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导读
飞出地球为什么一定要超过某个速度呢？如果你保持一个比较低的速度慢慢飞，比如说1公里/秒，难道你飞不出地球吗？
大家在上高中的时候，都学到过三个宇宙速度：第一宇宙速度等于7.9公里/秒，第二宇宙速度等于11.2公里/秒，第三宇宙速度等于16.7公里/秒。
三个宇宙速度
最近中国发射火星探测器“天问一号” （天问：火星与人类的未来 | 袁岚峰），又让很多人重温了这些概念。
天问一号艺术示意图。这次任务将综合使用轨道器和着陆器/巡视器来研究这颗红色星球
（中国首次火星探测任务即将展开，先来听听首席科学家的“剧透”）
不过我惊讶地发现，许多人对这些概念感到很困惑。典型的问题是：飞出地球为什么一定要超过某个速度呢？如果你保持一个比较低的速度慢慢飞，比如说1公里/秒，难道你飞不出地球吗？难道你会一开始正常上升，然后在某个高度突然被拽下来？
这种场景当然是荒谬的。如果你能一直保持某个大于零的速度，那么你当然可以飞出地球，飞得任意远。速度等于位移除以时间，所以如果速度为常量，那么时间趋于无穷的时候位移也趋于无穷，这本来就是速度的定义嘛。
但是真正的问题在于，你如何保持速度？地球一直在对你施加引力，所以如果你想保持一个恒定的速度，你就一定要有一个相反的力来跟引力抵消。这就需要消耗能量，对火箭来说就是要消耗燃料。
现在要点来了：在航天当中，燃料是极其宝贵的东西，比在地面上开汽车的燃料宝贵得多。在地面上开车，没油了你大不了停下来，找个地方加油再继续开。但在太空中你没法补充燃料，如果在燃料耗尽之前你达不到目标，就会被地球或者其他星球拽回来，前功尽弃。
你可能会问：何不多带些燃料呢？
得，这又是航天跟地面行驶的一个本质区别。汽车前进的动力是轮胎反推地面的摩擦力，但在太空中你无处借力，只能通过向后喷射物质来让火箭箭身前进。
这就导致一个问题：你要达到的速度越高，需要带的燃料就越多，但这些增加的燃料本身又需要更多的燃料来推动，导致一个恶性循环。结果是，单位质量燃料的效果大大下降。
对此定量的描述，叫做齐奥尔科夫斯基公式：
齐奥尔科夫斯基公式
这个公式的意思是，火箭能够达到的最大速度vm，等于向后喷射物质的速度vr乘以质量比的自然对数。这个质量比，指的是火箭装满燃料时的最大质量mmax与耗尽燃料时的最小质量mmin之间的比值。公式之所以有个负号，是因为向后喷射的速度与火箭前进的速度是反向的，别忘了速度是个矢量。实际用的时候，把所有的数值都当作绝对值代进去就行。
举个例子，假如一种火箭的喷射速度是4公里/秒，质量比是e，也就是自然对数的底，约等于2.718，那么它能达到的最高速度就是4公里/秒。而如果喷射速度不变，把质量比提高到e的平方即7.39，那么最高速度就是8公里/秒。
这个公式是航天科学之父、俄罗斯科学家齐奥尔科夫斯基（Konstantin Eduardovich Tsiolkovski，1857 - 1935）在1903年提出的，所以叫做齐奥尔科夫斯基公式。它是现代所有的导弹、卫星、太空探索等航天科技的基础。如果你想了解这个公式的推导，可以参见我以前的文章（我们应该如何纪念登月（二）航天的基本原理| 袁岚峰）。
齐奥尔科夫斯基
这个公式带来一个好消息和一个坏消息。好消息是：航天是可能的。坏消息是：增加燃料带来的边际收益是越来越低的，因为对数函数的增长很缓慢。即使你把整个地球的燃料都烧掉，速度也提升不了太多。
自然对数函数
因此，航天不能指望通过多带燃料来解决问题。在航天任务中，燃料总是处于紧巴巴的状态，总是刚好满足需要或者稍微留一点备用。
知道了这些背景，我们就能理解，航天考虑的基本问题是：当你的燃料耗尽时，你要处于什么样的状态，才能达到目标？由此才能决定，出发时要带多少燃料。
因此，三个宇宙速度的意思，都是在无燃料的情况下，达到这些速度你才能实现某些目标。第一宇宙速度的目标是环绕地球，不落到地面。第二宇宙速度的目标是飞出地球，达到跟地球任意远的距离。第三宇宙速度的目标是飞出太阳系。
还有一点值得解释的是，经常有人问：气球和飞机不是可以一直不落到地面吗？它们的速度都低于第一宇宙速度啊？
热气球
这是因为，气球和飞机都属于航空，而不是航天。当谈论宇宙速度时，我们关心的是航天。
在大气层中，你会受到空气的浮力和阻力，以及通过机翼和旋翼等空气动力学的方法可以得到升力。但这些都属于航空的范畴，离开空气就没咒念了。气球确实可以环绕地球不掉落，但它能到大气层外面去吗？
