【麦教授——数学系列-8】有趣的素数种类（上）

在前面关于素数的系列文章中，已经介绍了素数的性质、相关的定理与一些著名猜想，接下来将介绍一些满足特殊而又有趣的素数种类，这些素数不仅满足很多特定的条件，有的连名字都很奇特，下面就一起来看看吧

1) 回文素数（Palindromic Prime）

10000以内的回文素数是：11，101，131，151，（181，191），313，353，（373，383），727，757，（787，797），（919，929）。除了11以外，所有的回文素数都有奇数位。像括号内这种中间数字相邻，其余相同的一对回文素数被称作回文素数对。据说，数学家们已经证明回文素数有无穷多个，而是否有无穷多个回文素数对，至今仍然是一个谜。

下面介绍一些神秘而有趣的回文素数：

① 贝尔芬格素数（Belphegor’s Prime）

贝尔芬格素数（Belphegor’s Prime），这个数又被称为不祥数：

1000000000000066600000000000001=10³⁰ + 666 + 10¹⁴ + 1

Please also note the ominous presence of 13 zeros.

请不要忽视不详的13的存在，

Please don't stare at the number too long.

请不要盯着这个数字看太久。

Look away for a few seconds, and take a deep breath.

把目光移开几秒钟，深呼吸

不祥数可以缩写为10(13)6660(13)1，其中（13）表示1和666之间有13个零（这个素数也是“人面兽心回文素数”，如果回文素数中有“人面”和“兽心”，那么这个回文素数就叫人面兽心回文素数。人面兽心回文素数中的“人面”是指其中的0，“兽心”是指其中位于中心的数666）。第一位和最后一位是1，后面跟着13个0，而13在西方一直被视为不祥数字，后面跟着的666也有说法认为是不祥数，因为666转化为罗马数字再转化为英文是：the one who in this world wants to play God，于是666又被认为是撒旦的符号，魔鬼的象征。另外，贝尔芬格（Belphegor）还是一个恶魔的名字。

这个数字也有自己的符号，看起来像π的上下颠倒符号，如下图所示：

这种符号来自神秘的伏尼契手稿（一本内容不明的神秘书籍）中的一个字形，该手稿是15世纪早期的插图和文字汇编，没人能看懂。

1000000000000066600000000000001

Der Hl. Augustinus und der Teufel

② 帅气回文素数（Handsome Palprimes，HPP）

如果某个回文素数能表示成以本身各数字分别为底的方幂（各方幂数都是自然数，可以不相等）之和，那么这个回文素数就叫帅气回文素数（Handsome Palprimes，HPP）。HPP由意大利数学家雷斯塔在2005年研究命名。有人搜索到78427372487为止，据说发现了其中“最帅”的HPP：

34763936743=3¹⁴+4¹⁶+7⁰+6¹³+3⁶+9⁸+3⁶+6¹³+7⁰+4¹⁶+3¹⁴

“最帅”在什么地方呢？不但在于它具有对称幂形式（以98 为对称轴，其余各项的底数与幂指数都对称且相同，前面的其他HPP都不是这样），而且在于它是不大于78427372487的数之中唯一的“帅哥”！

③ “二人世界”回文素数

仅由两种个位数字分别重复构成的回文素数被戏称为“二人世界”。1989年，美国数学家杜博内尔发现了有4841位的“二人世界”10（2415）1（9）0（2415）1（仅有1和0），其中“0（2415） ”表示有2415个连续的0（下同）。同年，他又发现了 5749位的9（2874）29（2874）（仅有 9 和 2）。他还发现一个也很有趣的回文素数10^{11 310}+4661664×10⁵⁶⁵² +1。因为它的位数11311 也是回文素数，所以被称为双重回文素数。

2) 表亲素数和六素数(Cousin Primes & Sexy Prime)

相差为2的素数被称为孪生素数，而相差更多的素数，如4又叫什么呢？于是，数学家们将相差为4的素数称为表亲素数，如（3,7）。（7,11），（19,23）等等。对表亲素数的研究要比孪生素数少很多，目前已经找到的最大的表亲素数有11594位。

另外，相差为6的素数偶素数偶 (p, p + 6)被叫做六素数（sexy prime），例如5和 11都是素数且差为 6。截至2009年5月，已知最大六素数是肯·戴维斯（Ken Davis）找到的，有11593位。这组素数 (p, p+6) 是

P=(117924851×587502×9001#×(587502×9001#+1)+210)×(587502×9001#−1)/35+5.9001 #是一个素数阶乘（primorial）。

六素数还有多胞胎六素数，如三胞胎六素数，四胞胎六素数五胞胎六素数，至今还未发现六胞胎六素数。

3）π素数和e素数（Pi-Prime & e-Prime）

在圆周率的十进制表达中，如果前n位恰好组成一个素数，这样的素数就叫做 π 素数。3、31和314159都是 π 素数。下一个π素数则是31415926535897932384626433832795028841，它有38 位。

同样的，既然有π素数，e 素数必然也少不了。前三个e素数是2、271、2718281第四个 e 素数则是

27182818284590452353602874713526624977572470936999 59574966967627724076630353547594571

这个数有 85 位。

4）安全素数与危险素数（Safe Prime & Unsafe Prime）

如果 p和 2p+1都是素数，那么 2p+1就叫安全素数（p为热尔曼素数，以法国著名女数学家索菲娅·热尔曼命名）。安全素数之所以冠名“安全”，是因为在加密算法中要用到它：某些因子分解的算法的计算时间部分取决于被分解数的素因子减去1的因子大小；而如果被分解的数以一个素数2p+1作为因子，由于2p+1减1之后有一个大素数因子p，计算时间将会增多而不容易破解密码。

反之，如果p是素数，那么安全素数2p+1以外的素数就叫危险素数或不安全素数。

100以内的危险素数有17个：2，3，13，17，19，29，31，37，41，43，53，61，67，71，73，79，89，97。

危险素数之所以“危险”，是因为在类似上述的安全素数加密算法中，对应的破译计算时间将会减少，使密码容易被破解。