平面的截面来重构几何图像。

先生非常喜欢积分几何，部分原因是由于拉东多年前在汉堡建立的积分几何传统，而这传统又影响了布拉施克。

先生和桑塔洛（Luis Santaló, 1911-2001）都是布拉施克几乎同时期的学生。桑塔洛是继布拉施克之后积分几何的主要领导者。可能这种教育影响了先生 1939 年关于积分几何的著名文章。

凯勒

在汉堡时期，布拉施克经常外出讲学，所以先生大部分时间是跟随他的助手凯勒（Erich Kähler）学习。凯勒以他的著作《微分方程组理论导引》为题讲授嘉当--凯勒理论。开始时，讨论班塞满了人，包括布拉施克、阿廷和赫克。但是两个月后，先生成了唯一的听众。先生开始学习了解嘉当（Élie Cartan, 1869-1951）著作中的威力和直觉。

1933 年，凯勒发表了有关凯勒几何的第一篇论文。在这篇出色的文章中，他引进了不少重要的概念。他计算了凯勒度量的里奇张量是体积形式取对数后的复黑塞张量。

凯勒观察到凯勒—爱因斯坦度量必须满足某个复蒙日—安培方程，并举出了不少例子。他同时证明了凯勒几何中的里奇形式是闭形式，从而给出了德拉姆上同调类，而这个上同调类和凯勒度量的选取无关。这就是凯勒流形中的第一陈形式。先生当时正在上凯勒的课，他受到此论文的影响是不言而喻的。

在他生命的最后三十年中，先生常对学生说，他非常希望教懂他们威力强大的嘉当活动标架法。

先生很可能是在 1934 年从凯勒在汉堡的研讨班上学懂了嘉当—凯勒理论，研讨班上能坚持到最后的只有先生一人而已。

嘉当

先生毕业后，拿到了一份博士后奖学金，让他可以留在欧洲深造。布拉施克提议他或是留在汉堡跟随阿廷做研究，或是到巴黎去向嘉当问学。他选择了后者。

从 1936 至 1937 年，先生到了巴黎，追随嘉当研习活动标架法（用现代术语来说，主纤维丛）、等价方法和更深入的嘉当--凯勒理论。他在巴黎逗留了十个月，每两星期和嘉当见一次面。

1937 年夏天，先生回到了中国。其后数年，他仔细研究嘉当的工作。先生说嘉当一生的论著有六千多页，他至少看了十之七八，其中有的部分反复研读了多遍。在抗战期间的孤立环境下，能把全副精力贯注在这些论文上，并且独立地思考，可说是不幸中之大幸。

先生于 1939 年在昆明完婚。第二年，师母郑士宁有了身孕，便和她的父亲一起去上海待产，生下了他们的第一个儿子陈伯龙。直到六年后，先生才见到他的儿子。

先生如此回忆嘉当对他的影响：

毫无疑问，嘉当是本世纪最伟大的数学家之一，他天才横溢，但为人谦厚，一生平和。
1940 年，我刻苦研读嘉当的文章，终于领悟到联络的概念将会发挥关键的作用，并由此完成了几篇论文，讨论如何对给定的几何结构配上联络。

外尔对嘉当的评价

大数学家外尔（Hermann Weyl, 1885-1955）曾跟随希尔伯特（David Hilbert, 1862-1943）学习，他这样评价嘉当：

嘉当毫无置疑是在世的最伟大的微分几何学家，但我也不得不承认他的著作，跟他大部分论文一样，皆晦涩难读。

然而，外尔说直到先生来到普林斯顿高等研究院后，他才最终理解了嘉当理论。

1901 年前后，嘉当首先把许多局部的几何问题，理解成普法夫问题的推广。简单而言，普法夫问题是如何去描述给定接触 -形式的拉格朗日子流形。

嘉当提议在流形上考虑一族 -形式，而不是单个的 -形式，从而寻求条件来决定的最大子流形，使得中所有这些 -形式在其上的拉回为零。

他找到了一些充分条件，但要构造最大子流形，却不得不引用柯西—柯瓦列夫斯基定理来求解一系列初值问题，因此他的理论只在实解析范畴里是成立的（当时人们对这样的限制并不在意）。

等价问题

用现代的术语来说，嘉当利用上这族 -形式所生成的微分理想的代数来描述他的充分条件。这个结论的嘉当版本足以涵盖了嘉当（几乎）所有的应用。

1933 年，凯勒发现嘉当的理论可以很自然地推广至由任意微分形式（不必是 -形式）所生成的上的微分理想上去，同时嘉当的"对合性检验"依然成立。这便是今天我们所知道的卡当—凯勒定理了。

