双十一销售额造假？学了统计学你就知道这有多滑稽了 | 袁岚峰

最近，发生了一场关于双十一销售额是不是造假的热烈争论。这里涉及到不少统计学知识，因此，这正是一个向大家介绍统计学的好例子。

这场争论的源头，是2019年4月24日，一位叫做“尹立庆”的网友发了一条微博，内容如下：

“#淘宝双11骗局# 从天猫双十一的全天销售额来看，实际生产数据几乎完美地分布在三次回归曲线上，拟合度均超过99.94%，几乎为1，而且生产数据有10年之久，每一年的数据都这么高度拟合，数据过于完美，销售额与年份的增长趋势仿佛按预期的设定的线性公式发展，属于小概率事件，在实际生活中几乎是不可能发生的事。因此可以断定，阿里为了吸引双十一的购物热度，对销售额数据进行了人工修饰，存在造假事实。可断定淘宝历年双11全天销售额数据存在假造，并且从一开始就在造假。马云真的是个大骗子，骗了全世界人民，并且骗了十年。如果继续如此造假，可预测2019年淘宝双11当天销售额为2675.37亿或者2689.00亿。”

尹立庆2019年4月24日的微博

11月12日，2019年双十一的销售额出炉了：2684亿。这时许多人翻出了尹立庆半年前的预测，惊呼“神推算”，类似下面这样：

观众朋友们，请问你们对此怎么看？真的是神推算吗？真的是阿里造假被抓现行了吗？请仔细思考后回答。

我在这里可以告诉大家答案：这根本不是什么阿里造假的证据，而是作者对统计学半通不通的证据。因为他论证的逻辑完全是错误的，而最终的销售额用其他合理得多的方法也能预测个八九不离十。

具体而言，我们可以提出三个灵魂问题：

一，你真的相信，多项式函数的拟合度接近1是小概率事件吗？

二，如果马云要造假，你认为他应该用多项式函数还是指数函数？

三，如果你用指数函数来外推，会得到什么样的预测？

下面来详细解释一下。

尹立庆的微博说：“拟合度……几乎为1……数据过于完美……属于小概率事件，在实际生活中几乎是不可能发生的事。”这些话对外行可能显得很有说服力，对真正做过拟合的人来说，却只会笑掉大牙。因为，多项式函数拟合度接近1实在是太容易做到了，不接近1的都不好意思出来见人。

为了具体说明这个问题，我们需要对原文的数据做一些拟合的数值实验。其实像WPS和excel这样常用的软件就可以做拟合，欢迎大家去看我的朋友、风云学会会员陈经11月13日在我们的微信公众号“风云之声”发表的文章《解密天猫双11成交数据的“神奇”拟合：统计的障眼法》（解密天猫双11成交数据的“神奇”拟合：统计的障眼法 | 陈经），那里介绍了具体的操作方法。

