谈谈清华数学新领军人才计划刚刚出炉的试题
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一
昨天刚刚结束清华数学新领军人才计划的综合测试，后面还有数学一试，数学二试。以下是根据考生回忆整理的综合测试数学试卷的大部分试题：
第一道题是数论题，考察学生对算术基本定理的理解，是一道中规中矩的题目，和数学竞赛中那些弯弯绕绕的数论题完全不一样。
第二道题与其说是计数组合题，到不如说是逻辑判断题，突破口在于 -1这个数只可能出现在4阶矩阵中间的2×2矩阵，所以根据 -1出现的个数分为三种情况，分别判断周围的数字情况。
剩下的，已经知道的那些题目，全是数学专业课程内容，包括数学分析，高等代数，群论的内容。
数学初试的内容，绝大部分都是数学专业课程内容，这也出乎了我的意料。后面的数学一试，数学二试会考到什么难度，什么范围，还真不好说。但有一点可以肯定，不论初试，数学一试，还是数学二试，都和数学竞赛没有半毛钱关系了！
目前市面上有一些培训机构打出来新领军计划考试培训的旗号，甚至还搞出什么模拟试卷，其实都是竞赛培训机构在瞎搞。
在此提醒家长学生，初试的绝大部分已经都是数学专业课程内容，数学一试，数学二试的内容不出意外，应该全部是数学专业课程内容，题目非常灵活，范围非常广，根本不是这些竞赛培训机构所能把握的。
说句不客气的话，
兔子怎么可能会有雄鹰的视野！
二，
之前有不少数学公众号宣称新领军计划实质上还是奥数选拔，现在初试的数学试题应该是狠狠打脸了。
还有一个问题也很容易给家长学生造成混乱，新领军计划初审阶段提交的材料清单中有一项是：
中学阶段物理、化学、生物、信息学奥林匹克竞赛获得的省级（含）以上奖项情况；
不少自媒体据此判断数学竞赛获得一定级别的奖项是新领军计划的门槛，甚至有个公众号还宣称：
说得有鼻子有眼地，不知道的家长还以为新领军计划就是他家办的，真是大忽悠！
如果新领军计划真的要把数学竞赛获奖作为一个硬性指标，为什么提交的材料清单中写的是五个学科的竞赛获奖情况，干嘛不直接写数学竞赛获奖情况。既然写得是五个学科的竞赛获奖情况，那就说明这个就仅仅是作为一种参考而已。为此我还打电话向招生办证实，他们很明确地告诉我，材料清单中学科竞赛获奖情况一项不是必需提交的。
其实学完中学数学就可以直接学数学专业课程，根本不需要搞什么初等数学的奥数竞赛，纯属脱裤子放屁——多此一举。丘成桐本人就在多个场合痛斥国内的奥数选拔招生，他亲自搞的数学新领军人才计划，从初试开始绝大部分内容都是数学专业课程内容，怎么可能在初审阶段拿奥数获奖情况去为难考生呢？
可能有人会说，那为什么新领军人才计划会规定：
数学奥林匹克国家集训队成员，经专家组考察表现优异者可直接获得入围认定。
我认为这可能是出于和北大等其他名校招生竞争的考虑。因为目前的中学数学教育大环境还是在引导有数学天赋的学生去参见奥数培训奥数竞赛，而国家集训队才60人，各个名校尤其是北大都可保送。如果新领军人才计划再对国家集训队设立一些门槛，很可能在招生竞争中显得被动。
三，
但是，根据新领军人才计划的选拔流程设定，这个人才计划肯定不是仅仅为了招生竞争，更是作为中学数学人才选拔制度改革的一种尝试，希望能打破以往单一的奥数选拔机制。注意之前丘成桐数学英才班招生是规定：
全国奥数金牌获得者，经专家组考察表现优异者可直接获得入围认定。
而现在，丘成桐的新领军计划的一下子将竞赛生入围认定门槛提高到了国家集训队。这就是非常明显的信号，弱化淡化奥数的选拔作用，全面考察中学生提前掌握数学专业课程内容的程度，将是未来的大趋势。
其实大家也都知道，中学生花那么多精力搞奥数，纯属浪费时间，数学界，数学教育界对此也心知肚明，只是这里面涉及的利益太多太大，尤其是奥数培训早就成了一个非常庞大的行业。
对于那些有数学天赋，有志于从事数学相关的研究事业的中学生而言，走哪条路已经不用我多说了。如果现在花大量时间金钱培训奥数，即使换来名校数学专业门票，上大学后你还是要学数学专业课程，你奥数培训竞赛的路能走下来根本不能证明你数学专业课程一定有什么优势，多少数学竞赛生学数学专业课程学的一塌糊涂。
所以明智的做法是学完中学数学就直接自学数学专业课程，也可以作为你自己数学天赋的一个测试，如果你自学数学专业课程非常艰难，举步维艰，那我看还是安心高考把。如果你经过努力能把数学专业课程一门门学下来，真的可以考虑报名这个数学新领军人才计划。
四，
