柏拉图的数学哲学

柏拉图是古希腊著名的哲学家,同时又是一个数学哲学家。他的数学哲学思想迄今仍影响着当代一些数学家和数学哲学家。现代数学研究对象的抽象性日益提高,使得数学对象的实在性或客观性成为数学家和数学哲学家关注的问题。本世纪三十年代以后,随着数学基础三大学派的争论渐趋平静,数学对象的实在性问题成为形式主义与自称柏拉图主义论战的焦点。为追溯现代数学柏拉图主义的思想渊源,本文就柏拉图的数学哲学作一探讨。

时代背景

柏拉图数学哲学思想的产生有其深刻的哲学和数学背景。在哲学方面,当时的哲学家都致力于寻找世界的本原。柏拉图跟随苏格拉底学习哲学。苏格拉底研究了伦理学中的普遍的东西、定义。例如,正义、美的本质。他继承他的老师从个别的事物中寻找普遍的东西,从现象中探求本质的传统。但他却把普遍的东西、定义与个别的东西分离开来,使之成为“单个的存在物”——理念。柏拉图还接受赫拉克利特关于“一切皆流”,无物常住的思想。但他又进一步认为,永恒变动的事物不能成为知识的对象;知识只能是对永恒不变的事物的认识。爱利亚学派的巴门尼德把可感事物的抽象归结为思想性的存在,并把它和非存在绝对对立起来。柏拉图则认为,永恒不变的存在是客观实在的,可感事物是处在存在与非存在之间。在解决理念与具体事物的关系时,他吸收了毕达哥拉斯的“摹仿说”。毕达哥拉斯学派认为,“万物皆数”,事物是“摹仿”数而存在的。柏拉图则认为事物是分有理念而存在的。这样,柏拉图就逐渐建立起他的理念论:理念与其同名的可感事物分属两个对立的世界,理念先于可感事物而独立存在;理念是本原、模型,它是永恒的、客观存在的,可感事物处于运动变化之中,它存在但不实在,它处于实在与非实在之间;可感事物是分有同名理念而存在的。

如果说理念论产生的哲学背景带有思辨的性质,那么数学背景——第一次数学危机,就是一个科学事实问题。

毕达哥拉斯学派发现了不可公度量,引起数学史上第一次危机。它迫使哲学家作出理论解释。可是这一重要事实常常被人忽略。这次危机及其解决,无论在数学方面还是在哲学方面都具有重大意义。就哲学意义来说,它首先动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数”的自然观。其次是它使人们认识到感性知识是不可靠的,只有理性知识才是可靠的。因为根据毕达哥拉斯学派的理论,任何事物都可以用正整数或正整数的比来表示,叫做可公度比(即具有公共度量单位)。就两条线段来说,从直观上看,总是可以找到一个公共量度单位,把两条线段都量尽,进而用整数比来表示它们,使得它们成为可公度比。但是,在数学中根据毕达哥拉斯定理却可以证明,等腰直角三角形的斜边与直角边之比却是一个无限不循环的数,也就是说,找不到一个公共量度单位使得它的整数倍等于斜边的值,或者说,等腰直角三角形的斜边与直角边是不可公度的。这一事实说明,感性直观的知识是靠不住的。作为跟随过毕达哥拉斯学派重要成员、数学家泰奥多鲁斯和阿启泰学习过数学的柏拉图是知道这次危机所引起的冲击的,所以他强调数学是研究抽象的,强调假设—演绎方法;而且他的学派的重要成员、大数学家欧多克斯建立的比例论在解决危机的过程中实现当时数学研究重心的转移方面作出重要贡献。正是感性直观知识的不可靠性,才促使柏拉图一心一意地追求可靠的知识,寻找实在的、永恒不变的知识对象——理念。

另一方面,既然理念与可感事物是分立对立而存在的,它们作为认识的对象,心灵所获得的知识,一个是可靠的一个是不可靠的,那么,如何使不可靠的知识上升为可靠的知识呢?柏拉图正是在寻找知识的过渡形态过程中建立他的数学哲学理论——数学的居间性;数学对象分离独立存在于可感事物之外;理念数论及物质元素的几何结构。

