作者 | 上野健尔（数学家，日本数学协会会长，日本京都大学荣休教授）
小平邦彦是日本第一位菲尔兹奖获得者，同时也是代表20世纪数学发展的数学家之一。《我只会算术：小平邦彦自传》一书记录了这位天才数学家的诞生和成长，由作者本人亲自撰写，是非常珍贵的资料。连载于《日本经济新闻》的《我的简历》是这本书的雏形。其姊妹篇《惰者集：数感与数学》详细记录了作者在美国发展时期的故事，我建议将这两本书搭配阅读。
在江户时期，日本数学的发展形式与西方数学稍显不同，对西方数学的全面接纳始于明治时期。其中最早的成果包括高木贞治的类域论建设（1920年）和园正造的交换环理想论（1917年—1919年）。本书作者上大学时，日本的年轻数学家们开始活跃于国际舞台。不过正如《我只会算术》中所写，“在当时的日本，数学正处于从古典数学向现代数学转换的变革期，许多必修课在现在看来都没有必要开设”，小平邦彦在1935年考入东京帝国大学理学院数学系以后，最前沿的数学理论需要自学。那个时期的数学研究日新月异，以德国为中心出版了许多优秀的教科书和报告。
1933年，欧洲逐渐沦为战场，许多数学家被迫从欧洲逃亡至美国，因此数学研究的中心也随之从德国的哥廷根大学转移到了美国。对小平邦彦影响颇深的赫尔曼·外尔也是其中一员，而且之后他发现了小平身上的才华，并为他提供了发展舞台——普林斯顿。第二次世界大战结束后，普林斯顿高等研究院成为数学研究的中心。在美国发展的那段时期正好是现代数学的黄金时代，小平有幸结识了出色的研究伙伴斯宾塞，在数学研究的中心大放异彩。
  • “只会算术”的小平邦彦
正如《我只会算术》的书名所示，小平邦彦一直在书中强调“我只会算术”。尽管如此，我们在阅读的过程中有必要充分地审视这句“我只会算术”。书中描写了列文涅和波利尼在演奏肖邦的练习曲《三度》时所带来的不同听觉感受，小平写道：“如果单独听波利尼，他的演绎的确完美重现了乐谱，让人一度以为《三度》曲风本是如此。然而，当听到列文涅演绎的版本时，又会让人眼前一亮，原来这样演奏才能突出《三度》的美感。换言之，波利尼忠实地按乐谱弹奏，他对曲子本身的理解尚浅，而列文涅对曲子有深刻的见解。”然而作者女儿的小提琴老师伍鲁菲逊对列文涅的评价却是虽然他钢琴弹得不错，不过他不太聪明，所以跟他合奏贝多芬协奏曲会让人感到了无生趣。其实作者是站在专业水平的角度判断“会”或“不会”。
作者总是追求洞彻事理的境界，倘若没有达到那样的境界，就将其归类为不懂。那么作者之所以强调“我只会算术”，是因为对作者来说除数学之外，其他所有学科都没有达到洞彻事理的境界，仅此而已。话虽如此，由书中也能联想到，也许很大程度与作者独到的想法没能得到老师的理解有关。另外，作者有口吃的毛病，书中也多次回忆因为口吃在学校吃了不少苦头。也许这也间接导致作者没能喜欢上除数学以外的其他学科。
《我只会算术》一书中也记录了小平从小就显示出数学的才华，而且书中也随处可见他具有独特的想法和敏锐的观察力。小平7岁时，他的父亲从德国带回来很多礼物，其中有一套组装玩具。他每天玩这个玩具，而且从中学到的第一个知识是三条边的长度比为3∶4∶5的三角形是直角三角形。在他小学五年级的时候，家里饲养的母狗生了6条小狗，结果作者发现如果把6条小狗全部藏起来，母狗会四处寻找，但如果把另外5条藏起来，留下1条在它身边的话，母狗却完全不会发现不对劲，并得出“狗可能没有数量的概念”的结论。这是因为自小就对数感兴趣的作者具有独到且敏锐的观察力，而且他观察事物的着眼点就不同于常人。
他在描述外祖父制作动物标本的情景时写道：“外祖父会依次剥除小老鼠的外皮，最后拔出尾骨，尾部外皮如脱袜子般翻了过来，于是整张外皮与肉体就分离了”，这幽默且准确的描写也源于作者独到的观察力。还有，小平邦彦在做用比例就能简单证明的证明题时，故意选择不用比例，尝试通过画多条辅助线来证明，从这段中学时期的回忆中能看出，他对自己感兴趣的事物有着精益求精的追求。而且作者将树懒视为人生理想，这也反映出作者只对自己感兴趣的事物精益求精。这种精神不仅体现在数学的研究上，也体现在练习钢琴等时对音乐的热情上。
  • “抄书学数学”的真相
