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撰文｜香瓜爸


玛乔丽·莱斯(Marjorie Rice，原姓Jeuck)从来不觉得自己有数学天赋。她1923年出生于佛罗里达，在俄勒冈州南部的一个小农场里长大。她上的乡村小学里只有一间教室。幸运的是，她遇上了两位好老师，激发了她对科学的兴趣。她的成绩很好，小学跳了两级。高中时，全家搬回佛罗里达，她在学校里学习了速记和打字，但只上了一年数学课。16岁高中毕业后，因为家境贫寒，她从来没有考虑过上大学的事。她曾在洗衣店和打印室工作，然后就是结婚，全职主妇，生娃，带娃，生娃，做饭，生娃，打扫卫生，生娃，洗衣，生娃，接送娃，生娃……
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七十年代的玛乔丽·莱斯[2]
玛乔丽一共生了六个孩子，其中最大的夭折了。[2]她同丈夫及五个孩子生活在加州圣地亚哥。在繁重家务之余，她一直保持着对科学的爱好。她和她上初中的大儿子一起学习美国当时的“新数学”课程，还经常到图书馆借阅科学书籍。她给小儿子订阅了《科学美国人》杂志，但每期杂志寄到后，她都会第一个取来读。她最喜欢杂志上著名数学科普作家马丁·加德纳撰写的“数学游戏”专栏。她的丈夫和孩子们不知道，每当其他人去工作上学时，玛乔丽都会在家务之余沉浸在加德纳的数学世界里。[1]
马丁·加德纳

(图源:纽约时报)
1975年7月，玛乔丽读到了当月专栏上介绍平面镶嵌的文章，对此非常着迷。
马丁·加德纳介绍平面镶嵌的科普文章[3]
在彭罗斯：不思考生物化学的诺贝尔物理学奖得主不是好的数学家一文里，我们介绍了2020年诺贝尔物理学奖得主彭罗斯最著名的工作“彭罗斯镶嵌”(Penrose tiling)。这里说的“镶嵌”就是用地板砖铺满平面，中文也经常翻译为“平铺”、“铺排”、“铺陈”等。最常见的例子就是用正三角形、正方形和正六边形铺满平面，但也有不那么规则的铺法。
正方形和正三角形镶嵌

(图源: 作者自拍)

蜂巢是正六边形镶嵌

(图源: Twitter)
不规则四边形镶嵌

(图源: Math and the Art of M. C. Escher)
正五边形不能铺满平面
(图源: 作者自拍)
正五边形不能铺满平面，但有一些不规则的五边形可以用来铺满平面。最简单的例子可以从六边形镶嵌开始，把每一个六边形(不一定是正六边形)划分为两个、三个、或者四个全等的五边形，这样就得到了五边形的镶嵌。
把六边形划分为两个或三个全等的五边形

(图源:wikipedia)

这种地板砖每四块能拼成一个六边形

(图源:www.tilesanddeco.com)
最早的5类能铺满平面的五边形是卡尔·莱因哈特(Karl Reinhardt)在1918年发现的。[4]
莱因哈特发现的5类五边形
所
构成的镶嵌

(图源:wikipedia)
其中有些第一类五边形还可以用来组成没有周期性但有多重旋转对称性的平面镶嵌。这方面最早的例子是迈克尔·赫什霍恩(Michael Hirschhorn)找到的六重对称镶嵌，[5]更广泛的例子由伯纳德·克拉森(Bernhard Klaassen)构造。[6]
有五、六、七重对称性的五边形镶嵌

(图源:wikipedia)
约翰霍普金斯大学的数学家和航空科学家科什纳(Richard Brandon Kershner)在1965年又发现了3类能铺满平面的五边形。科什纳宣称以上8类就是全部的能铺满平面的凸五边形，但没有给出证明。[7]马丁·加德纳在他的《科学美国人》专栏里介绍了科什纳关于五边形镶嵌的断言。
科什纳发现的3类五边形所构成的镶嵌
(图源:wikipedia)
加德纳的科普文章引起了许多读者的兴趣。一位名叫理查德·詹姆斯三世(Richard E. James III)的软件工程师很快找到了不同于科什纳所宣称的第9类五边形。[5
]


詹姆斯发现的第9类五边形所构成的镶嵌
(图源:wikipedia)
加德纳在1975年12月的专栏里介绍了詹姆斯的新发现，这引发了玛乔丽的好奇心。她同样开始研究五边形镶嵌。她的家人经常看见她在厨房的桌案上写写画画，但没有人知道她在干什么。女儿凯茜(Kathy)说：“我以为她就是在涂鸦！”经过两个月的探索，玛乔丽在1976年2月发现了一类新的能铺满平面的五边形，便把自己的结果寄给了加德纳。
玛乔丽发现的新一类五边形所构成的镶嵌
(图源:wikipedia)
即便对于见多识广的马丁·加德纳来说，收到一封52岁家庭主妇写的解答未知数学问题的信件也是一个非同寻常的经历。然而加德纳没有专业能力评判玛乔丽的工作，便将信件转给了摩拉维亚学院的教授多丽丝·沙特施耐德(Doris Schattschneider)。
多丽丝·沙特施耐德

(图源:rcsb.org)


玛乔丽写的信非常难以读懂，因为她从来没有正式学习过几何，也没有学过三角函数，全凭自创的一套符号来标记图形。她使用日常文字描述，而不是学界通用的数学语言。多丽丝费了很大的劲才读懂玛乔丽的信，然后惊讶地发现玛乔丽是正确的，她真的发现了第10类能铺满平面的五边形！[8]
玛乔丽用自创的符号分析已知的9类五边形 [8]
玛乔丽继续进行她的研究，并跟多丽丝保持通讯。她在1976年12月发现了两类新型的五边形，一年后又发现了一类。（玛乔丽先后描述了数百种五边形镶嵌，但只有4类新的五边形。）