数学的居间性

柏拉图认为,理念是客观实在的,而分有同名理念的具体事物虽然存在但不实在。因此,怎样使灵魂脱离变化的可见世界而进入可知的实在世界,成为他研究的重要课题之一。柏拉图正是在寻找知识的过渡形态中发现,数学不仅具有实用意义,它是“一切技术的、思想的和科学的知识都要用到的,它是大家都必须学习的最重要的东西之一”(〔1〕,522C),而且具有重要的理论意义,它是“把灵魂拖着离开变化世界进入实在世界的学问”(〔1〕,521D),即由可见世界进入可知世界的阶梯。为了说明数学的居间性,他从数学在认识论中的地位和存在不同等级的三种数来进行论证。

数学在柏拉图认识论中的居间地位

柏拉图在其认识的四阶段论中把数学定位于“比意见明确一些,但比知识要暧昧一些”的理智阶段(〔5〕,205)。他在“线喻”中阐明了这一思想。

认识的四个阶段——“线喻”

柏拉图在《国家篇》中根据知识的实在性和真实性的程度,通过“线喻”把知识分为四个等级。首先他把世界分为可见世界和可知世界两部分,然后在这两部分中按认识对象的不同再把可见世界分为:实物影象和实物本身;把可知世界划分为:以实物作影象和理念。这样,对应于不同的认识对象,就有四种不同的灵魂状态:想象、信念、理智、理性,而从可见世界获得的只能是一种意见,只有从可知世界才能获得真实的知识。其中:

第1等级:以实物的影象为对象,它所对应的心理状态是想象。

第2等级:以实际的东西(也就是我们周围的生物以及一切自然物和人造物)为对象,它所对应的心理状态是信念。

第3等级:以实物作为影象的对象,是数学的研究对象,它是向第4等级过渡的中间阶段,它所对应的心理状态是理智。

第4等级:以理念为对象,无论从实在性或真理性来说,都是最高等级的,是纯哲学研究的范围。它所对应的心理状态是理念。

由此可见,柏拉图通过“线喻”不仅展现出认识的四个阶段(想象、信念、理智、理性),而且把数学的对象和知识确定为过渡性的中间阶段。

数学处于理智认识阶段

柏拉图认为,数学虽然属于可知世界,但它在研究的对象、方法、目的以及真实性等方面又不同于理性,所以它是处于从意见过渡到知识的理智阶段。

在研究对象上。柏拉图认为,数学家研究的是各种图形,他把实际事物作为影象,这些“图形乃是实际的东西”,它们属于感性的事物;他们所研究的虽然不是所画的这些特殊的图形,而是图形本身,但他们所要看到的是,只有用思想才能认识到的理念。他说:“显然,他们利用各种可见的图形,谈到这些图形,但他们所思考的实际上并不是这些图形,而是这些图形所摹仿的那些东西。他们所研究的并不是他们所画的这个特殊的正方形和这个特殊的对角线等等,而是正方形本身,对角线本身等等。他们所作的图形乃是实际的东西,有其水中的影子和影象。但是他们现在又把这些东西当作影象,而他们实际要求看到的则是只有用思想才能认识到的那些理念”(〔5〕,200页)。理性的研究对象是理念,它不引用感性事物,而只引用理念。他说:“人的理性决不引用任何感性事物,而只引用理念,从一个理念到另一个理念,并且归结到理念”(〔5〕,201页)。

在研究的方法和目的上。数学研究的方法是假设—演绎法,“由假设下降到结论”。例如,“研究几何、数学以及这类学问的人,在开始的时候要假定偶数与奇数、各种图形、三角形以及其他类似的东西,把这些东西看成已知的,看成绝对的假设,不觉得需要为他们自己或别人来对这些东西加以说明,而是把这些东西当作自明的。他们就从这些假设出发,通过一系列的逻辑推论而最后达到他们所要的结论”。“由于人的思想不能超出这些假设,因此人的思想不能向上活动而达到第一原理”(〔5〕,200页)。所以,几何学家所研究的东西“虽然确实属于我们所说的可知的东西一类,但是有两点除外:第一,在研究它们的过程中必须要用假设,灵魂由于不能突破与超出这些假设,因此不能向上活动而达到原理;第二,在研究它们的过程中利用了在它们下面一部分中的那些实物作影象——虽然这些实物也有自己的影象,并且是比自己的影象来得更清楚的更重的”(〔1〕,511)。

