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世界杯马上就要迎来最后的决战了，由法国队对阵克罗地亚队。法国队在1998年力克巴西拿到了世界杯冠军，而克罗地亚在世界杯上的最好成绩要同样是在1998年的法国世界杯上，进入了四强。现在克罗地亚已经创造了历史。
对于本届世界杯这最后一场比赛，我们有没有什么办法来预测比分呢？各大博彩公司的赔率又是如何定出来的呢？今天我们来研究一下这个问题。
特别指明：这种方法需要队伍之间比赛结果的大量数据支持，所以在英超等联赛中应用广泛。但是世界杯比赛数量少，并且由于分组、淘汰等赛制，许多队伍无法碰面，比分预测的精确度没有英超等联赛高。这里只介绍数学方法，请勿以此为依据购买足球彩票。
一、进攻能力与防守能力
首先，我们要计算法国队和克罗地亚队的进攻能力和防守能力。
在决赛之前，世界杯一共进行了63场比赛，不包括加时赛和点球的情况下，进球163个，场均进球2.59个。每场比赛两个队伍，平均每只队伍进球和丢球个数相同，都是1.29个。那么，如果一个队伍场均进球高于1.29，就说明这只队伍进攻能力强于平均。如果场均球丢少于1.29，就说明这只队伍防守能力高于平均。
到目前，法国和克罗地亚两队各进行过6场比赛，在不包括点球和加时赛的情况下，法国进球10个，场均进球1.67个。我们用法国队的场均进球除以所有队伍的平均场均进球，就得到法国队的进攻系数：1.67÷1.29=1.29。意思是说：如果平均水平的队伍打进1个球，法国对能打进1.29个球。
法国队一共失球4个，场均0.667个。我们用法国队场均丢球除以平均场均丢球1.29，就得到了法国队的防御系数0.667÷1.29=0.517。也就是说平均水平的队伍丢一个球，法国队只丢0.517个球。
显然，法国队的进攻与防守都优于平均水平。
再来看克罗地亚。6场比赛中克罗地亚进球11个，场均1.83个，失球4个，场均0.667个。因此克罗地亚的进攻系数1.83÷1.29=1.42，防御系数0.667÷1.29=0.517。
场均进球
进攻系数
场均丢球
防御系数
法国
1.67
1.29
0.667
0.517
克罗地亚
1.83
1.42
0.667
0.517
也就是说：但从以往比赛的数据看，克罗地亚的进攻能力优于法国，防守能力与法国相同，克罗地亚获得冠军的可能性更大。
二、决赛平均进球
那么，我们如何预测法国对战克罗地亚时两队的平均进球呢？
我们看：每场比赛法国的平均进球是1.67个。如果在这场比赛中法国正常发挥、对手也是平均水平，那么法国就应该进1.67个球。但是克罗地亚的防守能力高于平均水平，平均水平队伍丢一个球，克罗地亚只丢0.517个球。所以法国对平均队伍踢进1.67个球，对战克罗地亚时只能踢进1.67×0.517=0.863个球。
反过来说，克罗地亚每场平均进球1.83个，法国防御系数0.517，所以克罗地亚队本场平均进球就是1.83×0.517=0.946个球。
平均进球
法国
0.863
克罗地亚
0.946
三、泊松分布
显然，法国不可能进0.863个球，克罗地亚也不可能进0.946个球，因为进球个数只能是整数个的0、1、2、3…。如何计算各个比分的概率呢？我们需要使用泊松分布的数学工具。
泊松分布是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）在1838年时发表。它表示一个特定事件在某段时间内发生的概率。比如一段时间内汽车站候车人数的概率分布，自然灾害发生的概率分布等。
如果一件事在特定时间内发生率为λ，那么在这段时间内这件事发生k次的概率为
其中e是自然对数的底2.71828….，k！称为k的阶乘，例如3！=1×2×3=6。
