https://physicstoday.scitation.org/doi/full/10.1063/PT.3.3381

这三位获奖者突破传统观念，重新定义了一维和二维系统中的相和相变。
概述
每个陶艺人都知道，一团陶土可以拉升变形做成碗。但如果不切不割不钻，或者不做拼接，一团陶土变不成一个圆环。从拓扑的角度看，有些物体性质没有变，即使被拉升变形，一个圆团和一个碗就是拓扑一致的，而圆环在拓扑上就属于另一类。科学界还有个
笑话：分不清甜甜圈和咖啡杯的，就是拓扑学家*。

*甜甜圈、咖啡杯都有一个环，拓扑上是一类。

70年代早期，J. Michael Kosterlitz和David Thouless推导出，在二维系统中，涡旋（一种拓扑破缺）会带来相变。这种相变一般的相变不一样。一般相变是因为系统对称性发生变化，这里是系统的拓扑发生变化[1]。
十年后，F. Duncan Haldane把前两位的观点应用到一维自旋链上，开拓出一个丰富的研究领域[2]。差不多这个时候，Thouless用拓扑学解释了，为什么二维电子系统中量化霍尔电导率的精度可以如此高[3]。
这三位理论学家把拓扑这一抽象的数学变成了研究低维系统的核心工具。他们改变了凝聚态物理学的整体面貌。2016年的诺贝尔物理学奖奖励他们的前沿研究。一半给Thouless，还有一半由其他两位分享。

一种新的相变

1970年，Kosterlitz到伯明翰大学做博后，他是粒子物理学家。完成现在叫做“proto-string理论”的几项计算后，他发现竞争者已经跑在他前面，于是他要换个方向。1971年，Kosterlitz去了伯明翰大学，和教授Thouless一起工作。
Thouless1969年访问了贝尔实验室。他从Philip Anderson那里了解到，某些一维磁中的相变还是个谜。奇怪的是，短距离的相互作用不会造成相变，但长距离的相互作用却会带来相变，没人知道两者为什么不一样。Thouless发现，两者的主要差别在于，磁破损的能量和熵间的竞争。正好这时Kosterlitz来找他，找一个新的研究课题，Thouless当时在考虑，液氦中的超流涡旋（特别在二维）或许是一样的道理。
那个年代，大多数凝聚态物理学家都认为相变是：出现了“长程序（long-range order）”，对称性发生了变化。要看起来不变，一个晶体结构只能转一定角度，而液体可以转任意角度。磁有序是所有自旋排列朝向特定方向，而磁无序中自旋方向随机。那么，从无序态到有序态的相变，被认为是某个对称性的自发破缺引起的，这个过程可以用磁化的演进来描述，或者用和温度、压强、其它热力学变量有关的某些“序参数”来描述。
但到了30年代，Rudolf Peierls很有力地论证了，二维材料中原子的热运动会阻碍形成“长程序”。N. David Mermin和Herbert Wagner于1966年用了类似理由，论证了各向同性的二维海森堡磁（磁动量可以任意方向）也无法变得有序。一年后，Franz Wegner证明，还有一种二维磁（xy模型，磁动量限于二维平面里）也是如此。1967年Pierre Hohenberg理论证明，二维超流和超导就不应该存在[4].
但理论描述逐渐清晰并汇聚，实验观察到了奇异现象——薄薄的氦薄膜中出现超流相变。数值分析和其它理论研究（包括Wegner自己的）也发现一些迹象——有一类相变可能发生在二维原子或磁系统中。
问题是，如果二维系统不能成序，也没有对称性破坏，那么相变是怎么发生的呢？“Kosterlitz和Thouless带来了关键的解决方法” Wegner评论说。Kosterlitz和Thouless提出一种新的“长程序”，他们称之为“拓扑”。他们认为，这种序也可以存在于二维固体、中性超流、xy模型中[1]。
Kosterlitz和Thouless展示，在二维系统中，除了传统的激发（晶体中的声子，xy磁中的磁振子，超流里的表面波），还存在拓扑激发（涡旋）。旋涡的拓扑本质是什么？首先我们想象二维铁磁是指向一个方向的箭头，如果在这组箭头中逆时针绕一圈，这些箭头方向都几乎是一样的 ，这时的拓扑电荷为0。
一个涡旋，如图1a中的一组箭头，逆时针绕涡旋中心转一圈时，箭头方向也在改变，一圈下来一共变了2π, 这种情况下的拓扑电荷为1。一个反涡旋，如图1b，转一周箭头方向总共改变了−2π ，它的拓扑电荷为−1。
图1. 涡旋 (a) 涡旋逆时针转一圈，变了 2π. (b) 反涡旋转一圈，变了−2π.
如果连续改变一个涡旋（比如把每个箭头都转同样量），拓扑电荷不变，还是1。这么做，不会把涡旋变为反涡旋，两者之间的变换必须是非连续的。然而，当涡旋和反涡旋配成对，它们的拓扑电荷就抵消为零。配对形成形成了有序态，拓扑电荷也为0。
Kosterlitz和Thouless计算，要做一个涡旋或反涡旋需要多少能量，发现涡旋和反涡旋的熵和系统尺寸对数相关。系统的自由能是 F = E − TS, 其中 E is 能量, T 是温度，S是熵。低温时，能量占主角，自由的涡旋和反涡旋都不存在。但一对涡旋-反涡旋的能量，是两者间距的函数，所以即使低温也会有紧密的对。温度上升时，更多对被激发，成对的涡旋反涡旋之间的距离增大。到了某个临界温度，熵那一项超过了能量，涡旋-反涡旋被松了绑，自由涡旋和反涡旋到处漫游。这个系统经历的拓扑相变，也就叫做Kosterlitz–Thouless(KT)相变。有的也叫它BKT，B是后来的Vadim Berezinskii，他1970年在俄文期刊上发表了类似的观点。 
从一开始，Kosterlitz和Thouless就知道，这可以应用到二维固体、磁、液氦。但1972年第一篇论文聚焦于固体-液体的相变，在这里，涡旋是一个点缺陷（叫做dislocation）。因此，KT相变可以用来描述二维晶体的熔化。二维晶体的统计力学至今是个活跃的研究主题，特别是关于胶质系统。芝加哥大学的William Irvine说，这些系统中，KT相变“是我们关于熔化唯一的好理论。” 
一年内，Kosterlitz和Thouless发了一篇更长的论文，详细说明怎么把这个观点用于xy模型和超流氦。1977年，Kosterlitz和David Nelson（当时Kosterlitz在康奈尔大学作博后）预测，超流氦里的KT相变，表现为超流密度的一个jump。这个预测很快被实验验证。到了70年代末，KT相变还被用到了超导薄膜上。