而理性的研究方法是假设—辩证法,由假设上升到第一原理。他说:“至于讲到可知世界的另一部分,你会了解我指的是人的理性凭着辩证法的力量而认识到的那种东西。在这种认识活动中人的理性不是把它的假设当作绝对的起点或第一原理,而是把这些假设直截了当地当作假设,即是把它们当作暂时的起点,或者说当作跳板,以便可以从这个起点升到根本不是假设的某种东西,上升到绝对的第一原理并且在达到这种第一原理之后,又可以回过头来把握那些以这个原理为根据的、从这个原理提出来的东西,最后下降到结论”(〔5〕,201页)。

正是由于在研究方法和目的上的不同,所以他“把几何学家和研究这类学问的人的心理状态叫做理智而不叫做理性,把理智看成介于理性和意见之间的东西”(〔5〕,201页)。

在知识的真实性上。柏拉图认为:由于数学在研究方法和目的上的局限性,使得它不能真正理解其研究对象,不能给假设以合理的说明,所以它虽然在某种程度上认识到实在,但只能象做梦一样,不能算做真正的知识。他说:“研究这些科学技术的人在思考感官所不能感觉到的对象时,必得要用思想,但是,由于他们是从假设出发而不能回到第一原理。因此,你不会认为他们真正理解这些对象”(〔5〕,201页)。“只有几何学及与之相关的科学,才的确在某种程度上认识到实在。但是我们也看到就连这种科学,对于事物的认识也只能象做梦一样,因为它们只是假定它们所用的假设,而不能给这些假设以合理的说明。如果你的前提是你所不能够真正知道的东西,那么这种认识如何能够算得真正的知识或真正的科学呢?”(〔5〕,205页)

而理性则不同,它把假设当作跳板,并且通过辩证法达到第一原理,所以它能够给假设以合理的说明,才真正认识到实在。因此,辩证法研究的可知的实在比把假设当作第一原理的所谓科学技术的对象,具有更大的真实性。他说:“当一个人根据辩证法企图只用推理而不要任何感觉以求达到每个事物本身,并且这样坚持下去,一直到他通过纯粹的思想而认识到善本身的时候,他就达到了可知世界的极限”(〔5〕,203页)。

数学数处于可感觉数和理念数之间

柏拉图在《国家篇》讲到算术的作用时谈到“纯数”和“可见物体的数”。他说:算术“用力将灵魂向上拉,并迫使灵魂讨论纯数本身;如果有人要它讨论属于可见物体或可触物体的数,它是永远不会苟同的”(〔1〕,525D)。他在《PHILEBUS》中讲到两类算术的区别时又说到计数的不同单位和相同单位。他说:“有些算术家计数不同的单位,例如,两支军队、两头牛、两件很大的东西或两件很小的东西。反对他们的一伙人坚决认为,在一万以内的每一个单位都必须与其他单位相同”(〔10〕,56)。这里的“可见物体的数”和“计数不同的单位”在数学中叫做名数,而亚里士多德把它叫做感觉的数;而“纯数”和“每一个单位都必须与其他单位相同”的数是指抽象的数学数。这说明柏拉图认为存在着两种数,即数学的数和可感觉的数。至于第三种数即理念数,那是他在后期把理念论与毕达哥拉斯学派的“万物皆数”相结合的产物。他的学生亚里士多德在《形而上学》中就说到他认为存在着另一类数——理念数。亚里士多德说:“抽象的众数与物质世界的众数是相同的数,抑或不相同的两类数呢?柏拉图说这是不相同的;可是他也认为数可以作事物之量度,也可以成事物之原因,其分别恰是这样,事物本身的数是感觉数,为之原因之数则是理知数”(〔4〕,990a29—34)。这里讲的“理知数”是抽象的、可作事物之量度,又是事物之原因。就其抽象性和作为事物之量度而言,它类似于数学数,就其“成事物之原因”而言,它又区别于数学数。所以它只能是一种新的数——理念数。亚里士多德还在《形而上学》(1080a17—37)一书中,按数的单位的可结合性把数分成三类:

1.每一个数的单位无例外地都不能结合;

2.各个数的单位彼此都能互相结合,如数学数;

