梅森素数是数论研究中的一项重要内容，早在古希腊时期，欧几里得就开始研究2p－1型素数，他在名著《几何原本》第九章中论述了完全数与2p－1型素数的关系。由于这种素数具有独特的性质（和完全数有关）和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多数学家和无数的数学爱好者对它进行研究和探索。1640年6月，被誉为“业余数学家之王”的费马（Pierre de Fermat）在给数学家马林·梅森（Marin Mersenne）的一封信中写道：“在艰深的数论研究中，我发现了三个非常重要的性质，我相信它们将成为今后解决素数问题的基础。” 这封信中就讨论了形如2p－1的数（其中指数p是正整数，常记为Mp ），而这一类数就以马林·梅森命名，被称为梅森数，如果梅森数是素数，就称为梅森素数。八卦一下：这位梅森是那时的数学大v，所有欧洲最著名的数学家都和他保持联系，他会组织各种数学相关的活动，对数学发展的推动起到了核心的作用。用因式分解法可以证明，若2n－1是素数，则指数n也是素数；反之，当n是素数时，2n－1（即Mp）却未必是素数。前几个较小的梅森数大都是素数，然而梅森数越大，梅森素数也就越难出现。两千多年来，仅发现51个梅森素数也是已知最大的素数，即M82589933（即2的82589933次方减1），有24,862,048位，由互联网梅森素数大搜索（GIMPS）志愿者Patrick Laroche于 2018 年12月7日发现。在现代，通过对梅森素数的深入探究，促进了多种学科和新技术的发展。它还是人类好奇心、求知欲和荣誉感的最好见证。哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一，另外两个分别是费马猜想和四色猜想。1742年，哥德巴赫在给欧拉的信中提出了以下猜想：任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。但是他自己无法证明，于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明，但是一直到死，欧拉也无法证明（又是写信，数学家们好像很热衷于写信出难题互相折磨……）。今天常见的陈述为欧拉的版本，即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和，亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。从关于偶数的哥德巴赫猜想，可推出：任一大于7的奇数都可写成三个质数之和的猜想。后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”。若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的，则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的。2013年5月，巴黎高等师范学院研究员哈洛德·贺欧夫各特发表了两篇论文，宣布彻底证明了弱哥德巴赫猜想。哥德巴赫猜想与“孪生素数猜想”（即，存在无穷多个素数p使得p+2也是素数）紧密相关，由此又引出了另一个关于素数的世界级难题——孪生素数猜想。孪生素数猜想是数论中的著名未解决问题。“孪生素数”是指与两个相差为2的素数。两个素数相差2的一组素数称为孪生素数对，例如（3,5），（5,7），（11,13）等等。孪生素数猜想指出：存在无穷对孪生素数。1849年，阿尔方·德·波利尼亚克（Alphonse de Polignac(1826-1863)）提出了一般的猜想：对所有自然数k，存在无穷多个素数对（p, p + 2k）。k = 1的特殊情况就是孪生素数猜想。在1900年国际数学家大会的报告上，这个猜想正式由希尔伯特提出：存在无穷多个素数p，使得p + 2是素数，素数对（p, p + 2）称为孪生素数。1921年，英国数学家哈代和李特尔伍德也做出了类似的猜测。他们提出以下的猜想：2013年5月，数学传奇人物张益唐的论文《素数间的有界距离》在《数学年刊》上发表，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素猜想的弱化形势，即：存在无穷多差小于7000万的素数对。这是第一次有人证明存在无穷多组间距小于定值的素数对。有兴趣的读者可以看看张益唐的事迹，是名副其实的扫地老僧级别的人物，非常传奇。黎曼猜想由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出，在知名度上，黎曼猜想可能不及费尔马猜想和哥德巴赫猜想，但它在数学上的重要性要远远超过后两者，是当今数学界最重要的数学难题，当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想（或其推广形式）的成立为前提。黎曼猜想的基本内容为：黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于复平面上Re(s)=1/2的直线上。从表述上看，黎曼猜想看上去是一个纯粹的复变函数命题，但实际上，它所研究的却是长期以来困扰了无数数学家们的问题，即素数的分布问题。黎曼观察到，素数的分布频率紧密相关于一个精心构造的黎曼zeta函数ζ(s)的性态。黎曼假设断言，方程ζ(s)=0的所有有意义的解都在Re(s)=1/2的直线上。1901年Helge von Koch指出，黎曼猜想与强条件的素数定理等价。黎曼猜想是当今数学界尚未证明且最要的数学难题，现今克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题中也包括黎曼猜想。1958年的一天，美国数学家吉尔布雷斯（Norman L. Gilbreath）闲得无聊，便在餐巾纸上将一堆素数从小到大排成一行，然后还是觉得很无聊，便将素数两两相减（相邻的两个素数，大的减去小的），得到第二行数，依然觉得无聊，就继续这样重复减下去……然而，出现了一个神奇的现象，吉尔布雷斯意外地发现这些数字出现了规律，从第二行开始，以后的各行总是以1开头！如下图所示：由此，吉尔布雷斯猜测：如果将所有质数写出，然后计算出相邻的素数的差，得出一个新的数列，又再计算新数列相邻质数的差，重复这个动作无限次，不论这个过程进行多久，上面的结论都是正确的。于是在1958年的一个数学交流会上，这个猜想被正式提出，称为吉尔布雷斯猜想。1959年，吉尔布雷斯的两个学生凯尔格洛夫（R．B．Killgrove）和拉尔斯顿（K．E．Ralston）通过验证第63419个素数之前的所有素数而支持了这个猜想。1993 年，数学家安德鲁·奥利兹科（Andrew Odlyzko）对 10 000 000 000 000 以内的质数（ 346 065 536 839 行）进行了检验，规律仍然遵循吉尔布雷斯猜想。到目前为止，人们还没发现可以推翻吉尔布雷斯猜想的反例。关于素数分布规律规律的秘密，是数学家们一直以来苦苦探索并想要破解的难题。下面这个关于素数分布规律的发现，与前面提到的吉尔布雷斯猜想的提出也有相似之处——都是数学家在无聊中摆弄数字时发现的……1963年，美籍波兰数学家斯塔尼斯·拉夫·乌拉姆（Stanislaw Ulam，1909年－1984）在一次会议中，在一张草纸上无聊地摆弄着数字，画了一个简单的证书螺旋，然后又将草稿纸上的素数圈了出来，如下图所示：此时，他惊奇地发现证书螺旋图上的素数显示出某种神奇的非随机分布规律。会议结束后它又列出了更多的数，并用黑点表示素数，白点表示非素数，于是列粗了数字到4万的螺旋图，然后发现似乎显示出了更加强烈的非随机性，这一发现震惊了数学界，这个螺旋被称为乌拉姆螺旋（也称质数螺旋）。
377x377 (~142K) 乌拉姆螺旋
乌拉姆螺旋和随机数螺旋与质数螺旋类似的关于素数分布的非常美丽而有趣曲线还有很多，在今后的素数系列文章中专门介绍。
极坐标下5000和50000个素数的分布是什么原因造成了素数分布的神奇现象目前还尚未可知。不过，也有认为研究质数螺旋或许是获得更大质数的一种方式。顺便八卦一句：Ulam是蒙特卡洛数值模拟方法（Monte Carlo Simulation）的发明人，他当时跟冯诺依曼一起工作，借了冯诺依曼的超级计算机做数值模拟，现在这个方法的应用非常广泛。
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