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本期遴选论文
来源：
The Journal of Financial Data Science Fall 2021

标题：
Adaptive Seriational Risk Parity and Other Extensions for Heuristic Portfolio Construction Using Machine Learning and Graph Theory

作者：
Peter Schwendner、Jochen Papenbrock、Markus Jaeger、Stephan Krügel
前言
针对马科维茨提出的传统组合优化方法存在的缺陷，Marcos提出了基于图模型的层次风险平价方法（Hierarchical Risk Parity / HRP），其在统计性能上优于传统的资产组合优化方法。HRP方法的实现主要分为三个步骤：
  • 层次化树聚类（资产聚类）
  • 准对角化处理（相关性矩阵调整）
  • 递归式二分类处理（计算资产权重）
标准的HRP组合优化方法
Step1：层次化树聚类（Hierarchical Tree Clustering）
1、假设有N个证券过去T 个时间的收益率数据构成TxN的矩阵，基于此收益率数据计算资产间的相关系数，构成NxN的相关系数矩阵；
2、根据相关系数矩阵，使用下列公式转换为距离矩阵D；
3、根据上述矩阵D，使用下列公式计算距离矩阵 ，该矩阵的每个元素是矩阵D任意两列的欧式距离。从逻辑上理解，用股票与所有其他股票的距离作为该股票的向量表征，通过计算两两向量之间的欧式距离作为股票之间的相似性。
4、通过递归的方式对N个资产进行聚类，具体做法如下：
a. 找到矩阵 中最小值对应的股票对，比如下图中，a、b股票的值最小，那么第一个聚类就是 
b. 将上述的a、b列用 替换，重新计算c、d、e到 的距离，得到以下矩阵 ，结果如下：
其中c、d、e到U[1] = (a,b)的距离计算方式如下，其他位置元素保持不变：
我们再找到上述矩阵的最小值对应的股票或聚类是 ，并按同样的方法更新距离矩阵 :
5、不断反复的更新距离矩阵，最终得到资产的聚类结果，如下图（称为dendrogram，系统树图）：
Step2：准对角化处理（Quasi-diagonalization）
在这个步骤中，主要是重新组织协方差矩阵的行列，使得最大的值尽量的沿着对角线排列（看下图左右两图对比）。协方差矩阵的准对角化带来的结果是：类似的资产被组织在一起，而不太类似的资产被隔离的远远的。
Step3：递归式二分类处理（Recursive bisection）
这一步骤主要是基于以上的结果计算各资产的权重：
1、初始化所有资产权重：
2、基于Step1得到的聚类，从树形图的顶部到最底部依次将树分为左右两部分（分别用V1，V2标志），如下图所示：
3、从树的根部开始，根据以下公式及Step2的协方差矩阵计算考虑权重后的V1，V2：
其中：
4、基于以上更新后的V1，V2，按以下公式调整左右两个分支的资产权重：
5、重复上述步骤，直到计算至最底部的节点。
标准的HRP有现在的Python实现，具体参考：
https://github.com/robertmartin8/PyPortfolioOpt/blob/master/cookbook/5-Hierarchical-Risk-Parity.ipynb
HRP存在哪些改进的空间？
在本篇文章中，作者参考标准的HRP步骤，主要从聚类的方法上提出了改进，首先把聚类分成了两大类：序列聚类Seriation-based和树聚类Tree-based，树聚类又考虑了固定聚类法和自适应聚类法。
首先是不同的序列聚类Seriation-based方法，如下表所示，以下方法主要参考自 Hahsler, Hornik,  Buchta (2008)，并在R语言中有现成的实现方式。
然后是不同的树聚类方法，作者主要测试了Agglomerative（从下至上）、Divisive（从上至下）、Hierarchical graph community（基于图论）的聚类方法，下表给出了具体方法大部分在scikit-learn有python的实现，大家可以搜索Name查找具体说明。
关于以上聚类方法的选用，作者采用了两种方式，一种是固定，一种是根据某个指标的结果动态的自适应的选用最优的聚类方法，所以关于选取的标准又有不同的指标，具体如下：
在采用自适应树聚类时，还考虑了不同距离的计算方式，如下表所示。
综合以上所有的可变选项，作者基于以下资产，测试了近60种组合优化的方法，并给出了改进后方法相对于标准方法夏普比率的变动（改进方法减去标准方法），如下表：
所有待测试的方法，如下：
最终测试结果如下，可以发现大部分的方法相对于标准方法并，效果没有提升。但是大部分的Tree-based的固定聚类方法的结果表现比标准方法优秀，如HRP_hcs_average。其中效果最好的是HRP_hcs-geometric，即固定采用geometric层次聚类，且距离计算方式与标准方法一致的组合优化方法。
参考文献
1、The hierarchical risk parity algorithm: An introduction. Hudson & Thames. (2021, January 11). Retrieved October 25, 2021, from https://hudsonthames.org/an-introduction-to-the-hierarchical-risk-parity-algorithm/. 
2、Hahsler, M., K. Hornik, and C. Buchta. 2008. “Getting Things in Order: An Introduction to the r Package Seriation.” Journal of Statistical Software 25 (3): 1–34.
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关键词
矩阵
协方差矩阵
方法
股票
相关系数