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在前一段热映的电影《动物世界》中有这么一个情节:郑开司被朋友坑欠上了高利贷,不得不上了一条贼船开始了石头剪刀布的赌博游戏。在游戏途中,郑开司向庄家借款,按分钟复利计算。片中角色多次提到:利息将是一个天文数字。
我们在储蓄时,经常听说“单利”和“复利”两个词,简单来说,单利就是在计算利息时只考虑初期借款额,而复利俗称利滚利,就是每隔一段时间,将本金和利息算作新的本金,计算下一期利息。那么,复利真的有这么厉害嘛?复利的多少到底和什么因素有关呢?
为了了解这个问题,我们首先来研究一个简单的模型:如果一个人从别人处借款100元,年利率12%,借款1年,1年后一次性付清本息,那么最后到底有多少利息?
1单利和复利
如果利息是单利,那么情况非常简单:每年的利息是100元×12%=12元,到期时一共还款112元。
如果利息是复利,那么这个12%就是名义年利率。我们除了要知道名义年利率,还要知道复利的分期——即多长时间计算一次复利。
比如:每半年计算一次复利,那么半年的名义利率就是12%÷2=6%。于是:
六个月末,将100元记作本金,计算半年利息,本息一共
一年末,将106元作为新的本金,计算半年利息,期末本息共
相比于单利,复利多了0.36元,看起来并没有太夸张。这是因为,我们计算的每期复利时间比较长,复利期数较少。如果我们缩短计算复利间隔,情况又是如何呢?
如果每个月计算一次复利,那么每个月的名义利率就是12%÷12=1%,同时我们要计算12次本息,因此每个月的本息和是:
十二个月后,本息一共是
相比于半年复利的112.36元,月复利的本息和又多了0.32元。
我们不妨来总结一个公式:假设复利的名义年利率是r,借款1年,分期数为n,那么每一期的名义利率就是r/n。如果初期借款是P,那么到期还款的本息F一共:
期数n越多,每一期的期限就越短,每一期的名义利率r/n就会越低,但是由于总期数多了,总体的利息会变得越高。如果按天复利、按分钟复利甚至按秒钟复利,计算结果就会更大。
那么问题来了:如果我们把期数n取做无穷大,每一期的计算复利时间无限短,就称之为连续复利,连续复利到期的本息F到底是多少呢?利息会变成无穷大吗?
为了计算这个问题,我们需要了解一个非常重要的常数:e
2欧拉数e
e是一个无理数,称为自然对数的底,人们最早研究e的目的是为了求解某些乘方和开方问题。后来,数学家欧拉对其进行了深刻的研究,并用字母e来表示它,恰巧欧拉的名字首字母也是E(Euler),所以人们也称之为欧拉常数。
欧拉计算了这样一个问题:
当n=1时,x=2
当n=2时,x=2.25
当n=3时,x=2.37037…
我们按照这个方法计算下去,可以得到一张图
从这张图我们会发现,当n增大时,x会趋近于一个固定值。欧拉从数学上严格证明了当n趋向于无穷大时,x会有一个极限值,并将这个值称为e。
现在我们计算e一般是通过泰勒展开的方式,e可以展开为
其中n!称为n的阶乘,n!=1×2×3×... ×(n-1) ×n,并且0!=1.
e是一个无理数,它的前几位是2.718281828459045…,其实很好记,大家看,首先是2.71828,然后1828重复一次,再往后是等腰直角三角形的三个内角45、90、45。这个常数在工程计算上的作用一点不比圆周率π小,大家都知道π≈3.1415926,那也应该知道e≈2.71828。
3连续复利
现在我们可以利用欧拉数e计算连续复利了。回到最初的问题:初期借款为P,名义年利率r,借款1年,分期n期,那么最终本息一共
如果n趋向于无穷大,我们可以将这个式子变形:
我们会发现:当n趋向于无穷大时,n/r也趋向于无穷大,因此
所以,我们得到最终的本息一共
这就是年利率为r的连续复利一年后本息的计算公式。
从公式我们可以看出:即便把复利分期时间取得无限短,复利依然是有上限的。我们代入P=100元,r=12%,可以得到连续复利时一年后本息一共
看起来也不比单利多多少嘛。
4复利为什么厉害
复利会受到两个因素的限制,其一是名义利率,其二是期限。名义利率越高,期限越长,复利的威力也会越大。我们刚刚计算的是借款1年,如果名义年利率为r,借款年限为k年,每过一年,还款额都要乘以e的r次幂。按照连续复利,最终的还款额为
假如借款100元,名义年利率12%,借款30年连续复利,30年后本息一共是3660元,是本金的36倍多。但是如果是单利,则只需要还款460元,两者相差太多了。
在高利率、长时间借款的情况下,复利的确比单利威力大得多。股神巴菲特的公司每年财富的增长率为24%,看起来并不高,但是他连续保持了40年这样的增长率,这也使得巴菲特的资产从100美元变成了160亿美元。
在电影《动物世界》中,船上借款按分钟复利,这已经与连续复利相差无几。电影中并没有说明具体利率是多少,但是由于在船上的时间很短,下船时利息并不会有多少。只要他们下船能尽快把钱还上,就不会积累成天文数字了。
小胖说这句话,原因不是不懂数学,就是故意说假话,骗李军不去救郑开思。听说这部剧还有第二部,不知道第二部里会不会告诉我们这个利率具体是多少呢?
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李永乐
李永乐老师:北京大学物理与经济双学士,清华大学电子工程硕士;北京市中学物理教师/物理竞赛教练。从教十年,培养清华北大学生200余人,国际奥赛、亚洲奥赛、国家奥赛金牌十余名。
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