无理数的哲学意义——一个基于柏拉图和胡塞尔思想路径的发现

——一个基于柏拉图和胡塞尔思想路径的发现

一

众所周知，无理数是指与有理数没有可共度比的数。M. 克莱因（Morris Kline）在《古今数学思想》中认为，在毕达哥拉斯学派发现这种奇特的数之后，离散与连续的关系便成了希腊数学家亟待解决的问题[1]。随后，优多克苏斯（Eudoxus，公元前408-355）引入变量和比例试图回答这一难题，而欧几里得则几乎重起炉灶，以与毕达哥拉斯学派完全不同的思路，通过从公设、公理和定义出发进行演绎和证明的方式重建几何学，以回应数学史上的这次危机。但是，危机并没有因此得以克服。克莱因本人对此也禁不住表达了自己的惊讶：“数学史上最使人惊讶的事实之一，是实数系的逻辑基础竟迟至十九世纪后叶才建立起来”[2]。然而，问题在于，这种在两千多年之后建立起来的逻辑基础真的坚固可靠吗？只要想想二十世纪以来的罗素悖论以及哥德尔不完备性定理，我们就有理由怀疑这位作者的乐观的结论。实际上，他在该书中介绍了戴德金分割和康托尔基本序列之后也不由地感叹到，“逻辑地定义出来的无理数，是一个智慧的怪物”[3]。

从离散到连续，从连续统到稠密性，从数到量，从算术到几何，从无限到极限，从数学到逻辑，这些大致可以算作无理数所引发的数学意义。可这个意义序列无法解释，为什么希腊人远远早于其他民族将计数的数字与被计数的对象分离开来，从而抽象地对数本身进行思考[4]；这个序列也无法解释，散见于希腊数学家中的演绎证明方式如何在欧几里得那里汇聚为规范化的公理演绎系统并得到当时和后世的数学家们的广泛推崇和自觉遵守，——毕竟，在生活实践中，这种坚守并无多大意义，M.克莱因自己似乎也持这样的论点：“把2•3当做矩形面积来设想，这在逻辑上可能是足够令人满意的，但若为了想买地板漆布而需要知道乘积究竟等于多少，你就得不出结果”[5]。

下文将从柏拉图和胡塞尔的数学思考尤其是对无理数的反思出发，分别介绍无理数的发现对于他们的哲学思想的提出或转变的意义，以期寻找出在更为普遍的意义上无理数的发现的哲学意义和价值。

二

柏拉图对数学特别是几何学的发展状况非常了解，他对数学研究的重要性也具有充分的认识，这一点似乎已成共识。柏拉图学园入口处的禁令“不懂几何者不得入内”被广为流传，克莱因也认为，“柏拉图是他那个时代最有学问的人，尽管他不是数学家，不过他热心这门科学，并深信其对哲学和了解宇宙的重要作用，这就鼓励了数学家们钻研数学。值得指出的是，公元前四世纪时几乎所有重要的数学工作都是柏拉图的朋友和学生搞的。柏拉图本人则似乎更关心把已有的数学知识加以改进并使之完美”[6]。因此，可以肯定，柏拉图对毕达哥拉斯学派及其遭遇的理论困难是非常清楚的[7]。

在回答柏拉图如何从哲学上回应无理数这一问题之前，让我们暂时停顿一下，花点时间对毕达哥拉斯学派的主要思想以及无理数的发现对这个学派所带来的打击稍作描述。

根据亚里士多德的介绍，在毕达哥拉斯学派眼里，数字拥有自己的空间量度，1,2,3,4对应于点线面体，推而广之，构成了宇宙万物乃至“道义”、“魂魄”和“理性”等精神性存在。在计数时，数与计数的对象是密不可分的，因为对象正是由数构成的。现在，既然宇宙万物的基础及其变化皆出于数，那么，自然哲学家的首要任务便是研究数的性质，自然哲学家首先要成为数学家。于是，数的奇偶性、完满性、有限无限性等等都进入到毕达哥拉斯派的眼帘[8]。