嘉当—凯勒理论对先生的工作影响甚大。他在构造高斯—博内定理中的微分形式和示性形式中显示的高超技巧，在我认识的几何学家中无人能及。

向量丛或主丛上的联络的非交换规范场理论，它的历史也值得一提。

二十世纪之初，嘉当马上意识到利维-奇维塔（Levi-Civita, 1873-1941）和肖顿（Jan Arnoldus Schouten, 1883-1971）的工作能够推广到许多具有几何结构的流形上，使人们可以对各式各样的张量场进行"协变微分"。

事实上在 1900 年初期，他发表了有关拟群的一系列著名论文，利用等价方法，他找到了一般方法来计算曲率不变量和在今天称之为主丛上的典范平行移动。

上世纪二十年代初期，嘉当发表了多篇关于带（拟）黎曼、共形、或射影结构的流形上内蕴"联络"的论文，此外还有些他称作"广义空间"上的内蕴"联络"。

在 1926 年出版有关黎曼几何的著作中，嘉当讨论了张量场的协变微分。

当他在 1946 年发表陈形式理论时，先生早已熟知纤维丛上的酉联络。五十年代，埃雷斯曼（Ehresmann, 1905-1979）和先生都曾撰写过一般纤维丛上的联络的综合性文章。事实上，先生在 1950 年哈佛大学举办的世界数学家大会上的大会报告，就是关于联络。

在大会报告中，先生总结了一般向量丛上联络的工作，并详细解释了这个一般理论。

事实上，先生自 1948 年底离开中国，1949 年初到达普林斯顿。他在高等研究院的韦布伦研讨班上给出了一系列报告。报告的内容要等到 1951 年先生搬到芝加哥后才成书面世，书名《微分几何学选讲》。

先生清晰地解释了嘉当和他关于一般向量丛上联络和示性类的工作（这个理论被物理学家称之为非交换规范场论，它是由外尔在 1928 年开拓建立起来的。外尔创造规范原理来解释物质背后的基本定律）。

1954 年，杨振宁（1922-）和米尔斯（Robert Mills, 1927-1999）用这个理论来解释粒子物理学中的同位旋量。可是他们不晓得如何去量子化这个理论，这正如泡利（Wolfgang Pauli, 1900-1958）所指出的那样——他们无法用这理论来计算质量。泡利也把外尔的规范场论发展出了一个非交换版本。

很明显，无论泡利、杨振宁先生或米尔斯都不知道嘉当和先生等人的工作。有趣的是，无论杨振宁先生在芝加哥留学，或是在普林斯顿当博士后，先生都在那里。杨振宁先生的父亲，杨武之（1896-1973），也曾是先生的老师。

接下来，让我们详细地解释先生在几何方面的工作。

先生大部分工作都和等价问题相关，这个问题可追溯到黎曼（Riemann, 1826-1866）。1869，克里斯托费尔（Christoffel, 1829-1900）和利普希茨（Lipschitz, 1832-1903）解决了黎曼几何中等价问题的一个特殊形式，叫做"形式问题"：

确定何时两个度量可以差一个坐标变换。

为此，克里斯托费尔引入了现在被称为列维-齐维塔联络的协变微分。

嘉当把这个问题推广到更一般的情形，即等价问题：

给定分别在坐标，下的两组线性无关的线性微分形式，，这里。对给定的李群，找到合适的条件使得存在函数

并且在上述的替换下，和只差中的一个变换。

该问题通常涉及局部不变量，嘉当给出了生成这些不变量的具体步骤。

先生之工作（1932-1943）

先生继续沿着嘉当的方向，并应用嘉当—凯勒理论解决了几个和等价问题相关的几何问题。例如，在射影微分几何中，他聚焦于下列问题：

找到子流形在射影变换群下的一族完全的局部不变量，并且透过和简单几何图形的密切性质来给出几何上的解释。

除此之外，先生也研究了网几何、射影线几何、射影空间中子流形接触对的不变量、曲面的变换（和孤立子理论中的贝可隆（Bäcklund）变换有关）。

射影微分几何中的另一个典型问题是，利用正规射影联络来研究道路结构的几何。

在 -空间里，李（Sophius Lie, 1842-1899）的学生特雷斯（Arthur Tresse, 1868-1958）利用正规射影联络研究了由积分曲线

所定义的道路。

先生把上面的结果推广到 -维空间: 给定满足一组微分方程的 -维曲线族，通过任意点及该点的任意切方向，只有唯一的一条曲线。先生定义了正规射影联络，其后还把结果推广到子流形族。

