终于有人把辛普森悖论讲明白了

导读：困扰统计学家60多年的魔咒，时至今日也没有得到彻底解决。

作者：徐晟

来源：大数据DT（ID：hzdashuju）

在做重大决策时，我们总会参考一些统计数据，比如高考前关注学校的录取率，择业时参考各个行业的就业率等。统计数字可以帮助我们比较这些对象的优劣，做出更加合理的决定。但有时，统计数字并不靠谱，基于统计数据的因果推断甚至会出错。

举例来说，假设张三想去医院看病。他收集到了附近两家医院的医疗数据，如表2-1所示。

根据数据，医院A最近治疗了1000个病人，有900人存活，100人死亡，存活率为90%。医院B最近也治疗了1000个病人，有800人存活，200人死亡，存活率为80%。从统计数据来看，似乎医院A比医院B更好一点。

现在我们把收集到的样本数据做一些细分，按照重症病人和非重症病人进行统计，如表2-2所示。

▼表2-2 重症和非重症病人统计

我们只是进一步区分了病人病情的严重程度，结论就被变魔术般改变了。从表2-2中可以看出，无论是重症病人还是非重症病人，不管怎么看，最好的选择都是医院B，这与之前的情况大相径庭。一开始我们只关注整体的存活率，医院A明明是更好的选择，但是如果关心更细的病例存活率，医院B就变成了更好的选择。为何会出现这种情况？

这是因为数据中存在潜在变量（比如病情严重程度不同的病人占比），按照潜在变量分组后的数据是不均匀的。在上面的例子中，医院A和医院B对于不同分组病人的救治成功率差别很大。对于重症病人，存活率只有30%～50%，而对于非重症的病人，存活率超过了95%。

同时，两种病人去医院A和医院B就医的数据分布正好相反，大多数重症病人都去了医院B，大部分的非重症病人去了医院A就诊。这就导致医院B的总体救治率数据反而被拉低了，而医院A的统计数据反而更占优势。

在分组比较中占据优势的一方，在综合评估中却成为失势的一方，该现象被称为辛普森悖论。辛普森悖论最初是英国数学家辛普森（Edward Huge Simpson）于1951年发现并提出的。此悖论如同魔咒般，已困扰统计学家60多年，时至今日也没有得到彻底解决。它的出现揭示出一个令人震惊的事实——同一组数据的整体趋势和分组趋势有可能完全不同。

若使用数学语言，辛普森悖论可以表示为如下的关系式：

当