尹立庆使用的原始数据，是2009年至2018年的双十一销售额，如下图（以下都以亿元为单位）：

我在excel上，把年份减去2009作为横坐标，也就是说2009年对应x = 0，2018年对应x = 9，对这些数据进行二次多项式拟合，得到如下所示的结果：

对2009年至2018年双十一销售额的二次多项式拟合

拟合出来的二次多项式是

y= 30.095 x² - 33.99 x + 6.3011，

拟合度（goodness of fit）R² = 0.9994，也就是99.94%。

光看这个，你也许会觉得这拟合真是太准确了，99.94%啊！且慢，让我们做些数值实验，看看这个拟合度的含金量有多高。

首先，把2018年的数据调高10%，也就是从2135增加到2348.5，然后再去拟合。你觉得会怎么样呢？直觉的想法是，拟合度会变得很差，对吧？

但当你真的算了以后，你就会发现，拟合度仍然高达99.67%！

再从相反的方向试验一下，把2018年的数据调低10%，也就是从2135降低到1921.5。这时你会发现，拟合度仍然高达99.52%。

对2009年至2018年双十一销售额的二次多项式拟合，2018年数据调低10%

有兴趣的观众可以尝试一下，要对2018年的数据做多大的变化，才能让拟合度小于99%。再来对前面年份的数据做类似的试验，答案会让你感到很滑稽。

由此可见，这些数据在很大的变动范围内，都会显得好像完美符合拟合的曲线！因此，拟合度接近1几乎是默认的，不接近1才是怪事。其实，用3个参数拟合区区10个点，想不准都难啊。把拟合度接近1作为造假的证据，实在是少见多怪，贻笑大方。

如果你对统计学的理论不感兴趣，那么你了解到这个程度就够了。如果你想理解拟合度为什么这么容易接近1，我们来解释一下。

这里的关键，是搞清拟合度的定义。如果听到一个东西的拟合度为99%，外行可能会理解为：这件事有99%的可能是真的。但其实，根本不是这个意思！

所谓拟合，就是寻找一条曲线，使它尽可能地靠近已知的若干个点。什么叫做“尽可能靠近”呢？最容易想到的判据是，每一点的真实值和拟合值之间都有个误差，令这些误差的绝对值之和最小。但这样在数学上不容易处理，因此真正常用的判据是，令这些误差的平方和最小。由此推出的算法，叫做最小二乘法（method of least squares）。

在最小二乘法的框架下，拟合度的定义是

R²= SSR / SST = 1 - SSE / SST，

其中的SSR、SSE和SST是三个数量。它们是什么意思呢？

定义这三个量，需要用到三类关于单个数据点的数值：第一类是真实值，例如上面例子中2009年的0.5和2018年的2135等真实销售额；第二类是拟合值，在上面的例子中就是拟合出来的二项式函数在各个年份的计算值；最后一类是所有真实值的平均值，在上面的例子中等于711.055。如果一组数据有n个点，那么我们就有n个真实值和n个拟合值，而平均值总是只有一个。

有了这些基础以后，SSR、SSE和SST这三个量的定义就是：

SSR、SSE和SST的定义（https://blog.csdn.net/S20144144/article/details/99672706）

SSR叫做回归平方和（Sum of Squares for Regression），它是每一点的拟合值与平均值的差值的平方和；

SSE叫做残差平方和（Sum of Squares for Error），它是每一点的真实值与拟合值的差值的平方和；

SST叫做总离差平方和（Sum of Squares for Total），它是每一点的真实值与平均值的差值的平方和。同时它也刚好等于SSE + SSR，这并不是显而易见的，但可以由最小二乘法的定义证明。有兴趣的观众，可以在统计学的资料中找到证明。

知道这个定义，就容易明白为什么拟合度经常接近1了。

对于一组真实的数据，各个点的真实值往往差别很大。例如在上面的双十一销售额数据中，最小值是0.5，最大值是2135。因此，大多数点真实值跟平均值的差别都不小，在上面的例子中是几百上千的量级。这些差别的平方和就是总离差平方和SST，它是一个很大的值。

另一方面，只要这组数据不是太畸形，那么在每一个点上，真实值跟拟合值的差别都可以做到比较小。在上面的例子中，就是几到几十的量级。这些差别的平方和就是残差平方和SSE，显然它比总离差平方和SST小得多。

回顾一下，拟合度

R²= 1 - SSE / SST，

因此它接近于1，不是理所当然的吗？

以上，我们解答了第一个灵魂问题：你真的相信，多项式函数的拟合度接近1是小概率事件吗？

了解了这个基本道理，所谓造假的指控就已经烟消云散了。如果你还想学到更多，那么还可以再去思考后面两个灵魂问题。我在这里给出最简略的回答，陈经的文章（解密天猫双11成交数据的“神奇”拟合：统计的障眼法 | 陈经）里有详细的数值，欢迎大家去阅读。