1939 年，先生完成了他人生中第一项主要工作——由克罗夫顿和布拉施克发展起来的积分几何。先生观察到，这种几何可以利用具有相同李群的两个齐次空间来更好地加以理解。于是，有的两个子群和

两个陪集和互为互相关联的，如果它们在中相交。在中的重要几何量可以拉回到上来，然后推出到上成为有趣的几何量。这项工作比以盖尔范德（Israel Gelfand, 1913-2009）为首的苏联学派和向井茂（Shigeru Mukai, 1953-）的工作都要早。今天，这种变换有时称为傅里叶—向井变换。

在他关于积分几何的工作里，先生推广了克罗夫顿的一些重要公式，1952 年，他也利用这个框架推广了庞加莱（Poincaré, 1854-1912）、桑塔洛（Santaló）和布拉施克的运动公式。

韦伊（André Weil, 1906-1998）对先生的此项工作评价到：布拉施克学派已经把积分几何的层次提高了，但陈省身的工作又一下子更上一层楼。陈省身的论文既深且广，闪烁着思想的光芒，教人难忘。

韦伊对先生的这篇文章印象深刻，还向外尔介绍推荐。之后，维布伦和外尔向普林斯顿高等研究院推荐邀请先生来访问，并给出每年 1500 美元的资助。

当先生还是清华大学的教授时，他协助姜立夫教授筹建中研院数学所。几位杰出的数学家当时就在该所：苏步青（1902-2003）、陈建功（1893-1971）、江泽涵（1902-1994）和华罗庚（1910-1985）。

1943 年 7 月，先生由昆明启程去普林斯顿。在去普林斯顿的旅途中，先生在印度加尔各答大学做了四次演讲。1946 年 4 月，先生乘船回到上海，与分别了 6 年的妻子团聚并首次见到了他的儿子。

先生访问普林斯顿（1943）

1943 年，先生受到维布伦和外尔的邀请，从昆明前往普林斯顿。当时正值二次大战期间，先生乘坐的军机从昆明出发，途经印度、非洲、南美，最后抵达迈阿密，总共花了七天时间。那年八月，他坐火车到了普林斯顿。那时他家刚生了一个男孩，五年后父子才能再见面。

虽然外尔是先生心目中的英雄，但却是韦伊建议他研究由嘉当和惠特尼（Whitney, 1907-1989）发展起来的纤维丛理论。韦伊指出斯蒂弗尔-惠特尼示性类只在模同调上有定义。托德（Todd）和埃格尔（Eger）的工作构造了一些非模同调上的示性类。

1937 年，托德（John Arthur Todd, 1908-1994）在《伦敦数学会学报》上发表了关于托德类的文章：《代数轨迹的几何不变量》（The geometric invariants of algebraic loci）。

1943 年，埃格尔（Max Eger）在《巴黎高师科学年鉴》上发表文章：《关于多维代数簇的典范系统》（Sur les systèms canoniques d'une variété algébrique à plusieurs dimensions）。

韦伊当时刚刚发表了他关于高斯-博内公式的论文，他把托德和埃格尔关于代数几何中"典则类"的工作告诉了先生。这些工作秉承了意大利代数几何学派的风格，用到了一些未经证明的结果。

陈-高斯-博内公式

先生告诉每个人，他最出色的工作是高斯—博内公式的内蕴证明。这个公式的简史可以叙述如下：

1827 年，高斯（Carl Friedrich Gauss, 1777-1855）在《关于曲面的一般研究》（Disquistiones Circa superﬁcies Curvas）中对测地三角形给出了公式：他考虑了中的曲面并用了高斯映射。
1848年，博内（Pierre Ossian Bonnet, 1819-1892）在论文《一般曲面理论综述》（Mémoire sur la théorie générale des surfaces）中，把高斯的公式推广到以一条任意曲线为边界的单连通区域。
戴克（Walther von Dyck, 1856-1943）在 1888 年的论文《对位置分析的贡献》（Beiträge zur analysis situs）中，把高斯-博内公式推广到任意亏格的曲面。
霍普夫（Heinz Hopf, 1894-1971）把公式推广到中的余维数为的超曲面。
1940 年，艾伦多弗（Carl B. Allendoerfer, 1911-1974）和费恩雪尔（Werner Fenchel, 1905-1988）研究了可嵌入到欧氏空间中的可定向闭黎曼流形。
1943 年，艾伦多弗和韦伊把公式推广到闭黎曼多面体，因而对一般的闭黎曼流形也成立，见《黎曼多面体的高斯–博内定理》(The Gauss-Bonnet theorem for Riemannian polyhedra)。