可是，由毕达哥拉斯定理所引发的无共度比的2的出现完全摧毁了上述自然哲学的宇宙观、几何学和数字论。如果万事万物以1,2,3,4或点线面体为基础按一定的比例复合而成，那么如何解释2不是任何已知数字之间的比例？如果承认2仍然是数，——尽管是没有道理的数——，那么，我们有理由认为，我们所画出来的或测量出来的直角等边三角形的斜边是假象；如果承认这条斜边的长度是真实无妄的，是可以准确地描画或测量出来的，那么，测量的结果与计算的结果将无法统一。在毕达哥拉斯学派理论框架内，上述两条道路都是无法接受的。唯一可能的出路是抛弃这一学派[9]。

面对这里的困境，柏拉图是否作过类似的推理，我们已无从查证，但可以肯定的一点是，柏拉图清楚地知道毕达哥拉斯学派遭遇的无法克服的困难以及这一困难在哲学上的不同寻常的意义[10]。

那么，柏拉图从这种不可共度性里发现了什么呢？这种发现何以可能呢？柏拉图并没有在他的对话中集中论述无理数及其哲学意义，他的表述和证明散见于不同时期的对话中。下面笔者试图依据柏拉图的文本重构出无理数的出现带给柏拉图的启发和思考。

其实，上面的困境并非没有破解之道。首先，我们无法认可测量出来的斜边长度是确凿无疑的，否则我们将不得不接受无论是常识还是毕达哥拉斯学派本身都拒绝的荒谬后果，即，在几何学中，计算是不可靠的，一切均须以度量为准绳。因此，接下来，我们只有接受相反的结论，把那个没有道理、不可共度的数仍然看成是数，把描画出来并得到精确测量的斜边看成假象、看成对那个无理数的近似值。如此，若将我们置于前苏格拉底的哲学语境中，我们便有了两个引申的结果和由结果自然而然引发的联想或追问。第一，无理数与其形象显然是分离的，我们是否可以更进一步说，数字本身与计数对象也是分离的？也许像毕达哥拉斯学派那样把算术、几何学与宇宙论锻造在一起正是让我们走入这种困境的原因？第二，假象是真实存在着的事物的影像，是对存在者或“是者”的模拟，它本身不具有真实的存在，是非存在者或“不-是”者，可是，如果我们想起巴门尼德的告诫，“非存在者不存在”，那么，一个不存在的对象如何具有数量上的规定？要想回答这一问题，我们必须让非存在者也获得某种程度上的存在特性，但这是否意味着，被我们视为真实无误的直角的两条边也具有某种程度上的非存在性？

在《国家篇》中，柏拉图明确地指出，数与计数对象处于不同领域，与人的不同的能力相关。他以三个手指头（小指、无名指、中指）为例，通过对大小、粗细、软硬这些相反相对的感觉在同一个手指头上的出现从而唤醒灵魂的思考这一现象的说明，把事物分为“可理解的”和“可见的”两类。数属于前者，因为视觉既可以把同一事物看成是一，又可以看成是无限的多，这会让灵魂困惑不解从而在灵魂自身之内引起思考。数不仅引导我们超越感觉进入思考，而且可以把我们带向对真理的理解[11]。

在《智者篇》中，“客人”以一种“令人困惑”、“令人晕头转向”的方式证明，影像一方面是不真实的，因为它毕竟不是对象本身，仅仅是与真实的对象“相同”或“显得相同”，可另一方面，我们完全可以说，影像确实（真实地）是影像。显然，影像既具有是（存在）的特性，又具有不是（非存在）的特性；通常，数字只能加在一个现实存在的存在者的前面，可是，当我们说“这一个不存在的东西”时，我们不是把一附加到非存在者之上了吗？“某些不存在的东西”这种表述难道不是让多附着于非是者之上了吗？由于非存在者已经获得了一定程度的存在性，因此，一个不存在的对象具有数量上的规定便是可以理解的了。三角形直角的两条边是有形之物，只有那些“用力握着石头和木头并肯定真正的存在只属于那些坚挺的、可以用手把握和触摸的事物”的“巨人”才会认为有形体者是真正的存在者。而他们的对手则可以轻易地将这种存在解释为运动和变易过程从而驳倒他们的观点。“客人”则通过力量与真实事物之间的关联正面证明了无形之物的存在性。这种存在性，在柏拉图看来，同样具有某种程度的非存在特性。“巨人”的对手从运动变化出发打碎有形之物的存在性，这一点也可以反过来攻击他们自己。无论是灵魂还是理智，在它们对真实事物进行认知时，它们一定会影响到真实事物，使真实事物发生变化，这不恰恰让真实事物的存在性处于消逝之中吗？[12]

