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中国有五千年的文明，在这个过程中，不光留下了四书五经等儒学经典，唐诗宋词等文学作品，也留下过许多数学和科学的著作。例如汉朝时成书的著作《九章算术》，总结了自秦代以来中国的数学成就，收录了246个数学问题，涵盖图形、比例等内容，并提出了方程组和勾股定理的思想。魏晋时期的数学家刘徽的著作《九章算术注》弥补了《九章算术》缺少定义和证明的缺陷，又将中国数学向前推进了一大步。
问题出处
南北朝时期，中国又出现了另一部数学著作《孙子算经》，他的作者“孙子”并不是春秋时期的军事家，具体身份已不可考。在这部著作中最著名的一个问题就是“鸡兔同笼”问题。这个问题对整个世界的数学界都有很大影响，比如传播到日本，就称为“龟鹤算”。现在，鸡兔同笼也收录在我国的小学课本中。
鸡兔同笼问题的原文是：“今有雉、兔同笼，上有三十五头，下九十四足。问雉、兔各几何？”
意思是说：现在笼子里有鸡（雉）和兔子在一起。从上面数一共有三十五个头，从下面数一共有九十四只脚，问一共有多少只鸡、多少只兔子？
古籍解法
我们知道：鸡和兔子都有一个头，鸡有两只脚，兔子又四只脚。现在已知鸡和兔子的头数和脚数，求鸡和兔子各有多少。孙子算经中也给出了算法：
“上置三十五头，下置九十四足。半其足，得四十七。以少减多。”
我们来翻译一下：
首先，将脚的总数除以2，即94÷2=47
然后，用这个数字减去头数35，即47-35=12就是兔子的头数。
于是鸡的头数自然是用总头数减去兔子头数，35-12=23只鸡。
这个算法的原因在哪里呢？我们来解释一下。
首先，用脚数除以2的含义就是让每只动物的脚数都变为原来的一半。鸡原本有两只脚，抬起一只金鸡独立就好。兔子有四只脚，需要把两个前腿抬起来。这样一来，每只鸡有1只脚，每只兔子有两只脚，一共有94÷2=47只脚。
第二步，将脚数47减去头数35得到12。这个意思是说：让每只动物的脚再减少1只。由于鸡已经金鸡独立了，再减少一只就坐在地上了。兔子还剩下2只脚，减少1只就是单腿站立了。
由于此时鸡已经没有脚了，而兔子只有一只脚站在地上，所以这12只脚就代表了12只兔子。一共有35只动物，所以鸡就是23只了。
总结起来，《孙子算经》的算法就是利用脚数的变换，将“鸡2只脚、兔子4只脚”这个麻烦事变成“鸡没有脚，兔子1只脚”的简单事。在《奔跑吧兄弟》中的男嘉宾包贝尔就是利用这种方法解决鸡兔同笼问题的，瞬间圈粉无数。
方程解法
当然，用这种方法解决问题，还是有点复杂。每个问题都要重新分析和求解。在现代数学中，方程法是解决这种问题的利器。其实，在《九章算术》中就提出了“方程”的概念。只是，中国古代对于方程尤其是高次方程的解法还停留在数值解阶段，没有给出通用的解析解。
如果我们用方程法解决鸡兔同笼问题，整个解法就变得非常傻瓜化了。
我们设鸡有x只，兔子有y只，那么鸡有2x只脚，兔子有4y只脚，根据题目中的条件可以列出方程组：
这是一个二元一次方程组，它的基本解法是消元法，即把某个等式中的x或y消掉，求出另一个量来。
首先，我们对第二个方程两边同时除以2， 得到：
然后，我们再用这个新的方程与第一个方程两边做差
再把y=12代入第一个式子
我们会发现，孙子算经将脚数除以2再减去头数的做法其实与方程解法中的首字母化成相同，再做差的方法如出一辙。只可惜，我们的数学研究多数以解决实际问题为主，而缺少更加普遍系统化的解法总结，西方数学家在这方面的工作则深刻的多。
也许，在许多国人看来，问题解决就好，不需要再花精力去研究纯数学这种“无用”的知识吧。然而，许多一流的数学家都不是为了解决实际生产中的问题而研究数学，他们只是因为对数学的热爱和兴趣。而他们的成果却在不经意之间、或在几百年后，深刻的影响了世界。
留个作业
讲了这么多，是不是可以留个习题了？《九章算术》卷8种有这样一个问题：
“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？”
意思是说：现在这里有上等黍3捆、中等黍2捆、下等黍1捆，打出的黍共有39斗；有上等黍2捆、中等黍3捆、下等黍1捆，打出的黍共有34斗；有上等黍1捆、中等黍2捆、下等黍3捆，打出的黍共有26斗。问1捆上等黍、1捆中等黍、1捆下等黍各能打出多少斗黍？
显然，这是一个三元方程问题，大家可以尝试着用算术法和方程法，把它解决。
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李永乐
李永乐老师：北京大学物理与经济双学士，清华大学电子工程硕士；北京市中学物理教师/物理竞赛教练。从教十年，培养清华北大学生200余人，国际奥赛、亚洲奥赛、国家奥赛金牌十余名。
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