航天关心的是，你在真空中会怎么样。所以计算宇宙速度时，我们是把这些与空气有关的力全都忽略掉的，只考虑万有引力。
以上我们解释了三个宇宙速度“不是什么”，希望这解决了大多数人的困扰。下面，我们来定量地推导它们“是什么”。推导的方法有多种，这里对每一个宇宙速度都给出最简单的一种。
让我们把第一、第二、第三宇宙速度分别写成v1、v2、v3。需要事先说明的是，这三个宇宙速度都是以地球为参照系的。前两个也许你还不会注意到，到推导第三宇宙速度时这个参照系就很重要了。
第一宇宙速度又叫做环绕速度。它问的是：在地球表面附近，一个物体要达到怎样的速度，才能绕地球做圆周运动，而不落地？
回答是：此时物体受到的地球引力，刚好等于圆周运动的向心力。前者等于GMEm/R2，后者等于mv12/R，所以
其中G是万有引力常数，约等于6.67 × 10-11N·m2/kg2；ME是地球质量，约等于5.96 × 1024 kg；R是地球半径，约等于6.37 × 108 m。顺便说一句，万有引力常数目前最精确的测量值，是由中国科学院院士罗俊的团队在2018年得到的。
中山大学网站对罗俊院士的介绍
（http://www.sysu.edu.cn/cn/zdgk/zdgk03/19924.htm）
把上面的等式化简，就等到
把数值代进去，就得到v1 = 7.9公里/秒。
第二宇宙速度又叫做逃逸速度。它问的是：在地球表面附近，一个物体要达到怎样的速度，才能飞到离地球无限远处？
对此的回答是：从能量转换的角度看来，飞离一个星球是动能转化为势能的过程。如果初始动能不够，就会在某个距离处速度降为零。如果初始动能足够，就可以在距离无穷远时仍然保持大于零的速度。
两种情况的临界状态，就是刚好在飞到无穷远处时，动能和势能都为零，这时总的机械能为零。由于机械能守恒，所以在地面附近时动能加势能也等于零，也就是说动能等于势能的负值。前者等于mv22/2，后者等于GMEm/R，所以
化简以后，就得到
可以注意到，第二宇宙速度刚好是第一宇宙速度的根号2倍。把数值代进去，就得到v2 = 11.2公里/秒。
你也许想问，为什么是根号2倍？回答是：这个2来自万有引力对距离的依赖关系即1/R2中的那个指数，2。不过这需要比较高深的理论知识，在这里就不介绍了。
值得注意的是，第一宇宙速度和第二宇宙速度的方向性是不同的。第一宇宙速度的方向必然是圆周运动的切线方向，而第二宇宙速度并没有特定的方向，因为在它的推导中重要的是速度的平方，与速度的方向无关。如果你具有第二宇宙速度，只要你不是特意一头向地球撞去，那么你必然会飞得离地球无限远。
前两个宇宙速度的推导都很简单，第三宇宙速度就稍微复杂一点，超出了高中知识的范围。它问的是：在地球表面，一个物体要达到怎样的速度，才能飞到离太阳无限远处？
第三宇宙速度之所以复杂，是因为前面的引力源只有一个地球，而这里涉及太阳和地球两个引力源。所以，一种简单而清晰的推导方式，是先假设地球不存在，看需要多大的速度飞出太阳系。
对此的回答，其实我们刚才已经给出来了，就是第二宇宙速度。只不过这时要把引力源从地球换成太阳，距离从地球的半径换成太阳到地球的距离。太阳的质量MS约等于1.99 × 1030kg，日地距离RSE约等于1.5 × 1011 m。
把这些数值代入第二宇宙速度的公式，就得到42.1公里/秒，让我们把它记作v2S。这个速度的意思是，如果地球不存在，而在地球的位置有一个速度相对太阳达到42.1公里/秒的物体，那么它可以飞出太阳系。
下面我们来问，地球的存在会带来什么修正？
首先，地球是在围绕太阳公转的，公转的速度约等于29.8公里/秒。实际上，这个公转速度就是地球环绕太阳的第一宇宙速度，我们可以把它记作v1S。所以，v2S必然等于根号2倍的v1S。
地球的公转可以给我们提供一个便利：如果火箭发射的方向跟地球的公转速度方向一致，那么在太阳的参照系中，火箭一上来就从地球借到了29.8公里/秒的速度。这是一个巨大的收益。所以，火箭真正需要依靠自己的燃料达到的相对于地球的速度，是
v2S - v1S = 12.3公里/秒。
我们可以把这个速度记为Δv。
实际上，对于第一宇宙速度和第二宇宙速度，同样可以从地球的自转中借到速度。不过地球最大的自转速度只是0.465公里/秒而已，出现在赤道上，远小于第一和第二宇宙速度，所以借力的效果不是很大。
即使如此，我们还是尽可能地希望在靠近赤道的地方发射火箭，借一点算一点。中国的文昌发射基地，比以前的太原、酒泉、西昌发射基地都更加靠近赤道，这就是一个进步。所以长征五号这样的重型火箭，都在文昌发射。