第二个灵魂问题：如果马云要造假，你认为他应该用多项式函数还是指数函数？

回答是：指数函数才是合理的，因为可以保证是个增函数。而多项式不是单调函数，这会造成很可笑的后果。你仔细看一下拟合出来的二次多项式

y= 30.095 x² - 33.99 x + 6.3011，

x= 0对应的是2009年的拟合值，等于常数项6.3011，

x= 1对应的是2010年的拟合值，等于

30.095 - 33.99 + 6.3011 = 2.4061。

也就是说，2010年的销售额会比2009年的低。什么人会白痴到制定这样的造假计划啊！

第三个灵魂问题：如果你用指数函数来外推，会得到什么样的预测？

2009年至2019年的双十一销售额增长率（解密天猫双11成交数据的“神奇”拟合：统计的障眼法 | 陈经）

回答是：根据前几年的增长率，一个正常的感觉是2019年的增长率会在25%左右。这样得到的预测值是2668.75，跟真实值2684也十分接近。

我的朋友黄文政博士是一位统计学专家，在哈佛大学等学校给研究生讲过高等统计回归方法。他对此事还有四点评论。

第一，在新闻上看到小概率事件，是常有的事。因为狗咬人不是新闻，人咬狗才是新闻，被报道出来的是已经被筛选过的。但人们看报道时往往忘记了这一点，所以大惊小怪。

第二，对于这种全都大于0但数量级跨度很大的数据，标准的处理方法是先求对数再拟合，也就是我前面说的用指数函数拟合。直接在原始尺度上做拟合，是非常不专业的做法。这样会导致拟合结果过度依赖于数值最大的一些点，而对数值小的点可能相对误差已经很大了，绝对误差却在大图上看不出来。上面的例子中就是这样，x = 0也就是2009年的拟合值等于6.3011，而真实值是0.5，相对误差高达1160.22%！

第三，阿里很可能确实有一定的销售目标，有很多手段去帮助达到这些目标。其实我觉得正常的企业都会有这样的目标和手段，没有就怪了。但这不叫造假啊！

第四，从长远来看，人口决定消费的长期趋势。根据2010年人口普查，中国的出生人口从1990年的2800万在十年内降至1999年的约1500万，这些人是双十一的购物主体。由于中国的生育率远低于更替水平，未来中国的人口会快速下降，这是一个重大的危机。

现在，大家知道为什么内行对此事一眼就能看明白了吧？大家对统计学，也理解得深入多了吧？

在数据分析中，拟合是一个相当有用的工具。但为了向人们提醒它的局限性，伟大的数学家冯·诺依曼（John von Neumann，1903 - 1957）有一句名言：

“用四个参数我可以拟合出一头大象，而用五个参数我可以让它的鼻子摇起来。”

这话最初只是开玩笑，但后来真有人去研究如何用四个参数拟合大象，而且还真让他们给研究出来了（http://blog.sciencenet.cn/blog-3779-803730.html）。2010年6月，尤根·迈尔（Jürgen Mayer）等三位德国分子生物学家在《美国物理学期刊》（American Journal of Physics）发表了一篇文章，标题是《用四个复参数画出一头大象》（Drawing an elephant with four complex parameters）。他们发现，用四个复参数可以大致勾勒出大象的形状，再引入一个复参数就可以让大象的鼻子摆动起来（https://www.zhihu.com/question/64001603/answer/216061603）。

拟合大象

严格地说，这里用到的参数不止四个，因为一个复数相当于两个实数。不过无论如何，这大象是不是充满了灵性？！

背景简介：本文作者为袁岚峰，中国科学技术大学化学博士，中国科学技术大学合肥微尺度物质科学国家研究中心副研究员，科技与战略风云学会会长，青年科学家社会责任联盟理事，中国无神论学会理事，安徽省科学技术协会常务委员，微博@中科大胡不归，知乎@袁岚峰（https://www.zhihu.com/people/yuan-lan-feng-8）。

责任编辑：孙远