3.有些单位可结合,有些单位不能结合。

并说“有些人(指柏拉图)说两类数都存在,其中先后各数为品种有别者等同于理念,数学数既不同于理念又不同于可感事物,但这两类数与可感事物相分离”(〔4〕,1080b10—14)。“那些最初断定数有理念和数学两类的人既没有说也不能说数学之数怎样存在和由什么组成。他们把数学数安置在理念数与可感觉数之间”(〔4〕,1090b33—35)。亚里士多德在这里不仅直接讲到理念数,而且指出它的特点是,不同的理念数在性质上是不同的,其单位是不能互相结合的,但它们都与可感事物相分离。

以上说明,柏拉图确实认为存在着三种数:感觉数、数学数和理念数,而且数学数是处于中间位置的。关于数学数的居间性,除了在“线喻”中作了说明以外,这里还就数学数与理念数在生成和成为事物的原因方面的不同,作进一步说明。柏拉图在《巴门尼得斯篇》中详细地讲到数学数的生成过程:

1.从“如若一是”推出`一’必然分有`是’。

2.从“一”分有“是”引绎出“异”。因为“一”分有“是”说明“一”所分有的“是”与“一”自身是各异的。所以就产生“一”、“是”、“异”不同的三者。

3.由一、是、异三者引绎出数:(1)从一、是、异中任选一个就产生1;(2)从一、是、异中任选一对就产生2;(3)由2加1就产生3;

由于2是偶数,3是奇数,所以不仅有了奇数与偶数,而且也有了奇倍与偶倍。这样,就可通过偶倍偶数、偶倍奇数、奇倍偶数、奇倍奇数产生一切数了。所以柏拉图说:“如若一是,必然地有数”(〔2〕,143C—144A)。当然这其中还必须补充一加法才能真正产生所有的正整数(〔2〕,注249)。

柏拉图的理念数论首先肯定理念是数,是事物的原因,然后指出理念数的生成原则(〔4〕,1081a14—17):一和不定的二(dyad)。

既然理念数与数学数的生成不同,那么它们的计数法也不同:“数学数是这样计数的:1,2(由1与前一个1组成),3(由两个1和1组成),其余类似。而理念数是这样计数的:1,接着是不同的2(不包含第一个1),3(不包含2),其余类似”(〔11〕,1080a30—34)。

正因为数学数与理念数存在着这些区别,特别是理念数是事物的原因,而数学数不是,这就决定数学数低于理念数。另一方面,感觉数是与事物的质相联系的,它的抽象程度自然比脱离事物的质的抽象的数学数低。所以,数学数必然处于中间体的地位。

数学对象的存在方式

在这个问题上,柏拉图把他在理念论中的分离说应用到数学对象上,认为数学对象分离独立存在于可感事物之外。

亚里士多德认为,数学对象不可能分离独立存在于可感事物之外,并从七个方面作了反驳。这里只选取其中的四个来说明亚里士多德是怎样进行反驳和论证的。

第一个论证以柏拉图关于理念的在先性、分离性和要素的非组合性为前提,推论出:如果在可感的立体之外存在一个先于并且与可感事物相分离的另一种立体,那末根据同样的道理,在可感的面、线、点之外,也应该独立存在着在先的面、线、点。也就是说,在可感的体、面、线、点之外还存在一组数学对象的体、面、线、点。根据组合物是由在先的、独立存在的要素组成的,以及面是由线组成的,线是由点组成的,就可以推出:存在两套体、三套面、四套线、五套点。那末数学家究竟研究其中那一套呢?(〔4〕,1076b13—40)

第二个论证说,如果几何学的对象脱离可感事物而独立存在,那么作为数学的一部分的天文学,其对象也将脱离可感事物而独立存在,可是,天空及其各个部分怎么可能脱离可见的天空及其各部分而独立存在呢?同样,光学和声学的对象也将独立自存,否则,为什么有的对象能与可感对象相分离,有的就不能呢?(〔4〕,1077a1—9)

第三个论证是,柏拉图认为,数学对象是处于理念和可感事物的中间体。根据这种观点,我们可以从理念与中间体之间再分离出另一类中间体,它既不是数也不是点,既不是空间量也不是时间。如果这是不可能的,那末数学对象也不可能与可感事物相分离而独立存在。(〔4〕,1077a9—14)