然而，仅仅凭借出众的数感和敏锐的观察力并不能成为天才数学家。在中学时期开始阅读藤原松三郎的《代数学》的过程中，小平邦彦明确意识到自己对数学感兴趣。关于学习《代数学》的过程，作者在书中写道：
不懂的证明我会反复去看，还会抄在笔记上背下来，可谓费尽心思。当时的我获得了这样一种经验——反复抄写背诵不懂的证明，自然而然就能懂了。现在的初等教育和中等教育阶段很重视‘易懂、好理解’，学生自己去揣摩不懂之处的机会反而变少了，这种教育方式是否更好呢？我个人持怀疑态度。
这是一段容易引起误解的文字，小平邦彦的目的是“想要彻底理解《代数学》的内容”，为了理解这些内容，他在笔记本中反复抄写不懂的证明，将那些证明背了下来，其实这只是在追求理解过程中的一个自然结果。所以有必要分清楚，他是在深入思考和努力理解的过程中自然而然地记了下来，并不是为了背诵而去背诵。小平邦彦考入东京大学数学系后，在阅读数学书时养成了“思考其他的证明方法，以及构造实例和反例”的习惯。这个阅读习惯直接关系到一线研究。另外，作者在无意中也记录了动手能力对学习的重要性，这段文字也许能帮助读者发现学习的技巧：
快到期末考试时，我会提早几周向河田敬义借笔记回来抄……那时候当 然还没有复印机，只能自己动手抄。在整理笔记和认真抄写的过 程中，讲义的内容也自然而然地印在脑海中。
  • 数感与数学研究
小平邦彦引用了一段夏目漱石《梦十夜》中的描写，表达自己对数学研究的看法：
运庆在仁王的粗眉上端一寸处横向凿刻，手中的凿刀忽而竖立，转而自上而下凿去。凿刀被敲入坚硬的木头中，厚厚的木屑应声飞落，再仔细一看，仁王怒意盈盈的鼻翼轮廓已清晰呈现。运庆的运刀方式无拘无束，雕琢过程中丝毫没有任何迟疑。
“他的手法真如行云流水，凿刀所到之处，居然都自然地雕琢出了内心所想的眉毛、鼻子样子。”我感慨至极，不禁自言自语道。
结果，方才那位年轻男子回应道：
“什么呀，那可不是凿刻出的眉毛、鼻子，而是眉毛、鼻子本来就埋藏在木头中，他只是用锤子、凿子将其呈现出来。就像从泥土中挖出石头一样，当然不会出现偏差。”
小平邦彦在此写道：“在我看来，我的椭圆曲面理论并非是我想出来的，它原本就埋藏在称为‘数学’的木头里，我只不过借助纸和笔的力量将它挖掘出来而已。”小平的所有论文都非常自然地展开理论，洋溢着出众的“数感”。特别是椭圆曲面理论，富有奇迹般的美感。不过，他表现得让人误以为他很懒，实则他却能洞彻事理。
小平邦彦受赫尔曼·外尔之邀赴美，在那里他和代表20世纪数学发展的数学家们交流，不断地累积了许多出色的研究成果。《我只会算术》一书中记录了其中一部分内容，不过这部分内容在小平邦彦的文集《惰者集：数感与数学》里写得更详细。虽然小平在美国取得了丰硕的数学成果，但生活上也未必一帆风顺，即便回日本后，在另一种意义上也吃了不少苦头，他在书中用幽默的口吻记录了不同时期的生活状况。还有，在“入学考试委员”这一节中，他恰当地指出了日本在制度方面存在的问题。
当小平邦彦意识到自己对数学的热爱，准备开启数学家之路时，整个世界被卷入战争之中，接着日本战败，在另一方面，那也是一个可以专注于发展个人兴趣的时代。他在书中写道：“没经历过的人绝对理解不了，没东西吃到底有多惨。尽管如此，学生们却都非常用功。在这届疏散班级里，优秀的数学家辈出，看来生活环境和学习之间的关系也不大。”还有，在战后，“尽管如此，学生们都刻苦学习，而且学有所成。就算考试时老师们绞尽脑汁出难题，也总有几位学生能考满分。而现在的大学生完全相反，每到期末考试，老师们都得想尽办法为他们出些容易的题目。”
说起来，如果少年时期的小平在现在的小学和中学接受教育，是否还能够如以前那般充分发挥他的才能呢？《我只会算术》一书中也辞顺理正地讲述了目前教育中所缺失的东西，小平邦彦在晚年时期最关注的还是初等教育和中等教育。目前日本的教育制度正朝着摧毁个人才能的方向发展，小平邦彦曾提出了许多改善制度的建议。不过很遗憾，日本的教育部门并没有充分加以借鉴。为此，小平邦彦不断呼吁大家关注初等几何学的重要性，并亲自在《几何世界的邀请》一书中谈论了几何学的有趣之处，希望各位参考。
本文为日本数学家上野健尔为小平邦彦自传《我只会算术》一书撰写的导读，赛先生经授权发布。
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