然而，艾伦多弗--韦伊的证明依赖于流形能等距嵌入到欧氏空间的假设。这假设要在十五年后，才由纳什（John Nash）（1928-2015）证明。

韦伊在先生的选集中评论到：

基于外尔和其他一些人的工作，我们依赖于"管子"的证明虽然的确要用到（当时还不明了）球丛的构造，也就是一个给定浸入的横截丛，但不是内蕴的。
陈省身的证明第一次清楚地引入了内蕴丛，也就是单位长度的切向量丛上的运算，让整个领域的面貌焕然一新。

陈-高斯-博内公式的证明

以下来解释先生的证明：在最简单的二维情形，利用活动标架，曲面的结构方程可写为

这里是联络形式，而是高斯曲率。

如果单位向量由一个整体定义的向量场所给出

其在处有定义，则应用斯托克斯公式得到

这里是以为圆心的小圆盘且。(1) 式右边的每一项，可以用向量场在处的指标来计算。根据霍普夫和庞加莱的定理，向量场的指标和等于曲面的欧拉示性数。先生的这个证明即使在二维情形也是全新的。在高维证明中，先生用到的丛是单位切球丛。

曲率形式是反对称的，其普法夫形式（Pfaffian）是

对应的高斯-博内公式是

先生苦心孤诣的一步，是找到单位球丛上的典范形式使得其微分等于的提升。这个美妙的构造叫做超渡（transgression），它在纤维丛的拓扑理论中起着重要的作用。这个构造是非常重要的。当应用到庞特里亚金形式时，它给出了陈—西蒙斯形式，这是先生和西蒙斯（Jim Simons, 1938-）二十多年后的工作了。

陈类的诞生

在《陈省身选集》的序言中，韦伊说先生初到普林斯顿时，他俩对嘉当的工作以及凯勒在《微分方程组理论导引》（Einführung in die Theorie der Systeme von Diﬀerentialgleichungen，1934）书中的精彩描述印象深刻。

两人同时意识到纤维丛在几何中将会扮演重要的角色。韦伊告诉先生去看下托德和埃格尔在代数几何中引入的"典则类"。

他们的工作很像斯蒂弗尔-惠特尼类，但不需要定义在模同调上。另一方面，上述两位作者的这些工作秉承了意大利代数几何学派的风格，用到了一些未经证明的结果。

韦伊似乎并不知道先生也受到庞特里亚金（Lev Pontryagin, 1908-1988）如下两项工作的影响：

《流形上的示性闭链》（Characteristic cycles on manifolds, C.R.(Doklady) Acad. Sci. URSS, 35 (1942), 34-37），和
《关于黎曼流形上一些拓扑不变量》（On some topological invariants of Riemannian manifolds, C.R.(Doklady) Acad. Sci. URSS(N.S.), 43 (1944), 91-94）。

这两篇文章在先生关于陈类论文的引言中都已提及。在第二篇论文中，庞特里亚金引入了由曲率形式定义的闭形式，同时证明了由该闭形式定义的德拉姆上同调和定义曲率形式的度量的选取无关。

显然庞特里亚金不知道如何对他引入的曲率形式在舒伯特胞腔上进行积分，从而把它们所表示的上同调类和他拓扑上定义的上同调类等同起来。在他成功给出了高斯—博内公式的内蕴证明后，先生试图去解决庞特里亚金工作中的这个遗留问题。

可是，实的格拉斯曼流形的胞腔结构太复杂了不好计算，先生转而考虑复的格拉斯曼流形，他成功了。

先生说，我最早接触示性类，是由于高斯—博内公式，这是每个学过曲面理论的学生所熟知的公式。早在 1943 年，当我给出维高斯—博内公式的内蕴证明后，我认识到，应用曲面理论中的正交标架，那经典的高斯—博内公式不过是高斯绝妙定理（Theorema Egregium）的一个整体性结果。这个证明的代数方面是后来被称为"超渡"的构造的第一个实例，超渡注定了会在纤维丛的同调论和其它一些问题中发挥基础作用。

嘉当关于标架丛的工作和德拉姆定理，它们始终隐藏在先生思想的背后。纤维丛的历史可简单描述如下：

斯蒂弗尔在 1936 年和惠特尼在 1937 年引入了斯蒂弗尔—惠特尼类，但它们只在模情形下才有定义。

费尔德保（Jacques Feldbau, 1914-1945）在 1939 年，艾瑞斯曼（Ehresmann）在 1941、1942、1943 年，先生在 1944、1945年，以及斯廷罗德（Norman Steenrod, 1910-1971）在 1944 年研究了纤维丛的拓扑。