第七个论证是,立体是一种本体,因为它在某种意义上已经具有完整性了。但是,线怎么能够成为本体呢?它既不是象灵魂那样作为一种形式,也不是象立体那样作为一种质料。因为我们没有关于把点、线、面放在一起的经验,如果它们也是一种物质实体,我们就应该看到把它们放在一起所组成的东西(〔11〕,1077a31—36)。他说:“假定点、线、面的定义在先,但并不是所有定义上在先的东西在本体上也在先。因为本体上在先的东西,当它与其他事物分离时,更具有独立存在的能力,而事物在定义上先于那些其定义是由事物的定义合成的事物;因此,这两种属性不是共同扩张的。因为如果属性不是脱离其本体而独立自存的(例如,`运动的’或`苍白的’),那末`苍白的’在定义上就先于苍白的人,而在本体上却不是在先的。因为它不可能分离独立存在,而总是跟随着具体事物,我所说的具体事物是指苍白的人。因此很清楚,抽象的结果并不是在先的,由于加上一些决定性因素而产生的那些东西,也不是在后的,因为我们所说的苍白的人,正是由于把一个决定性因素加给`苍白的’”(〔11〕1077b1—11)。

亚里士多德通过七个方面的论证得出结论:“数学对象并不是比物体更高级的本体,它们在本性上并不先于可感事物,而只是定义上在先;它们不可能独立存在于某个地方”(〔11〕1077b11—14)。从而否定了柏拉图关于数学对象独立存在于可感事物之外的观点。

理念数论及物质元素的几何结构

柏拉图的理念论在学园内部引起争论,他自己也意识到其中的“分有说”遇到困难。所以他在晚年一方面在《巴门尼德篇》和《智者篇》中提出“通种论”,即最普遍的种有三对:存在与非存在、动与静、同与异,它们既互相区别又互相联系;它们可以互相连接而成为集体,连接越多内容越丰富,于是,`种”的集体就成为个别事物。这样,他就避免了`分有说’带来的困难。另一方面,他在“线喻”中讲到数学在认识论中具有阶梯的作用后,在《Philebus》中又明确地讲到两种算术和两种几何。他把研究“两支军队、两头牛、两件很大的东西或两件很小的东西”这类不同计数单位的算术叫做普通算术(Popular arithmetic),而把研究数的各个单位都可以互相结合的抽象数的学问,叫做哲理算术(Philosophical arithmetic)。类似地,他把研究建筑学中的测量这类生产性技艺叫做普通几何学(Popular geometry),把抽象地研究图形的几何关系的学问叫做哲理几何学(Philosophical geometry)(〔10〕,55,56)。哲理数学的提出,说明柏拉图认为数学还具有哲理性的一面,更倾向于把数学在认识中的阶梯地位提升到理性的阶段。这就为他提出理念数论奠定了思想基础。同时,他又把毕达哥拉斯学派的`数本说’(数为万物之本原)与理念论结合起来,提出一种不成文的学说——理念数论。它其所以称为不成文的学说是,因为它只是在学园内部讲课时提出的,既未正式发表也不成体系,我们只能在亚里士多德的批判中略知梗概。

理念数论的基本思想是:1、理念是数;2、理念数的生成原则是,一和`不定的二’(indefinitedyad);3、理念数的实在性比数学数高一等级,因为“他们把数学数安置在理念数与可感觉数之间”(〔4〕,1090b35—36);4、理念数与数学数的区别,在单位的可结合性上,数学数的单位无例外地彼此可以互相结合;而理念数中不同数的单位是不能结合的,如`本2’的单位不能与`本3’的单位结合,其余的理念数也如此。在计数方面,也有区别(〔11〕,1080a24—35)。

尽管理念数论因为遇到许多麻烦,而成为一种不成文的理论。但是,在柏拉图看来,既然数等同于理念,成为万物的本原,作为数学的一部分的几何学,其研究的对象——点线面体也应该成为万物的本原,所以,他在《蒂迈欧篇》用它们来构造物质元素的几何结构。