针对新领军人才计划，我之前推荐了这五门课程的参考书，这次再补充《基础数论》课程的参考书：
1，数学分析参考书
我首先推荐较简单的《微积分入门》 小平邦彦
对自己比较有信心的中学生可以挑战较难的《数学分析原理》鲁丁 (Walter Rudin)(国内有中文版)
这两本教材都非常精炼，篇幅适中，习题量也恰到好处，非常适合自学。另外我在公众号也开了三节数学分析入门课，可以结合教材学习：
2，高等代数参考书：
高等代数是除了数学分析外最核心最基础的数学专业基础课程。这方面国内的标准教材有北大数学系编写的《高等代数》，习题量适中，很适合自学。
还有丘维声的《高等代数》也非常推荐，同样适合自学。
中学生如果能够习惯抽象思维和抽象概念，建议挑战一本国际通用教材《线性代数应该这样学》 -阿克斯勒 (Sheldon Axler)这本教材写法非常新颖，用向量空间和线性算子的观点贯穿全文，把行列式的内容放在后面，风格上是比较抽象，不过习题也充足，适合自学。
另外高等代数课程和中学平面几何立体几何之间有个衔接课程《解析几何》，有的大学数学专业会单独开设《解析几何》课程，还有的直接将《解析几何》合并为《高等代数与解析几何》，这方面我推荐孟道骥的教材。
《解析几何》的重要性远不如数学分析，高等代数，所以不建议中学生专门花时间学解析几何课程，效率太低了。还有一种推荐方案就是看完我在B站的《解析几何》简短课程后直接学《高等代数》
3，抽象代数参考书
注意数学一试中包括群与群作用这一块内容，虽然抽象代数的国际标准教材非常之多，但有讲群作用的却不多，所以我首先推荐Rotman的《抽象代数基础教程》其中2.8节就是专门讲群作用，举的例子也非常不错。中学生自学这本书建议以前五章为主。
群作用的概念和变换群的概念非常接近，更多的标准教材是讲变换群而非群作用。因为数学一试中明确有群作用的概念，所以我优先推荐Rotman的书。否则的话我会优先推荐雅各布森 (N.Jacobson)的《Basic Algebra》 《基础代数学》，其中第一章第二节就是讲抽象群与变换群(Groups of transformations and abstract groups)，这一节不论是举变换群的例子还是课后习题都恰到好处。中学生自学这套书，以第一卷前四章为主。我在三四个月之内会在B站开始抽象代数课程，也是以这套书为主要参考教材，但是群作用和变换群两个概念都会讲。
4，点集拓扑学参考书
某种意义上，点集拓扑学可以看成是数学分析中实数理论和连续函数理论的抽象化。甚至比抽象代数还抽象，所以建议最后学，有时间有精力就学，否则就算了。我之前推荐的鲁丁《数学分析原理》就是直接用点集拓扑的语言讲实数理论和连续函数理论，所以这本数学分析教程比较抽象，门槛较高，当然如果中学生刚开始接触数学分析就有能力读这本书那自然是极好的。此外，我推荐两本点集拓扑学国际通用标准教材，较简单的是 《Basic Topology》 《基础拓扑学》阿姆斯特朗(M.A.Armstrong)
较抽象较难的是
《Topology》《拓扑学》 Munkres, James
我在B站的课程《一般拓扑学》也是以Munkres的书作为主要参考教材，Munkres的书很厚，里面有许多内容是不必要学的。所以也可以直接听我的B站精简课程。
5，基础数论参考书
基础数论课程内容考的内容，如果有，肯定也不多，在此我推荐一本标准教程：《数论概论》-约瑟夫 H.西尔弗曼（Joseph H.Silverman）
这本书内容绰绰有余，内容大家可以挑重点学，也可以看我的B站精简课程《基础数论》。
另外注意做题一定要做标准教程比如《数论概论》中的习题，可以挑着做，但千万不要做那些乱七八糟的数论竞赛题，没用的！！
最后提醒一下，同一门课程不同教材在内容安排上都会有不少出入，为了节约时间，中学生不必每本教材都通读完，读完大部分内容，主体内容就可以了，很多书最后几章可以暂时不读的，等上大学后再补充。目前我们已经收集了以上所有参考书的电子版，需要这些资料的读者请关注公众号《职业数学家在民间》后，在公众号后台回复“数学专业”四个字。
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批判文章，打假文章：
数学教育文章
15，最好的数学启蒙就是一个字！
奥数培训批判：
8，自主招生之死！
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