庞特里亚金在 1942 年引入了庞特里亚金类。他还在 1944 年把黎曼流形的曲率与拓扑不变量建立了联系（发表在 Doklady 杂志上）。

在高斯-博内公式的证明中，先生借助了一个向量场，并利用其零点来找到流形的欧拉示性数。

假如我们把单个向量场换成个一般位置的向量场，它们线性独立，形成了 -维闭链其同调类和的选取无关。这是斯蒂弗尔（Stiefel, 1909-1978）1936 年博士学位中的主要内容。

先生对复向量丛也考虑类似的步骤。在证明高斯—博内公式中，他通过向量场的零点集利用曲率形式来表示欧拉类。很自然地，对其他陈类也可以利用个向量场的退化集。

1937 年，惠特尼考虑了更一般球丛的截面，从阻碍理论的角度对它们加以理解。

他注意到中 -维平面所构成的格拉斯曼流形的万有丛的重要性。

他在 1937 年证明了流形上任意 -秩丛都可以由上的万有丛通过映射诱导出来。

当很大时,庞特里亚金在 1942 年和斯廷罗德（Steenrod, 1910-1971）在 1944 年观察到映射在同伦意义下是唯一的。丛的示性类由如下给出：

1936 年，艾瑞斯曼研究了上同调，知道它们可以由舒伯特胞腔所生成。

上世纪九十年代，先生回忆他的工作时说："那不过是个平凡的观察，加上一点儿运气罢了。1944 年，我看到对复向量丛来说，情况远比实的情况简单，因为绝大部分经典的复空间，如经典的复格拉斯曼流形、复斯蒂弗尔流形等都是无挠的。"

对复向量丛，先生用三种不同的方法来定义陈类：阻碍理论、舒伯特胞腔以及丛上联络的曲率形式。他证明了这些方法的等价性。

虽然陈类理论远比他证明的高斯--博内定理要影响深刻的多，先生还是认为他证明的高斯—博内公式是他最好的工作。这个公式刻在南开大学他的墓碑上。

我相信先生从高斯—博内定理那儿得到了启发，从而创造了陈类。而且，从他的高斯—博内公式的证明中，先生开始认识到单位切向量构成的内蕴球丛上的微分形式在几何中的重要性。

基于阻碍理论的这个方法，平行于斯蒂弗尔把霍普夫的向量场理论推广到斯蒂弗尔—惠特尼类，其中把它们视为多个线性独立向量场存在的障碍。对曲率形式而言，利用曲率形式来表示陈类明显地类似于高斯—博内公式。先生对酉联络建立了陈类。

当他在布尔巴基研讨班上作报告时，韦伊把结果重新整理，使它能应用到紧李群的联络上去。

根据先生的自述，他知道对一般 -联络的公式。可是他并不知道上同调类和联络选取无关的证明。这着实让人觉得有点吃惊，韦伊只不过简单地用一族联络把两个联络线性地连起来，然后对由这族联络定义的示性形式进行微分，这样便得到了对应的超渡形式。

凯勒早在 1933 年就用类似的想法证明了由里奇曲率形式表示的第一陈类和凯勒度量的选取无关。庞特里亚金也曾把类似的想法用于庞特里亚金类。

1945 年，先生受邀在美国数学会夏季会议上发表主题演说。他的报告见于 1946 年的《美国数学会会刊》第五十二卷，题目为《整体微分几何学的一些新看法》。

霍普夫在这论文的评论中指出，陈省身的工作为整体微分几何学开辟了新天地。

1946 年 4 月，先生回国，赴南京出任中央研究院数学研究所的副所长。

在这时期，并加上他以清华大学教员身份在昆明西南联大教书的日子，他培养了不少对中国数学界颇有影响的青年学者，其中最著名的数学家有王宪钟（1918-1978）、陈国才（1923-1987）和吴文俊（1919-2017）。他们对拓扑学做出了重要贡献。

先生也证明了代数丛的陈类可由代数闭链来表示。对代数超曲面来说，霍奇证明了相同的结果。

当希策布鲁赫（Friedrich Hirzebruch, 1927-2012）着手撰写论文《移植某些代数曲面上的定理到二复数维的复流形》（Transferring some theorems of algebraic surfaces to complex manifolds of two complex dimension, 1953）时，他留意到文中某些结果可以推广到高维。但是所谓的"对偶性公式"尚未证明。这公式是说，两个复向量丛直和的总陈类等于这两个丛的总陈类之积。

希策布鲁赫在校对论文时，附上一个注记：承陈省身和小平邦彦（Kunihiko Kodaira, 1915-1997）告知，对偶性公式在陈省身即将发表的论文《关于复球丛和代数簇的示性类》（On the characteristic classes of complex spherebundles and algebraic varieties, 1953）中得到证明。