至此为止，受到无理数引发的柏拉图的反思已带来了一系列的成果，如数与计数对象的分离；有形对象或通常认为的存在者首先是非存在者，但同时也具有一定程度的存在性；与之相反，无形对象或通常所谓的非存在者首先是真实的存在者，尽管也具有某种程度的非存在性。当然，这些思想成就不可能凭柏拉图一己之力所能完成。爱利亚派和智者派都对毕达哥拉斯学派的难题作过研究，他们分别沿着一和多、静止和运动、存在与非存在的某些方面或维度对宇宙论和存在论作了新的思考且取得了丰硕的理论成果。柏拉图在对话中充分利用了两派的思想，这从上文的介绍中可见一斑。但是，柏拉图对这两派的思想进行批评和决断，明确地提出可见世界和不可见世界、可感世界和可知世界、意见和真理相互区别的“分离学说”[13]，无理数及其引发的难题在他整个思想进程中起着决定性的作用。在这个意义上，我们可以同意柏拉图的说法，即，数字可以引起灵魂转向[14]，甚至更进一步断言，无理数可以引起灵魂转向。

顺便指出的是，无理数难题还让柏拉图把毕达哥拉斯学派的“形数”概念提高到“相数”概念[15]的高度并推动了柏拉图对数“2”的深入研究。其基本思路如下[16]：如果每个人都很诚实或者年纪很老，那么两个人合在一起还是老实人或老年人；反过来说也是一样，如果两个人都是老实人或老年人，那就意味着他们每个人都很诚实或年纪很大。可是，数字“2”与此完全不同。他们每个人都是一，合在一起不是一而是二；反过来说，他们两人是二，但他们分别只能是一而不能是二。柏拉图对这样的现象感到非常震惊[17]。由此我们可以进一步推论说，数字2绝非有形物体的特质或属性，它不应该与形绑定在一起，它有自己的“型相”或“理念”[18]。

三

胡塞尔是数学博士，他对当时数学的发展状况毫无疑问具有充分的知识。一般而言，对一位受过严格数学训练的学者来说，在数的起源问题上很有可能是一位先天论者、理性主义者或客观主义者，可是胡塞尔在他的第一本专著《算术哲学》中看起来却像是一个地地道道的经验主义者。

下面我整理了一下胡塞尔在《算术哲学》第一卷中对数尤其是无理数的起源和性质的看法。

数来源于计数。所谓计数，是一种在意识中发生的把表象连接、集合起来的心理活动，胡塞尔称之为“集合的连接（kollektive Verbindung）”[19]。具体来说，我们是怎样连接表象的呢？譬如，眼前有3个苹果，我们是怎样数出来的呢？点数前，我们首先要清除掉苹果的“内容”，如眼前的各个苹果的不同的颜色、大小、形状和重量等等特征，这样它们便成了“内容空乏的表象（inhaltsleere Vorstellung）”，然后，我们用“一”来无差别地计数它们，一，一，一，这样“3”便出现了。事后，我们意识到，每个“一”表示的是“一个苹果”，于是我们就获得了作为计数结果的“3个苹果”[20]。其实，计数不仅可以针对同类事物，也可以朝向风马牛不相及的对象，如树、太阳、月亮、地球、火星，一个感受，天使，意大利人等等，都可以成为计数的对象。因此，我们可以说，计数与个别内容的自然特性无关[21]。

那么，个别对象的自然特性在计数过程中是如何丧失的呢？原因在于我们所进行的“抽象活动（abstrahierende Taetigkeit）”，这种活动的特点是“完全任意的”[22]，就是说，它可以随心所欲地把任何妨碍计数的自然特性排除在外。

