Quant Puzzle：高级享受！

身为一名Quant，平时最大的乐趣就在于解决一些有趣的Puzzle，不管你是在面试中还是在休息时，都可以让你的思维更加活跃，知识面更加宽广。

作为20201 QIML Insight的又一系列。今天公众号将正式推出：

这个系列是有趣的，我们会围绕有关Quant领域的Puzzle。可能很烧脑，可能会超出你的知识面，但是如果能深入其中，必能发现很多乐趣。

我们除了每天想模型、写代码，如果能在一些Puzzle中劳逸结合，那绝对是一种高级的乐趣享受！

Quant Puzzle第一期

你有两个圆形垫圈。每个都由相同的材料制成，每个都有相同的厚度。两个垫圈的中心孔直径不同。在每个垫圈上，从一边到另一边都画了一条直线，这两条直线长度相同，如下图所示：

问题

哪个垫圈更重?

解题思路

这个问题有两种解决方法：

第一种涉及勾股定理
第二种涉及Mamikon定理

1、勾股定理

画一个直角三角形，如下图所示，r为内圆半径，R为外圆半径。设x为连接外圆和内圆的半弦。

环的面积A是外圆和内圆面积之差：

使用勾股定理：

将上述两个方程结合起来，用弦长表示环的面积A：

因此，面积只与弦长有关。由于两个弦的长度相同，故内环的面积是相同的。

再由于两个垫圈的厚度相同，覆盖面积相同。并且由于它们是由相同的材料制成的，所以，两个垫圈的重量也是一样的！

2、Mamikon定理

▍定理原理：不论原始曲线的形状如何，切线扫描的面积等于其切线簇的面积。

将切线点绕内圆的中心旋转，结果是这条线扫过一个区域（左图）。

如果我们围绕切点旋转这条线，但保持该点静止（右图），这条线将扫过一个和前面一样的区域。这个面积与内圆的大小无关，它只取决于切线的长度。

这种面积的等效性就是Mamikon定理的一个例子。

Mamikon定理

那么我们来为大家解释一下Mamikon定理的原理，一下内容来自知乎@数据文明：

像许多其他伟大的发现，Mamikon定理的方法只不过是基于一个非常简单的想法。在两个同心圆中，里面的圆做切线可以得到外面圆的一条弦。如下图：

接下来就是求这个环的面积，在一个半径为的圆中面积为，在大圆中面积为。所以圆环的面积为。但是发现弦的长度为。那么形成了一个直角边分别为，斜边为直角三角形。又由于勾股定理：

所以最终的答案仅仅依靠就可以表示圆环的面积。Mamikon仅仅凭借这一发现便找到了定理的钥匙。

这样我们就可用其他的方法来求面积了，按照内圆把环分割为一个切线簇，将中间的圆缩为一个点，那么得到了一个直径为a的圆，圆的面积为pi*a^2/4一个革命性的理论完成。

同心圆太简单那就来点复杂点的，如下图若一辆自行车后车轮做椭圆运动，那么前车轮的轨迹以红色表示，求绿色阴影部分面积。

因为自行车在走过的路径上没有重复，且自行车的长度一定，那么就可以用Mamikon’s Theorem。将环用内椭圆切线去分割环，将椭圆缩为一个点。

最终证明了，面积和自行车后轮走过的轨迹无关，只和车摆过的角度与车身长度有关。

关于QIML Insight

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