他认为,构成物质世界的火、土、水、气四种元素都是物体,而每一种物体都占有体积,都是立体。立体必然被一些平面所包围,每一个平面直线图形都是由三角形组成。原始的三角形有两种:等边直角三角形和不等边直三角形。所以,“我们假设,这些三角形是火和其他物体的原始元素”(〔9〕,53C)。接着,他分别按照这两种三角形的不同组合和连接,构造出四种立方体:角锥体、立方体、八面体和二十面体。然后,根据这些立体图形的稳定性、体积的大小以及立体角的大小,结合四种元素的物理特点,分别把它们指派给火、土、气和水。他说:“我们把已经说明过其形成的那些图形分配给火、土、水和气。我们把立方体指派给土,因为在四种物体中土是最稳定的,而且最具有可塑性的,其基面最稳定的图形必定最符合那种描述;我们开头假定,如果取这些三角形作基面,那么依性质,等边三角形的面比不等边三角形的面更稳定;而且,由这两种三角形合成的两个等边面,其正方形无论从局部看还是从整体上看,都必然比三角形具有更稳定的基面。因此,我们将尽可能维持我们的理由,如果我们把这种图形指派给土;剩下的,把最小变动的图形指派给水,把最不稳定的图形指派给火,把稳定性方面居中的图形指派给气。另一方面,我们把最小的立体指派给火,把最大的立体指派给水,把大小适中的立体指派给气。其次,把最尖的角指派给火,接着分别指派给气和水。现在在所选取的图形中,面数最少的图形角锥体(pyramid)必定是最不稳定的,因为它的棱和角是最尖锐的。第二种立体是八面体(octahedron),它在这些关系中处于第二位,第三种立体是二十面体(icosahedron),它处于第三位”(〔9〕,55d,56a,b)。

因此,“可以把角锥体看作火的元素或种子;把依次生成的第二种立体图形(八面体)看作气元素;把第三种立体图形(二十面体)看作水的元素”(〔9〕,56b)。为什么这四种立体图形能够分别被看作土、水、火、气的元素呢?因为“我们必须设想,这些立体是如此之小,以致任何一种单个立体图形都是因为其小性(smallness)而看不见的,尽管把一定数目的立体图形聚合在一起时是看得见的。关于它们的数目、运动和性质,我们必须假定,上帝按照适当的比例调整它们,使得它们成为最精确、最完美的东西”(〔9〕,56b)。

柏拉图除了构造四种元素的几何结构以外,还研究火、气、水这三种元素及其几何结构图形是如何转化的,用以说明宇宙间万物的多样性和复杂性以及宇宙的演化。

柏拉图的物质元素的几何结构理论比德谟克利特的原子论和毕达哥拉斯学派的数本说前进了一步,他猜到物质元素具有数学形式,并用几何结构来表述。他的这一思想得到现代物理学家的肯定。当代理论物理学家和原子物理学家W.海森伯说:“在德谟克利特的哲学中,原子是物质的永恒的、不可毁灭的单位,它们决不能互相转化。关于这个问题,现代物理学采取了明确地反对德谟克利特的唯物主义而支持柏拉图和毕达哥斯的立场。基本粒子的确不是永恒的、不可毁灭的物质单位,它们实际上能够互相转化。……,现代观点和柏拉图与毕达哥拉斯的观点的类似性还多少能进一步发展”(〔6〕,34—35页)。

同时,W.海森伯也承认自己受柏拉图和毕达哥拉斯的影响:“柏拉图的《蒂迈欧篇》中的基本粒子最终不是实体,而是数学形式。`万物皆数’,这是毕达哥拉斯的名言。那时唯一应用的数学形式是这样一些几何形式,例如正多面体或构成它们表面的三角形。在现代量子论中,无疑地,基本粒子最后也还是数学形式,但具有更为复杂的性质”(〔6〕,35页)。综上所述,柏拉图是在寻找如何从可见世界进入可知世界的过程中建立他的数学哲学的:数学是使灵魂脱离变化世界进入实在世界的学问;数学对象具有居间的性质,数学家的心理状态是介乎理性与意见之间的理智;由于数学研究的对象和方法存在着局限性,所以它虽然对实在有了某种认识,但只是象做梦似地看见实在;数学对象是存在的,但它是分离独立存在于可感事物之外的。他在晚年为克服理念论的困难,把理念论与毕达哥拉斯学派的“万物皆数”的理论结合起来,提出一种不成文的理念数论,构造了物质元素的几何结构形式。