希策布鲁赫：“在高等研究所的两年（1952-1954）对我的数学生涯影响甚大。我研读和发展了陈类的基本性质，又引入了陈特征。后来。陈特征在我和阿提亚（Michael Atiyah， 1929-2019）的合作中，成为从 -理论到有理上同调的一个函子。”

先生的基础性论文（1946）

在论文《埃尔米特流形上的示性类》（Characteristic classes of Hermitian manifolds，1946）中，先生为复流形上的埃尔米特几何奠定了基础，同时引入了埃尔米特联络。

如果是向量丛的曲率形式，我们定义

用微分形式来定义陈类，对几何学与现代物理都有极为重要的意义。

一个例子就是先生创造的超渡概念。令是与向量丛相配的标架丛上定义的联络形式。那么曲率形式为，所以

类似地得到

其中称为陈-西蒙斯形式，它在三维流形、反常消除问题、弦理论、固体物理中起着根本性的作用。

在微分形式的层次上做超渡引出了同调群上的二级运算，比如梅西乘法，这出现在陈国才关于累次积分的工作中。

当流形是复流形时，我们记。在 1965 年的一篇重要文章中，博特（Raoul Bott, 1923-2005）和先生发现，对每个都存在一个典则构造的 -形式使得

先生利用这个定理把奈望林纳（Rolf Nevanlinna, 1895-1980）的值分布理论推广到高维复流形间的全纯映照上去。微分形式在阿莱克勒夫（Arekelov）理论中起着根本的作用。

唐纳森（Simon Donaldson, 1957-）利用的情形证明了代数曲面上关于埃尔米特--杨--米尔斯方程存在性的唐纳森–乌伦贝克–丘定理。当时，

其中是埃尔米特度量，等式右边是度量的里奇曲率。

第一陈类是如此的简洁，这促使了卡拉比猜想。复几何的简洁和优美，无论如何也不会被夸大。

先生在高等研究院和芝加哥的岁月

1946 年有关陈类的基础性文章发表后，先生详细研究了示性类的乘法结构。

1951 年，先生和斯帕尼尔（Edwin Spanier, 1921-1996）合作了一篇关于纤维丛上吉森（Gysin）序列的文章。他们独立于托姆（René Thom, 1923-2002）证明了托姆同构。

分裂原理

在 1953 年的论文《关于复球丛和代数簇上的示性类》（On the characteristic classes of complex sphere bundle and algebraic varieties）中，先生通过考虑以旗流形作为纤维的相配丛证明了示性类可以用线丛来定义。

作为一个推论，代数流形的示性类的对偶同调类包含一个代数闭链的表示。

这篇文章给出了 -理论中的分裂原理，而在和托姆同构结合后，正如格罗腾迪克（Alexander Grothendieck, 1928-2014）之后所做的那样，可以用来定义相配丛上的陈类。

霍奇曾经研究过用代数闭链来表示同调类的问题。他考虑过上述定理，但只能证明当流形是射影空间中非奇异超曲面的完全交时的情形。

先生的定理是最早的，也是关于"霍奇猜想"的唯一已知的一般陈述。它还提供了全纯 -理论和代数闭链之间的直接联系。

先生对重要几何结构创造不变量的功力，在我所认识的数学家中，无人能出其右。先生在射影微分几何、仿射几何、拟凸域的陈-莫泽不变量上的工作彰显出他深厚的功底。

先生和列文（Harold Levine, 1922-2017）、尼伦伯格（Louis Nirenberg, 1925-2020）定义的复流形上同调的内蕴范数，还有待深入发掘。

在他去世前，先生的一个主要工作设想是把嘉当-凯勒系统推广到更一般的几何情形上去。

1957 年，先生撰写了一篇文章：《关于凯勒几何的推广》（On a generalization of Kähler geometry）。事实上，先生在寻找带特殊和乐群的几何，但是在那时，除了凯勒几何外，他找不到有趣的例子。

另一方面，他在利希内罗维茨（André Lichnerowicz, 1915-1998）的著作《联络的整体理论与和乐群》（Theorie globale des connexions et dea groupers d’holonomie）的书评中指出，通过嘉当的经典工作，可知列维-奇维塔和肖顿在联络理论上的成就，其背后的指导思想正是群的概念。

他又指出一般人把嘉当的定义混淆了。嘉当的"切空间"，用如今的术语来说就是纤维，而他的活动标架空间就是现在称之为的主纤维丛。

在同一书评中，先生说，和乐群是联络理论中很自然的概念。但事实并不如他所愿，贝尔热（Marcel Berger, 1927-2016）和辛格（Isadore Singer, 1924-2021）其后发现，除了齐次空间外，它并不是一个很好用的不变量。