被抽象掉一切个体属性、甚至类的特征的表象可以用“1”或“某物”来进行“集合的连接”，可是这样一来，难道不会带来一种新的使计数本身变得不可能的危险吗？既然都已是“一”，何来的“多”呢？对象或表象都已失去了自身的自然特性或类别属性，它们相互之间就变得没有区别并因此而融合为一个整体，一个大写的“一”。没有差异性，就没有多样性。“3”总是三个不同苹果的“3”。面对这一难题，胡塞尔的解决方案是回到意识。他指出，在意识中对特殊内容进行抽象时，这些内容及其联接并不会真的从意识中消失殆尽。其实，在计数时，意识的兴趣只不过不在于内容，而仅仅关注表象“在思想上的连接（gedankliche Verknuepfung）”而已[23]。只有这样，在一个具体的多的表象中，每一个个别对象既被看做与其他所有对象不同，也被看做与自身同一[24]。

于是，数便出现了。可是，单个的数并没有意义，反而容易成为“概念数”，就是说，成为像“颜色”那样的概念，——我们知道，在某种意义上，“颜色”也是对各种色彩的“集合的连接”。一个数，只有在它属于数列时，才具有与“颜色”等类概念完全不同的意义，只有在这时，我们才知道它与“多”或“少”有关，因此，“多”与“少”是数的序列的出现的前提。按照胡塞尔的分析，我们在心理活动中首先区分“多些”和“少些”，接着区分“相等”和“不等”，最后才会出现1,2,3,4这样的自然数列[25]。

这样的说明看似简洁明了，符合我们的直观和常识，可事实上，这种夹杂着当时心理学词汇的经验主义观点包含着重重的困难。胡塞尔也意识到这些困难，但他仍然在顽强地为自己做着辩护。

胡塞尔像很多学者一样认为，所谓计数，就是回答“多少”这个问题，这就意味着，数总是多，总是复数[26]，可这同时也意味着，0和1不是数，它们不能进入任何数的序列。胡塞尔对这一点十分清楚。他援引弗雷格反对将0和1并入数列的观点[27]，也指出康托尔和毕达哥拉斯都不把1当作数。他自己甚至承认，作为多的数都是肯定性的，把作为否定的0当作数引入这个数列，在逻辑上难以自圆其说[28]。尽管存在这些困难，胡塞尔还是提出了一个解决方案。他说，通过把1不断地加到1这个整体上，我们获得了一个自然数列；反过来，如果我们不断地将任何一个数减去1，那么我们最终会达到1和0[29]。

这个方案虽然让我们达到了1和0，可是，它其实已经以我们把1和0理解为数作为自然数列出现的前提。显然，胡塞尔的辩护是以放弃“数即是多”这个定义为代价的。如果我们不再坚持这个定义，分数、负数、有理数和虚数等都可以得到说明[30]。

这种对基本定义的放弃，胡塞尔美其名曰“数字领域的扩展（Erweiterung des Zahlengebietes）”和“数的概念的改变（Aenderung des Zahlbegriffes）”[31]或“数的概念的扩展（Erweiterung des Zahlbegriffes）”[32]。胡塞尔还提醒我们，在扩展和改变之后，加减乘除的运算法则有时需要发生相应的变化，例如，0在加减乘特别是在除上的特殊计算方法以及1在乘除上的特殊注意事项等等[33]。

如果说上述突破了数的定义的各种数在理论上勉强自圆其说的话，那么，无理数的出现像是一根楔子，一旦让它嵌入到上述说明中，胡塞尔苦心孤诣地建立起来的看似完备的系统就会出现漏洞。

无理数被引入到数字系统里的方式完全不同于数学对负数、分数和虚数的引入。后者需要对计算规则进行必要的限制，而前者是对普遍有效的计算规则的直接采纳；后者不属于既有的数字系统及其有效领域，必须借助于某种计算形式被定义为新的数，而前者是基于广泛认可的数字序列和运算方式上的自然延伸。我们无需对“数字领域”或“数的概念”进行“扩展”或“改变”，从已有的前提可以直接推出这个既“无意义”又“不允许解释”（胡塞尔语[34]）的怪物。

