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大家有没有看过电影《决胜21点》?这是一部美国电影,讲述了几个数学天才少年大闹赌城拉斯维加斯的故事。
在这部电影中描述了一个游戏:三门问题。
1游戏规则
游戏规则是:在玩家面前有三扇门,其中一扇门后面有汽车,另外两扇门后面有羊。玩家并不清楚每扇门后面有什么,他会随机选定一扇门,从而获得门后的奖品,当然,玩家更希望获得汽车。
为了让游戏更有乐趣,在玩家指定一扇门之后,清楚门后面是什么奖品的主持人会打开另外一扇门,主持人会保证这扇门既不是玩家指定的,门后也不是玩家想要的汽车。
然后,主持人会问玩家一个问题:你是否要改变你的选择,去选择另一扇没有打开的门?
这个问题也被称为蒙提霍尔问题,因为它曾经出现在美国的一个电视节目《Let’smake a deal》中,问题的名字来源于节目主持人蒙提霍尔。
虽然这是一个很简单的游戏,很多人会觉得此时换门与不换门,中奖概率都是50%。但是数学家们却不这么认为。经过概率计算,此时玩家如果更换选定的门,拿到汽车的概率会提高一倍。其实这并不难理解。
2中奖概率
首先我们假定玩家不换门,而是自始至终认定一扇门,那么主持人开哪扇门都与玩家无关。在一共三扇门中选出中奖的那一扇门,概率为1/3.
那么如果玩家换门呢?我们不妨假设汽车就在第一扇门后,另外两扇门后是山羊。然后分三种情况讨论:
1. 假如玩家最初选定的是1号门。此时主持人会随机打开23两扇门中的一扇,例如打开2号门。此时玩家更换选择,就会变为选定3号门,从而无法中奖获得汽车。同样,如果主持人打开3号门,玩家更换选择就是指定2号门,依然无法获得汽车。
2. 假如玩家最初选定的是2号门,此时主持人不能打开1号门,因为1号门背后是汽车。主持人会打开3号门给玩家看。玩家更换选择,会指定1号门,从而获得汽车大奖。
3. 如果玩家最初选定的是3号门,由于车在1号门后,主持人必须打开2号门给玩家看。玩家更换选择到1号门,从而获得汽车大奖。
综上所述,如果玩家更换选择,那么在全部三种情况中,1种情况玩家错过汽车,2种情况玩家获得汽车。中将概率为2/3.
我们也可以把全部的情况列表如下,同样会发现:如果坚持不换,3种情况中有1种可以获得汽车。如果换门,3种情况中有两种可以获得汽车。
3原因是什么
为什么更换选择会造成中奖率的提高呢?
这是因为:在最初玩家选择的时候,三扇门中只有1个中奖,因此中奖的概率为1/3,不中奖的概率为2/3,或者说奖品在另外两扇门后的概率为2/3
现在主持人去掉了一个错误的答案,那么另外两扇门后2/3的中奖概率就浓缩到其中一扇门上了。如果我们更换了选择,中奖概率就提高了。
4还能再给力一点吗?
我们不妨更夸张一些:如果一共有100扇门,只有一扇门背后有奖品。我们随机指定了一扇门,那么中奖概率有1/100,另外99/100的中奖可能在另外99扇门后。
然后主持人打开了另外98扇没有奖品的门,相当于去掉了98个错误,这样99/100的中奖概率就集中在余下的那一个既没有被我选定,也没有被主持人打开的门里了。此时我们肯定要更换我们的选择。
三门问题还有很多变形,原理都差不多。更换门之所以能够提高中奖率,是因为好心的主持人帮我们去掉了错误的选项。
如果我们在生活中遇到了类似的问题,例如开发新产品有3种选择,我们确信有且只有一种选择可以获得成功。但是,我们完全无法判断哪种更好,于是随机选择了一种。还没等我们开发,另外一家倒霉蛋公司刚好开发了第二种产品,而且恶评如潮。此时我们果断更换到第三种模式,会大大提高我们的成功率。
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李永乐
李永乐老师:北京大学物理与经济双学士,清华大学电子工程硕士;北京市中学物理教师/物理竞赛教练。从教十年,培养清华北大学生200余人,国际奥赛、亚洲奥赛、国家奥赛金牌十余名。
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