多年以后，辛格告诉我，当他们在芝加哥当研究生时，他和安布罗斯（Warren Ambrose, 1914-1995）上过先生开设的几何课。

稍后，他们证明了如今我们称为的安布罗斯-辛格定理，这个定理把和乐群的李代数和曲率张量联系起来了。

法国的贝尔热更进一步发展这个想法，把在黎曼几何中有可能作为和乐群的李群都作了分类，其后西蒙斯给出了一个更概念化的证明。

和乐群是嘉当在 1926 年引入的，它和流形的内在对称有关，也给今天物理学中的超对称赋予几何意义。

凯勒流形的和乐群是酉群，卡拉比—丘流形的和乐群是特殊酉群。

和先生的期望相反，现代几何中最引人入胜的流形，它们的和乐群都很特殊。这些流形的构造依赖于非线性分析，然而这不是先生所熟悉的领域。

值得留意的是，自小平邦彦的工作之后，先生在芝加哥开设了一门利用位势理论来讲授凯勒流形霍奇理论的课。

可是到了六十年代末期，先生写了本名为《无位势理论的复流形》（Complex manifold without potential theory）的小册子。小平邦彦开始证明消灭定理，出于某些原因，先生对小平邦彦开创的凯勒几何这个方向的兴趣逐渐淡下来了。

五十年代末期，先生对极小曲面这个古老的课题产生了兴趣，他的大部分工作紧接着达布（Jean Gaston Darboux, 1842-1917）、嘉当和其他人的工作，当然在本质上更具局部化。

然而，先生旋即被卡拉比（Eugenio Calabi, 1923-）关于高维球面中极小二维球的整体理论深深吸引了。

先生观察到，高维欧式空间的极小曲面，它的高斯映照可视为该曲面到高维欧式空间中由二维平面所构成的格拉斯曼流形上的映照，此时它是反全纯的。因此我们可以把全纯曲线理论应用到极小曲面理论上去，从而给出了伯恩斯坦（Berstein）和奥瑟曼（Osserman）关于极小曲面工作的新证明。注意到二维平面所构成的格拉斯曼流形具有自然的复结构。

先生在伯克利的极小曲面讲座，影响了西蒙斯在高维极小子簇上的工作。这项重要的工作使人们了解极小锥面的稳定性，对解决伯恩斯坦问题很有帮助。伯恩斯坦问题是了解极小子簇奇异点的关键。

特别地，西蒙斯在伯恩斯坦问题上做出了极其重要的贡献，使得我们可以更好的理解极小子簇的奇异性。

先生在上世纪七十年代完成了两项最后的重要工作，首先是和西蒙斯合作，引入了陈–西蒙斯不变量，其次是和莫泽（Jürgen Moser, 1928-1999）合作研究了强拟凸流形，创造了今天称作的陈–莫泽不变量。

第一项工作受到了先生在证明高斯—博内公式中超渡想法的启发。陈—西蒙斯不变量已成为理论物理和凝聚态物理的基石。第二项工作继续嘉当未完成的工作，找到了在双全纯变换下保持不变的区域局部不变量。

过去四十年间，陈—西蒙斯形式在理论物理愈见其重要性。其中的发展可略述如下：

1978 年，施瓦茨（Albert Schwarz, 1934-）引入了包含陈-西蒙斯理论的拓扑量子场论。他的论文题为《退化二次泛函的分割函数和雷–辛格不变量》（The partition function of degenerate quadratic functional and Ray-Singer invariants, 1978）。
1981 年，捷奇夫（Roman Jackiw, 1939-）和他的学生坦普尔顿（Stephen Templeton）研究了带陈-西蒙斯项的三维 QED；1982 年，又研究了非交换规范场论和三维爱因斯坦引力。
1981年，劳克林（Laughlin, 1950-）发表了二维的量子化霍尔传导性的论文；1983 年发表了分数次量子霍尔效应的论文，其中的低能量可以用陈—西蒙斯项来描述。随后的工作者有韦尔切克（Frank Wilczek, 1951-）、徐一鸿（Anthony Zee, 1945-）、泊里雅科夫（Alexander Markovich Polyakov, 1945-）等。
威腾（Witten, 1951-）把三维的陈--西蒙斯发展成和琼斯多项式有关的量子理论。威腾的文章掀起了对扭结理论的一番探索，包括所谓的三维双曲流形的体积猜想。陈--西蒙斯理论及其在凝聚态物理上的推广内容庞大，难以在此综述。
文小刚（Xiaogang Wen, 1961-）（1990 年也在高等研究院完成）引入了凝聚态物理学家称为拓扑序（topological order）的概念，来作为 TQFT 和陈—西蒙斯理论在高维量子物质中的实现。

