本篇是哲学史阅读笔记系列的第三篇，主要讨论毕达哥拉斯及其哲学。
西方哲学史阅读笔记（一）——从希腊哲学说起
西方哲学史阅读笔记（二）——泰勒斯的“水”
为什么微积分那么难？
首先需要说的是，毕达哥拉斯哲学是他本人和毕达哥拉斯学派共同造就的，为了便于叙述下文均以他本人代表。
众所周知，数学作为一门纯粹学问首先诞生于毕达哥拉斯的哲学。而西方哲学和科学的分化，也可以看做始自毕达哥拉斯的哲学，在这之前的米利都自然哲学里，科学和哲学是完全未分化的。今天我们一般认为，一门成熟的自然科学应当是充分定量化和数学化的，这也可追溯到毕达哥拉斯的“宇宙遵从数的和谐”这一观点上。因此，毕达哥拉斯的成就非常突出，某种程度上说，后来的科学家和数学家几乎都可以算作是自觉或不自觉的毕达哥拉斯主义者。那么，为什么毕达哥拉斯哲学能够产生数学，为什么数学不等同于计算术或技术，这就是本篇试图讨论的内容。
在开始讨论之前，有必要说一点题外话。在中国，由于哲学教育的落后和重理轻文的氛围，数学被看做是比作为文科的哲学要更“硬”的一门学科，不少人非常崇拜数学，认为数学是智慧和理性的最高象征，却认为哲学是没有确定性的只会说空话的“软”学科，或是认为未来不需要哲学，只需要数学和自然科学就足够了。但由于人对形而上学的需求是始终存在的，因此这种数学崇拜不过导致了数学实际上替代了哲学的职能（他们没有意识到自己说出的其实都是哲学命题），数学书成为了很多比较有反思能力的理工科学生的哲学启蒙教材和构建世界观的原料。我在很多理工科学生身上发现了这种世界观，一般来说有这么几个共性：
一是持较为极端的还原论和机械唯物主义观点，认为人的思维是可被还原为物质的，在人生态度上不认为自己有选择的自由（因为自我意识已经被还原为机械运动了）；
二是将算力给“神学化”、“道德化”，对计划经济抱有强烈的好感，认为存在一个绝对理性的权力能通过超强的计算能力制定出一个最合理的社会秩序，把一切人安排到最好；
三是盲目崇拜数据，厌恶无法定量化的概念，认为定量一定比不可定量的概念要更高级，认为道德、正义、自由等概念是非理性的没有讨论价值的；
四是能够感受到数学和物理学之美，但这种美感却表现出湮灭自我意识的倾向（即感到在那些精妙的模型面前自己是渺小的无我的并因此体验到一种超脱感），而不是感到自己更自由。
然而，这种数学崇拜是比较偏离产生数学的那一文化土壤的。其实，数学这门学科并不像表面看起来那么不言自明，而是建立在一系列超感性的哲学思想之上。数学是自由思维的产物，是人的主体性的杰作，数学（和科学）只可能产生在精神自由的社会，在其他的地方顶多有一些技术和算术，但没有科学和数学。
回到主题。毕达哥拉斯哲学继承自米利都哲学，因此仍保留了万物本原论的模式，即认为万物的本原是“数”。在毕达哥拉斯的眼中，不仅万物是按照数学关系展开的，甚至数本身就是构成事物实体的基本要素，毕达哥拉斯认为，“1”是一切数的根本，“1”表现为几何学中的点，点产生线，线产生了面，面产生体，体构成了水、火、土、气四种元素，这四种元素再形成万事万物。不过，说万物的本原是水（泰勒斯），或者说气（阿那克西米尼）都还好理解，因为水或者气还都是一种物质性的东西，甚至是能够被感觉到的，说万物的本原是数，说数是一切的本质，这其实是非常反直觉也非常大胆的。黑格尔在《哲学史讲演录》对这一思想评价道：
“我们首先觉得这样一些话说得大胆得惊人，它把一般观念认为存在或真实的一切，都一下子打倒了，把感性的实体取消了，把它造成了思想的实体。本质被描述成非感性的东西，于是一种与感性、与旧观念完全不同的东西被提升和说成本体和真实的存在。”
为什么说这种思想非常反直觉呢？因为数本质上是人的思想对事物所进行的规定性，是人建立起来的一个客观概念，这就把人从朴素感觉里解放出来。因为朴素的常识认为，感觉到的东西是最真实的。但数并不能被感觉到，比如说“1”这个自然数，它不是一个苹果，也不是一个香蕉，苹果和香蕉在现实中是可能被吃掉的，但你吃掉了一个苹果，那个“1”仍然存在；“1”也不是“1”这个符号，这个符号只是对“1”的一种表象，它也可以记作别的符号；再比如在纸上画一条线来表示直线，我画出来的线是有长度宽度的，且必然是不直的，但直线是没有宽度的，且是绝对的直。因此“1”和直线都是超越时空的不动不变、不生不灭、不随感觉变化而流逝的理想存在。
但是，数究竟是如何体现出人的思维的规定性呢？这需要我们把自己调整到一个比较原始的思维来看问题：假如我们面前放了两个苹果，我们是凭什么说这是“2”个苹果呢？要是遵循感觉的话，第一个苹果和第二个苹果长得肯定是不一样的，比如说第一个苹果有点红，第二个苹果有点青，我们凭什么能够将这两个“1”相加为“2”呢？凭的是主体的一种规定，即我把每个苹果抽象为“1”个东西，这个“1”是高于感觉的，是一个抽象且理想的存在，它忽略了这个东西内部的诸多细节和差异。因此在抽象的意义上，这两个苹果的确是同质化的（即作为能被我所抽象的这一点上是等同的），因此能够进行相加。如果你从感觉的角度出发，是没法对任何感性的事物进行加法的，因为“世界上没有两片相同的叶子”。
由此也可以引出一个问题，那就是数学和以实用为导向的技术的区别在哪？
技术遵循的是实用的原则，只要能够管用，不论是通过实验还是试错或者经验观察都可以，但数学首先需要的是纯粹的逻辑证明理论推导。比如说很多中国人对将勾股定理称作毕达哥拉斯定理不赞同，但是这一定理以毕达哥拉斯命名是合理的，实际上不只是中国人，印度人、巴比伦人都发现了直角三角形的三边存在某种特殊值，且发现的时间都早于希腊，但毕达哥拉斯是第一个具备了数学上的证明意识的人（据说毕达哥拉斯是通过对正方形地板砖的观察发现这一定理的）。所谓证明，即通过一般的知识推出个别的特殊性的结论。中国古代对这一定理的证明采用的是出入相补原理，即将四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，通过拼凑前后的面积相等来说明定理成立。这种证明方法本质上相当于做实验，借助经验直观来证明，虽然生动形象但缺乏逻辑，且该方法依赖于一个有待于证明的前提（“平面中移动图形前后面积不变”）。而欧几里得在《几何原本》中的证明则不需要借助图形和道具，完全从概念的定义出发就得出了结论。数学之所以作为一种先天科学而不是技术，就在于有一套数学概念和理论来支撑，只要逻辑正确，得出的结论就具有普遍必然性，可以推广到一切对象，而通过经验直观得出的结论则取决于很多偶然性，也未必能够推广。
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