初中数学课就学习过：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
   但是小朋友们，这个问题在历史上曾经困扰过许多数学家，而且还促进了两种新的几何学的诞生。
   古希腊数学家欧几里德在他的著作《几何原本》中，提出了五个基本假设，并从这五个基本假设出发，推导出一系列定理。这五个基本假设连同推导出的定理，就称为欧式几何，也就是我们中学学习的几何学。
欧几里德的五个公理是：
1.任意两点确定一条直线
2.任意线段能延长成一条直线
3.以一点为圆心一个线段为半径可以做一个圆
4.所有直角都相等
5.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
   公理即是假设，是不可证明的。从这五条公理出发，欧几里德推导出一系列的定理。但人们发现，第五公理表述比较复杂（原来的表述是：若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角和，则这两条直线在这一边必定相交。），于是，人们怀疑这条并不是公理，而是可以通过前四个公理推导出来的定理。于是，在很长一段时间，很多数学家都试图攻克这一难题，但大多无功而返。
   第一个获得突破的人是俄罗斯数学家罗巴切夫斯基。
   罗巴切夫斯基的父亲也是数学家，曾为了证明第五公理耗尽一生。但他得知自己的儿子也开始研究第五公理的证明时，写信给他儿子说：千万不要研究这个问题。我几乎研究了所有的方法，最后都失败了，我不希望你也陷入这个泥潭。
   然而，罗巴切夫斯基并没有听从父亲的建议。但是他采用了一种与前人不同的方法：前人都是研究如何从前四个公理推出第五公理，而罗巴切夫斯基却反其道而行之，将第五公理修改为“过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行”。那么，假如第五公理可以证明，修改后它必然与前四个公理相互矛盾，于是通过前四个公理以及修改后的第五公理推导平面几何定理，一定能找到这个矛盾，然后就可以顺藤摸瓜证明第五公理了。
   按照这个思路，罗巴切夫斯基用欧几里德的前四个公理与修改后的第五公理推导了平面几何中的所有定理，没有发现矛盾。他终于明白：第五公理的确是公理，不可以通过前四个公理证明。
   既然第五公理不可证明，是一种假设，那么我们也可以更改这种假设。于是，罗巴切夫斯基将第五公理改为过直线外一点有多条直线与已知直线平行，创立了自己的几何：罗氏几何。
   罗氏几何中很多规律与欧式几何不同，最典型的三角形的内角和。在罗氏几何中，三角形内角和不是一百八十度，而是小于一百八十度，具体的数值与三角形面积有关：三角形面积越大，内角和越小。我们可以想象在双曲面上画三角形，内角和就小于180度，所以罗氏几何也叫做双曲几何。
   那么既然罗巴切夫斯基可以把第五公理改为多条，我们也可以改为一条都没有。于是另一个数学家黎曼将第五公理修改为过直线外一点没有任何一条直线与已知直线平行，就创立了黎曼几何。
   黎曼几何在爱因斯坦广义相对论中有很大的作用。传说爱因斯坦在研究广义相对论时遇到了很大的数学困难，直到他发现黎曼几何这个有力的工具，才顺利的用数学表达了自己的思想。
   综上所述，平行线是否存在，存在多少，本质上是一个假设，无所谓对错。数学就是基于假设和逻辑推理的学问，与自然科学中的物理、化学和生物这种基于实验的科学不同。数学的假设不可证明，因此数学更应该归于哲学范畴。
   小朋友们如果有空，不妨买一本非欧几何的书来读读，其实，一点也不复杂。
李永乐
李永乐老师：北京大学物理与经济双学士，清华大学电子工程硕士；北京市中学物理教师/物理竞赛教练。从教十年，培养清华北大学生200余人，国际奥赛、亚洲奥赛、国家奥赛金牌十余名。
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