素数的无限性
Euclid and Erdös

围绕素数的命题有很多个，而从人们认识素数开始，最早产生的一个问题就是：素数究竟是有限个，还是有无限多个？而这个问题早在两千多年就被欧几里得解决了，回答是：有无穷多个素数。由于证明素数无限性这个问题是最基本和经典的问题，所以在这里主要介绍数学上比较经典的两种证明方法。欧几里得的证明素数无限性的方法简洁而优美，至今仍是数学推理的一个典范。下面简单介绍其证明过程：
关于素数无限性的证明方法现在有超过100种，欧几里得的证明简洁而优雅，而匈牙利著名数学家保罗·埃尔多斯（Paul. Erdös）也同样给出了一个非常经典且优美的证明，且证明了一个更强的结论，感兴趣的可以看一下，其证明方法如下：
素数定理

素数的无限性得到证明之后，数学家们又开始探究素数的分布规律，并开启了寻找素数公式的历程。随着研究的深入，人们发现看似随即分布的质数似乎又遵循着某种神秘的规律。
素数定理(prime number theorem)是素数分布理论的中心定理，是目前发现的最重要的且被证明限制素数分布的定理之一。大约在1792年，15岁的高斯就发现，素数在自然数中的分布密度，趋近于类似于对数积分的函数。同时期的数学家勒让德(A.M.Legendre)也提出了等价的猜想，但他们都无法对其证明，至此，这个问题成了数学界的顶级难题，甚至在数学界流传着：如果谁证明了这个猜想，那么他将会得到永生。切比雪夫曾经为证明素数定理作出了巨大贡献。
最终于1896年，两位年轻的数学家阿达马(J.Hadamard)和德·拉·瓦莱布桑(C. J. de la Vallée Poussin)证明了高斯的猜想，至此，这个猜想正式升级为定理——素数定理（PNT）（这两位数学家都是高寿，一个活了96岁，一个活了98岁。）。
1949年，另外两位年轻的数学家——31岁的赛尔伯格(A. Selberg)和35岁的保罗·埃尔多斯(Paul. Erdös)分别独立地使用初等数学证明了素数定理。
贝特朗定理
贝特朗定理是关于素数分布的一个著名结论：对于任一实数x≥1，在x及2x之间必有一素数。此假设是贝特朗 (J.L.F. Bertrand)于 1846 年为证明置换群理论中的一个定理而提出，并于1848年被切比雪夫所证明。  
（关于 x 及 2x 之间的素数问题，目前已经证明比贝特朗定理要好得多的结果：存在一个小于 1/2 的正常数 c，在 x 于 x+xc 之间必有素数存在，对于这样的 c，是否存在一个正的下界，是目前正在研究的难题之一。）
存在任意长度的素数等差数列
等差数列是数列的一种，由素数组成的数列叫做等差素数数列，类似7、37、67、97、107、137、167、197。2004年4月18日，格林和陶哲轩证明存在任意长的素数等差数列，即对于任意值K，存在K个成等差级数的素数。例如 K=3，有素数序列3, 5, 7 （相邻素数相差2）……K=10，有素数序列 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089 （相邻素数相差210）。他们将长达50页的论文《素数含有任意长度的等差数列》张贴在当日的预印本网站上，并向《美国数学年鉴》（Annals of Mathematics）投稿。
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