玛乔丽后来发现的3类五边形构成的镶嵌
(图源:wikipedia)
在多丽丝的帮助下，玛乔丽一直孜孜不倦地研究五边形镶嵌的各种性质，时间长达二十多年。她的研究内容包括凹五边形镶嵌，还有五边形镶嵌的分类。她发表了两篇数学论文[9]，成果被加德纳和多丽丝等人介绍给大众。
玛乔丽手绘的镶嵌图[8]
玛乔丽做科学研究的唯一目的就是为了新的发现。因为过于腼腆，玛乔丽不愿意当众报告她自己的工作。1995年，多丽丝在美国数学协会(Mathematical Association of America, MAA)的一次会议上报告玛乔丽的工作，玛乔丽夫妇应邀出席。报告结束后，全场听众起立为玛乔丽热烈鼓掌。[1]
玛乔丽在MAA会议上[1]
1998年，美国数学协会装修其总部，向会员们征求地板设计。在一个高大上的数学机构里，彭罗斯镶嵌是常见的设计。
彭罗斯工作的牛津大学数学研究所
(图源: Artful Computing blog)
莫斯科斯捷克洛夫数学研究所内的白板
(摄影: 刘毅)
然而多丽丝提议使用玛乔丽发现的一种五边形镶嵌，并被美国数学协会采纳。新地板的竣工仪式在2000年的美国数学会(American Mathematical Society, AMS)与美国数学协会的年度联合会议上举行。玛乔丽没能参加仪式，但她得到了一张纪念证书。[8]
美国数学协会总部门厅[8]
很多人惋惜玛乔丽没有成为职业数学家，但玛乔丽本人不这么看。她在1976年对多丽丝说：“我意识到我已拥有了美好而幸福的生活，并且得到了我最想要的东西：一个我深爱的家。”(I realize I have had a good and happy life and have received that which I wanted most of all, a fine family that I dearly love.)[1
]

‍‍玛乔丽在厨房接受采访[10]
顺带说一下五边形镶嵌在玛乔丽之后的进展。1985年，劳尔夫·斯坦因(Rolf Stein)发现了第14类能铺满平面的五边形。[11]
第14类五边形所构成的镶嵌
(图源:wikipedia)
2015年，华盛顿大学博瑟尔分校的三位数学家凯西·曼(Casey Mann), 詹妮弗·麦克劳德-曼(Jennifer McLoud-Mann), 和大卫·冯·德劳(David Von Derau)发现了第15类五边形。[12]
第15类五边形所构成的镶嵌
(图源:wikipedia)
2017年，法国数学家拉奥(Michaël Rao)宣布，他在计算机的辅助下证明了已知的15类五边形就是全部的能铺满平面的凸五边形。[13]
全部15类凸五边形，各自构成的平面镶嵌[14]
仿佛冥冥之中自有天意，玛乔丽就在拉奥公布他成果的不到一个月之前平静离世，享年94岁。拉奥的工作无疑是对她最好的纪念。她研究数学留下的遗物保存在加拿大卡尔加里大学图书馆，而她对数学的贡献则永远留存在数学的精神世界中。
玛乔丽根据五边形镶嵌创作的玫瑰画[8
]


更多玛乔丽的作品[2
]

玛乔丽·莱斯 (1923.02.16--2017.07.02)

(图源: Simon Fraser News)

【注释】
[0]
玛乔丽·莱斯的个人纪念网站

https://sites.google.com/site/intriguingtessellations/home

[1]Doris Schattschneider.  Marjorie Rice (16 February 1923–2 July 2017). J. Math. Arts 12 (2018), no. 1, 51–54.

[2]Quanta杂志
https://www.quantamagazine.org/marjorie-rices-secret-pentagons-20170711/

[3]Martin Gardner. On tessellating the plane with convex polygon tiles, Sci. Am. (July 1975), pp. 112–117.
[4]KarlReinhardt.  (1918) Über die Zerlegung der Ebene in Polygone, Dissertation Frankfurt a.M. (in German), Borna-Leipzig, Druck von Robert Noske

[5]Doris Schattschneider.  Tiling the plane with congruent pentagons. Math. Mag. 51 (1978), no. 1, 29–44.

[6]Bernhard Klaassen.  Rotationally symmetric tilings with convex pentagons and hexagons. Elem. Math. 71 (2016), no. 4, 137–144.
[7]R.B. Kershner. On paving the plane. Am. Math. Mon. 75, 839–844 (1968).

[8]Doris Schattschneider. (2018) Marjorie Rice and the MAA tiling. Journal of Mathematics and the Arts 12:2-3, pages 114–127.

[9]
D. Schattschneider and M. Rice, The incredible pentagonal versatile, Math. Teach. 93 (1980), pp. 52–53.

 M. Rice, Escher-like patterns from pentagonal tilings, in M.C. Escher’s Legacy: A Centennial Celebration, D. Schattschneider and M. Emmer, eds., Springer-Verlag, Heidelberg, 2003, pp. 244–251; colour plates 8 and 9.


[10]The Nature of Things / Martin Gardner, https://vimeo.com/7176521#t=1950s
[11]Doris Schattschneider. (1985) "A new pentagon tiler", Mathematics Magazine, 58 (5): 308, The cover has a picture of the new tiling
[12]Casey Mann, Jennifer McLoud-Mann, David Von Derau. Convex pentagons that admit i-block transitive tilings. Geom. Dedicata 194 (2018), 141–167.

[13]Michaël Rao. Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane, https://arxiv.org/abs/1708.00274

[14] Quanta杂志
https://www.quantamagazine.org/pentagon-tiling-proof-solves-century-old-math-problem-20170711/
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