从经典二维到量子一维

1931年，Hans Bethe写下一维自旋-½链的精确解，人们称之为“Bethe ansatz”，这个解给出一个无能隙的自旋激发光谱：低波数的激发能量连续变到0。ansatz给出的答案，和半经典自旋-波理论的答案看起来差不多。物理学家就不想麻烦算术，直接就去找答案了。虽然没证明过，但80年代大家普遍认为，自旋大于1/2时也差不多。
1981年，Duncan Haldane在法国Grenoble的Laue–Langevin研究所工作，研究Luttinger液态模型，对一维电子系统的微扰处理。他发现可以把Kosterlitz和Thouless经典统计用到量子力学中的一维自旋链，只需要把空间维度中的一个变成时间维度就可以。这样，在Kosterlitz和Thouless的涡旋就变成了不同拓扑态之间的隧穿。
Haldane发现，从拓扑来看，隧穿绕着链轴附近的自旋场约±2π，与二维空间里的涡旋的作用相似。用量子力学积分法发现，如果正负两个方向绕，自旋-½正好抵消，产生无能隙激发。
了解自旋-½的情况后，Haldane开始研究自旋1的链，发现没有抵消。“很明显，那里有能隙” 他说，“但我当时没在论文里解释清楚。”他1981年的第一篇稿子被拒绝发表。 
之后，他获得越来越多的证据支撑。当1983年最关键的两篇文章[2]出来后，实验人员没多久就找到了Haldane能隙。1986年，Chalk River实验室的William Buyers和同事[5]在准一维系统CsNiCl3的自旋激发光谱中测量到了一个清晰的能隙，图2中显示。“要平息批评，实验证实是最有效的” Haldane说。

