整体点评
2021年AP北美考区的微积分AB考试，从整体难度上讲，不是非常的容易，有部分较难理解的题目，但依旧没有超出考纲考察的范围，并且考点也是历年常考的地方。
第1题的b问，虽说考察的是简单的黎曼和近似，但在函数形式上发生了变化，而且考生也容易遗漏表达式前面的2π，导致回答错误。
第3题的b问主要在题目理解上有一定难度，能否根据题目给出的描述，将文字语言转化为数学语言是解题的关键。而且不同于以往题目的求面积与体积，第3题使用了family function的形式，通过给出不同的条件求解函数中的c，是该题的特点。
第6题的a问考察了在斜率场中画出方程，b问考察对水平渐近线的理解以及解释，是往年不常考察的方式，也会对考生答题造成一定的难度。
整体来说，从FRQ的考察来看，2021年北美考区的微积分AB题目有较灵活的出题方式，但也严格根据考纲展开进行。灵活题目的占比不多，所以并不会对考生答题带来太大的压力。只要根据考纲对知识点复习充足，拿到5分还是比较容易的。
逐题点评
第1题
a. 考点：估计导数值
选取距离2.25同样远近的两点2和2.5，即可通过这两点的函数值，估计出2.25处的导数值。
b. 考点：使用右黎曼和估计定积分值
注意需要估计的函数为r*f(r)，并且在使用黎曼和估计后还要整体乘2π。
c. 考点：黎曼和面积是否高估or低估
使用黎曼和近似与真实值的比较需要根据函数的增减性来决定，由于该函数在给定区间内是单调递增的，因此右黎曼和会比实际值高。
d. 考点：Average rate of change
在给定区间内求出平均变化率，再使g(k)等于平均变化率，即可求出k的值。
第2题
a. 考点：position与velocity的关系、微积分基本定理
由于对position函数求导即为velocity函数，因此已知velocity函数表达式与x(0)=5，即可通过微积分基本定理求出P点在t=1时的位置。Q点同理。
b. 考点：velocity与物体运动方向
判断P、Q两点在t=1时是相对而行还是渐行渐远，不仅需要根据a问两物体的位置比较，还需要计算出两物体在t=1时的velocity，从而判断运动方向。若velocity为正，则向右运动；若velocity为负，则向左运动。
c. 考点：acceleration与velocity的关系、speed增减问题
对velocity求导即可得到该物体的acceleration，而关于speed的增减问题，需要看某一时刻该物体的velocity与acceleration是同号还是异号。若同号则speed增；若异号则speed减。
d. 考点：distance的求法
distance为物体的运动路程，因此需要对velocity加绝对值求定积分。
第3题
a. 考点：定积分求面积、换元法求积分
根据c=6，计算出定积分的上下限，再进行求积分即可。求积分过程中需要使用换元法。
b. 考点：极大值
这道题说圆切面最大的半径为1.2，根据图像轨迹，也就是极大值为1.2。因此利用导数表达式先计算出y在何处取极大值，再代入，即可得到c。
c. 考点：定积分求旋转体体积
利用定积分求旋转体体积的计算公式，使得该式等于2π，即可求出c的值。
第4题
a. 考点：上限积分求导、函数的凹凸性判定
由于G为上限积分函数，所以G’(x)=f(x)，因此通过判断f(x)图像的增减，即可判断G的凹凸性。
b. 考点：Product rule乘法求导公式
根据乘法求导公式求导后，通过图像f的斜率和面积即可得到P’(3)。
c. 考点：洛必达法则
由于分母分子在x趋近于2时均为0，因此利用洛必达法则对分子分母分别求导即可求出极限值。
d. 考点：Average rate of change、MVT中值定理
先根据公式求出平均变化率，再判断是否满足MVT的使用条件，MVT需要在连续可导区间，由于f在-4到2区间每个点都有值，因此G在该区间可导，所以满足MVT。
第5题
a. 考点：隐函数求导
在equation两边同时对x求导，整理后即可得到导数式。
b. 考点：切线方程
通过a问的导数式，代入点坐标即可得到切线斜率，再利用point-slope form可写出切线方程。
c. 考点：水平切线
水平切线的斜率为0，因此寻找导数值为0的点即可。
d. 考点：极值点判定
根据c问中得到的水平切线的点，即为critical points，之后对这些点进行判定，若是从负到正，则为极小值；若是从正到负，则为极大值。
第6题
a. 考点：斜率场
根据题目中给出的微分方程，以及通过点(0,0)，即可画出对应的特解原方程。
b. 考点：水平渐近线
由于当t趋向于∞时，A趋向于一个值，因此A的水平渐近线为y=12。在解释时需要注意使用A的单位。
c. 考点：分离变量法求解微分方程
通过分离变量法求出y的通解，再代入初始值A(0)=0，即可求出y的特解。
d. 考点：函数的增减性判定
由于给出了微分方程，因此将t=1，y=2.5代入即可得到在t=1时的导数值，通过导数值的正负即可判定B在t=1时的增减性。
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TD福利
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