图解中国的航天发射中心
回头来考虑第三宇宙速度。刚才得到的Δv = 12.3公里/秒就是第三宇宙速度吗？不是。因为它说的是，假如地球没有引力，仅仅提供一个公转的速度，那么你只需要相对地球达到12.3公里/秒就能飞出太阳系。
但实际上，地球是有引力的。为了克服地球的引力，火箭还需要付出巨大的能量。多大的能量呢？其实就是前面推导的第二宇宙速度v2对应的动能。
由此可见，火箭要飞出太阳系，需要的能量等于两部分之和：一部分是Δv = 12.3公里/秒对应的动能，另一部分是v2 = 11.2公里/秒对应的动能。动能正比于速度的平方，所以第三宇宙速度是
把数值代进去，就得到v3 = 16.7公里/秒。
现在我们明白，第三宇宙速度的推导为什么不是高中内容了。确实绕了不少弯子，不过只要你的头脑清晰，全都是可以理解的。
让我们总结一下，如果你的初始速度处于某个区间，结果会是什么？
三个宇宙速度
如果不到第一宇宙速度，那么你会落回地面。
如果达到第一宇宙速度，那么你会环绕地球做圆周运动。
如果超过第一宇宙速度，但低于第二宇宙速度，那么你会以椭圆轨道绕地球运动，速度越大椭圆越扁，远地点越远。
如果达到第二宇宙速度，但低于第三宇宙速度，那么你会摆脱地球引力，却被太阳捕获，绕太阳做椭圆运动。中国探测火星的天问一号，目前就处于这种状态。
从地球到火星的霍曼转移轨道
（天问：火星与人类的未来 | 袁岚峰）
如果达到第三宇宙速度，那么你最终会飞出太阳系。
有趣的是，还有人提出了所谓“第四宇宙速度”，即飞出银河系所需的速度。它大约在110至120公里/秒之间。不过这个速度已经超出了人类现在能够达到的水平，飞出银河系更是远远超出我们现有的能力，所以这个概念还没有实用价值。
2020年4月，中美科学家绘出迄今最精确银河系结构图（https://tech.sina.com.cn/d/s/2020-05-29/doc-iirczymk4131458.shtml）
还有人提出第五、第六以至第七宇宙速度，表示飞出“本星系群”、飞出“本超星系团”以及飞出已知宇宙所需的速度。这些速度就更大，更加远远超出人类的能力，所以更是只有玄想的意义了。
最后，我们可以回到问题的出发点，重新想一想。火箭的燃料一定是有限的吗？我们能不能一边飞行，一边收集星际物质作为燃料呢？如果这条路走通，就不受无论第几宇宙速度的限制了。我们就回到了最初的图景：如果你能持续地保持某个速度，那么你可以走到任意远。
这样的设想真的是存在的。例如星际冲压发动机，它是美国物理学家巴萨德（Robert W. Bussard）在1960年提出的。它的基本思想是，在前方收集星际物质中的氢原子，在火箭内部发生核聚变，然后从后端高速喷出去。
星际冲压发动机
虽然星际物质很稀薄，但如果你收集得够快，喷射得够快，在理论上就是有可能实现的。这种发动机当然离我们现在的能力还很遥远，因为我们连基础的可控核聚变这个科技还没点开呢，不过它至少给我们提供了一种思路。它使得星际航行不再是耗尽燃料的一锤子买卖了，变成了细水长流。
回顾我们的整个讨论，经历了一场“否定之否定”。许多人困惑是因为他们处于第一层，分不清航空与航天，理解不了宇宙速度面对的是什么问题。当你明白了这一点，你就进入了第二层，可以定量地推导出三个宇宙速度。
然后，你可以再次超越已有的思维，回头去设计在太空中补充燃料的方法。看似回到了第一层，其实至少是第五层，这是真正的高手。科学就是在这种否定之否定中前进的，关键在于你要理解清楚面对的问题，然后才可能找到超越之道。
科技是人类发展的正道，我们要走正道。欢迎大家关注科技袁人，我们下期再见！
扩展阅读：
《我们应该如何纪念登月（一）为什么登月阴谋论是荒谬的 | 袁岚峰》
《我们应该如何纪念登月（二）航天的基本原理| 袁岚峰》
《我们应该如何纪念登月（三）带我去月球 | 袁岚峰》
《我们应该如何纪念登月（四）冲出摇篮 | 袁岚峰》
《天问：火星与人类的未来 | 袁岚峰》
作者简介：本文作者袁岚峰，中国科学技术大学化学博士，中国科学技术大学合肥微尺度物质科学国家研究中心副研究员，科技与战略风云学会会长，“科技袁人”节目主讲人，安徽省科学技术协会常务委员，中国青少年新媒体协会常务理事，入选“典赞·2018科普中国”十大科学传播人物，微博@中科大胡不归，知乎@袁岚峰（https://www.zhihu.com/people/yuan-lan-feng-8）。
责任编辑：孙远
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