图2 Haldane能隙。Duncan Haldane认为在一维自旋为1的链中，激发光谱有一个能隙。三年后，准一维合成物CsNiCl3（磁链的晶格间距为c）的中子散射测试，证实了这个预测。这里展示这条链的激发光谱。激发频率从没到0，说明了存在能隙。蓝线是用“自旋-波”理论做的数据拟合。

从实空间到动量空间

当金属板有电流I，然后加一个垂直磁场，洛伦茨力把电荷偏折到垂直于场和电流。偏折电荷积累形成一个势能差V。这是1879年霍尔发现的，现在叫做“霍尔效应”， I/V 的比值叫做霍尔电导。
1980年，Klaus von Klitzing和同事发现，二维电子气中的霍尔电导是
e2
/
h
 的整数倍(
e
 是电子电荷，
h
 是普朗克常数)[6]，他因此在1985年获得诺贝尔奖。霍尔电导的量化的观察精度超过十亿分之一，不受样品（比如缺陷数量）的影响。对
RK
=
h
/
e2
 （von Klitzing常数）的测量可以如此精确，人们用它来定义国际标准电阻单位，之后会用来定义国际标准质量单位。

1982年，当时在华盛顿大学的Thouless和他三个博后（Mahito Kohmoto, Peter Nightingale, Marcel den Nijs）
用拓扑原理解释了霍尔电导的量化
。

“这里的拓扑更抽象，它们不是空间里的涡旋,” 宾州大学的Charles Kane解释说，“量子霍尔效应里的拓扑是量子态的拓扑。”
Thouless和合作者——德州大学奥斯丁分校的Allan MacDonald——发现量子霍尔效应中的整数“其实是能带结构的拓扑编号
”。
本质上来说，霍尔效应中量化的jump是不同拓扑态之间的转换。
说到动量空间的拓扑，量子霍尔效应其实只是冰山一角。拓扑绝缘体——体内绝缘表面有导电态的材料—现在已是凝聚态物理的主要课题[7]。
Kane是这么解释拓扑表面态的：绝缘或导电是由电子能带决定的——绝缘体的能隙隔开了满的价带和不满的导带，而导电金属真是因为没有能隙所以能导电。如果拓扑绝缘体和一般绝缘合到一起，我们可以在接触面做两者能带结构的平滑插值。“然而一旦这么做，能隙就一定到0。因为不到0就说明两者拓扑一致。” 因此，边界上的态没有能隙，它会导电。
这些态，因为本质上是拓扑的，所以对干扰不敏感，就像量子霍尔态一样。“你可以随意摆弄它，但有些东西是不会变的” Kane说。有人因此提议，把拓扑绝缘体用于量子计算。
“我认为诺贝尔奖评选委员会是在表达，拓扑在物理学中的作用越来越大” Klitzing评论说， “且他们希望回到拓扑观点的起源。” Wegner等人补充说，今后可能还会有奖励拓扑方面的诺贝尔奖。
依次是：David Thouless、Michael Kosterlitz、Duncan Haldane

REFERENCES

  1. J. M. Kosterlitz, D. J. Thouless, J. Phys. C
    5
    , L124 (1972);

    J. M. Kosterlitz, D. J. Thouless, J. Phys. C
    6
    , 1181 (1973).  
  2. F. D. M. Haldane, Phys. Lett. A
    93
    , 464 (1983);

    Phys. Rev. Lett.
    50
    , 1153 (1983). 
  3. D. J. Thouless et al., Phys. Rev. Lett. 49, 405 (1982). 
  4. N. D. Mermin, H. Wagner, Phys. Rev. Lett.
    17
    , 1133 (1966); 

    F. Wegner, Z. Phys.
    206
    , 465 (1967);

    P. C. Hohenberg, Phys. Rev.
    158
    , 383 (1967). 
  5. W. J. L. Buyers et al., Phys. Rev. Lett. 56, 371 (1986).  
  6. K. von Klitzing, G. Dorda, M. Pepper, Phys. Rev. Lett. 45, 494 (1980).  
  7. M. Z. Hasan, C. L. Kane, Rev. Mod. Phys. 82, 3045 (2010). 
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