无理数的这种不同之处，胡塞尔在《算术哲学》行文的开始处早已注意到了[35]，但他在随后的写作中似乎忘记了这一点，常常陷入下面这种相互对立的两难中。一方面，胡塞尔把无理数同有理数、虚数、负数等而视之，并尝试从点的稠密性、有理数列的无限接近性、形式的融贯性、算术技术的扩展特征以及证明的间接性等角度对无理数的出现及其合理性给予说明和辩护[36]，另一方面，由于数源于计数，源于对表象的抽象化过程，因此我们也可以反过来说，任何数都可以回到“符号表象”[37]乃至最终可以回到具体表象，按胡塞尔在《算术与几何学研究》中的说法，“计算的每一步骤，只要人们愿意，都可以立即转换成直观（或者转换成代表它的符号表象）”[38]。按照这个标准，无理数既不能被我们在直观，也没有明确的符号表象，它的存在还是个问题，胡塞尔说得很明确，“只要无理数没有特定的意义，只要我们还没有其概念，它对我们而言就是无，就是空洞的言词。当我们说，无理数是通过无限的有理数序列任意地接近而来的，这样的解释有什么意义”[39]？

如果胡塞尔回忆起无理数与其它类型的数的差异之处，那么，上面的两难就会汇聚为一个疑难：从哲学上说，在计数过程和运算规则不变的情况下，为什么从可理解和已存在的数列中会直接推出无法理解和不可能存在的无意义的数？如果运算规则在直观上无懈可击且被无数次地证明是正确的，那么问题可能出在计数过程上，准确地说，出在我们对计数过程的理解上。

胡塞尔是否也是这样考虑的，我们目前还查不到相关的文本依据，但这个问题是绕不过去的，也许正是这个原因让胡塞尔在《算术哲学》第一卷的“前言”中对他将在该书第二卷第一部分解决无理数问题的信心满满的预告落空[40]。

不过，如果我们换个视角，从《逻辑研究》出发反观胡塞尔的立场的改变，那么我们可以发现，胡塞尔对计数行为作了全新的诠释。这一点体现在他对抽象化过程的彻底批判和对直观的重新定位上。

对经验主义的抽象理论的系统批判见于《逻辑研究》之“第二研究”[41]。在这一研究中，洛克、贝克莱和休谟的抽象观念学说受到仔细的分析和检审[42]，我们在这里无需赘述，只要根据“第二研究”的思路指出心理主义者通过抽象活动解释计数行为的一个根本缺陷就行了：我们在计数时确实需要首先把具体对象或表象的自然特性排除掉，用抽象后剩余下来的类、纯形式的“某物”或单纯的“一个”连续相加获得总数，但这种做法本身隐含了一个前提，即，任何抽象都先行预设了类、某物或“一”这些一般对象的存在。

如果我们认为一般对象先于具体对象或表象而存在，那么，胡塞尔《算术哲学》时期的直观概念便需要颠倒过来。不是先有具体对象及其各种属性，然后意识通过抽象活动将其排除在外从而实施计数行为，事实恰恰相反，我们首先拥有的是一般对象，然后，一般对象通过具体的表象及其属性得到了充实，这样我们才有了直观。因此，显而易见的是，肯定有一些一般对象，如“木的铁”、“无穷大”等等，它们虽然得不到充实，但它们确凿无疑是存在的，是可以为我们思考的[43]。看来，一般对象不仅在逻辑上先于具体对象，在范围上大于它，而且在存在程度上还高于它，因为一般对象可以脱离具体对象而存在，而任何具体对象在被说出来或数出来之前，必定已经属于某个类、某个“某物”或“一物”了。因此，一般对象是哲学首要的关注点，而要获得一般对象就必须进行现象学还原。

现在我们可以清晰地看到无理数的哲学意义了。无理数的发现在柏拉图那里引发的是灵魂转向，在胡塞尔这里推动的是现象学还原，而还原正是现代版的灵魂转向，它们共同的特征在于对世界现实性和客观性的怀疑或存而不论。

基金项目：国家社科基金重点项目（13AZX015）

原刊载于《南京大学学报》（哲学·人文科学·社会科学）2015年第3期