用在本例中，认为比赛进球就类似于在公交车站候车的人数，具有一定的随机性。90分钟，法国队打进克罗地亚球门的平均个数为λ=0.863个球，因此，于是我们可以计算出进球个数和相应的概率：
反过来，克罗地亚打破法国的球门λ=0.946，于是我们可以计算出进球个数和相应概率：
这样一来，我们就可以计算出两队的比分和相应概率了。我们认为法国攻破克罗地亚球门和克罗地亚攻破法国球门相互独立，那么每个比分就是两队相应概率的乘积。例如0：0的概率就是42.19%×38.83%=16.38%。这样我们可以列出表格：
克罗地亚0
克罗地亚1
克罗地亚2
克罗地亚3
法国0
16.38%
15.50%
7.33%
2.31%
法国1
14.14%
13.37%
6.32%
2%
法国2
6.1%
5.77%
2.73%
0.86%
法国3
1.76%
1.66%
0.79%
0.25%
双方进球数4个或以上概率很小，我们暂且忽略不计，那么各个比分的概率就如上面所示。我们会发现，最有可能的比分是0：0，概率有16.4%，其次是0：1克罗地亚获胜，概率15.5%，再次是1：0法国获胜，概率是14.14%。
我们把各种比分的概率相加，就可以得到90分钟内的胜负结果：
法国胜
平局
克罗地亚胜
31%
33%
35%
综上，克罗地亚获胜概率最大，但是双方胜负平的概率非常接近，最后具体是哪种情况并不好确定。
四、赔率如何开出来呢？
我们知道，一个赛果出现的概率越高，赔率就越低，出现的概率越低，赔率就越高。比如这场比赛，胜负平的赔率是：
关于赔率我们要这样理解：假如我们希望无论比赛结果如何，都可以拿回100元，那么我们就需要这样下注：
在法国获胜上下注：100÷1.62=61.73元。
在平局下注100÷3.15=31.75元。
在克罗地亚获胜上下注：100÷4.45=22.47元。
这样，无论比赛结果如何，我们都可以拿回100元。但是下注金额是116元，于是博彩公司会拿走16元的抽水。
由于赔率会随着彩民购买的结果发生变化，所以赔率基本反应了彩民对几种结果概率的判断。大家看，在116元彩金中，有61.73元买了法国获胜，因此市场预期法国获胜的概率为61.73÷116=53.2%。同样我们可以列出表格
法国胜
平局
克罗地亚胜
购买彩金
61.73
31.75
22.47
市场概率
53.2%
27.4%
19.4%
计算概率
31%
33%
35%
显然，市场预期与我们的计算不同。相比于我们的计算，市场高估了法国获胜的概率大约20%，低估了平局的概率大约6%，低估了克罗地亚获胜的概率大约16%。
有的小朋友喜欢买波胆，就是直接买比分，因为这样一旦获胜赔率非常高。比如决赛的波胆：
我们看，买法国
3
：
0
获胜赔率
14
倍，但是按照我们的计算这种情况概率只有
1.76%
，如果买
100
元，有
1.76%
的可能性会拿回
1400
元，期望返还资金：
1400
×
1.76%=24.64
元，平均亏
75
元。在比如买
3
：
3
平，赔率
75
倍，但是概率只有
0.25%
，于是期望返还资金
7500
×
0.25%=18.75
元，平均亏
81
元。所以，买波胆，亏得更多。
再强调一遍，由于世界杯比赛赛制，决定了泊松分布的预测方法并不能非常准确的反应比赛结果。我看好克罗地亚队，他们是和俄罗斯人一样属于斯拉夫民族，他们是战斗民族。
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李永乐
李永乐老师：北京大学物理与经济双学士，清华大学电子工程硕士；北京市中学物理教师/物理竞赛教练。从教十年，培养清华北大学生200余人，国际奥赛、亚洲奥赛、国家奥赛金牌十余名。
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