这两件重要工作完成后，先生依然活跃。他在网几何、到复格拉斯曼流形上的调和映照、李球面几何等不同主题上继续发表多篇文章。然而和他早期的不朽工作相比较，这些文章显然影响较小。这可能是自然而然的，因为在先生 70 多岁的时候，数学家，即使是最天赋异禀的数学家，也很少做出他们最重大的贡献。

小结

当我还是学生时，先生曾对我说，他喜欢数学皆因数学有趣，并且是他擅长的东西。从高斯—博内定理的证明可见，他能从容不迫地处理极其复杂的计算。

虽然先生对现代几何的贡献至钜，但按他本人的说法，他并非如别人所想那样，对几何有全面的看法，并以之为方向。他只是跟着直觉去玩。他还强调，拥有才华横溢的朋友对他来说是多么的重要。

先生说：“几何中复数的重要性对我来言充满了神秘。它整齐有序且又浑然一体。”

先生总是对古代中国数学家从未发现复数而抱憾不已。令人欣慰的是，先生在复几何上影响深远的工作足以弥补过去两千年来中国数学的缺憾。

在他生命的最后阶段，先生大力倡导芬斯勒几何（Finsler Geometry）。他和包大卫（David Bao）、沈忠民合写了一本芬斯勒几何的书。由于芬斯勒几何缺乏具体的例子，他们很难深入发展他们的理论。

例如，在泰希米勒空间（Teichmüller space）或小林双曲流形（Kobayashi hyperbolic manifolds）中出现了具体的芬斯勒几何，但他们的理论却用不上。

黎曼在他的论文中，曾考虑过把黎曼度量定义中的二次微分换成四次微分的可能性，以便来处理非常遥远的空间几何。

基于四次微分的几何是否会丰富多彩，我们拭目以待。我们可以尝试其中的等价问题，即找到所有不变量来决定两个四次微分在变量变换下是相同的。

先生对黎曼、嘉当、外尔和韦伊佩服得五体投地，但令人吃惊地是，他并不认为爱因斯坦有何了不起，而且他对来自理论物理的崭新想法反应缓慢。

先生对和量子场论相关的几何兴趣不大。黎曼的梦想是了解极小的宇宙，这要求对量子场论、甚至一种全新的量子几何有充分的了解。

不过先生也不是一成不变的。当初我跟他谈起正在解决卡拉比猜想时，他没怎么多想直到他意识到这猜想可以用来解决他在代数几何中的某些问题时，他的看法就不同了。

自此以后，先生感受到了非线性分析在几何中的威力。重新回到中国后，先生组织了一系列的国际会议，议题便是《微分几何和微分方程会议》（Conference on Diﬀerential Geometry and Diﬀerential Equations），由此可见他看法的变化。

先生把他一生中的最后一段时间用来致力于中国数学的发展。事实上，他在南开大学建立了一个优秀的数学中心。从 1984 年到 2004 年，他付出了巨大的努力，直到去世。不幸的是，在他去世后很难找到一位适当的继任者，昔日的辉煌已成过去。

毫无疑问，陈师省身先生是一位伟大的数学家，将会在数学史上流芳百世，世人不会忘记他对纤维丛理论和示性类所作的贡献。

水龙吟 · 省身师百岁冥辰

举头千里云收，星河长挂天无际。夜静灯昏，追思无限，魂归来未？海畔南开，清华水木，尚存俊气。想登楼眺远，茫茫宇内，悠悠事，谁能记？

犹忆东传舜水，尽流芳，汉家风味。筹思如泻，世间长拜，斯人绝艺。九十华年，婆娑岁月，自然清贵。算功名，二祖秦韶差逮，几何陈类。

—— 丘成桐二零一零年八月十二日

注：

1. 舜水，明朱舜水，东渡扶桑，使阳明之学东传。这里意指陈省身第一篇正式发表的文章，

Triads of rectilinear congruences with generators in correspondence

, Tohoku

Math. J.

(1935), 179-188，刊登在日本《东北数学杂志》上。

2. 二祖指南北朝祖冲之父子，秦指宋秦九韶。

3. 陈类即陈示性类。

作者简介

丘成桐，北京雁栖湖应用数学研究院院长，哈佛大学教授，清华大学教授，美国科学院院士，中国科学院外籍院士；菲尔兹奖、克拉福德奖、沃尔夫奖、马塞尔·格罗斯曼奖得主。

本文经授权转载自微信公众号“数理人文”，原标题为《陈省身 —— 二十世纪伟大的几何大师》。

丘成桐谈陈省身：二十世纪伟大的几何大师 | 陈省身110周年纪念

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