9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、89岁的著名英国数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想。但是当他面对全世界的媒体做了自己的报告后，40秒内竟无人提问，随后数学界对阿蒂亚爵士的证明反馈支支吾吾，更有人直言阿蒂亚爵士可能真的老了。
不料，一波未平一波又起，10月13日，北大数学系退休教授李忠在中科院做了有关黎曼猜想证明的报告，同行称这一证明比阿蒂亚爵士要靠谱的多。
我们衷心的希望李忠教授的证明是正确的，那么这样他不仅将因此载入史册，而且能拿到100万美元的奖金。
黎曼猜想到底是什么？为什么有关黎曼猜想被证明的消息会引发这么大的影响？它为什么值这么多钱？今天就带小伙伴们领略一下黎曼猜想的无穷魅力。
1黎曼猜想的提出
1859年，德国数学家黎曼当选为柏林科学院通讯院士，为了回应这一荣誉，他向科学院提交了一份八页纸的论文，题目是《论小于某值的素数个数》。
我们之前谈到过，这个问题欧拉和高斯都研究过。欧拉的结论是小于数字x的素数个数大约可以表示为
而高斯提出的素数猜想（后来被证明为素数定理）的结论是
然而，尽管如此，人们对质数分布的认识还不是完全清楚，黎曼希望从欧拉提出的欧拉连乘定理出发，将这个工作继续下去。
欧拉曾经研究过一个函数
对于这个函数，在欧拉的时代，人们只能理解s是一个实数并且s>1的情况，因为只有在这种情况下它才有含义。到了黎曼的时代，他通过解析延拓的方法，将这个函数的定义域延拓到复平面内，就得到了黎曼函数：
这个函数就叫作黎曼ζ函数，它的定义域是s为不是1的全体复数。
还记得什么是复数吗？就好像一个实数对应了数轴上的一个点，一个复数就对应了复平面上的一个点。
比如图中的这个点C，对应的复数就是c=2+3i，其中2叫做实部，3叫做虚部，我们可以写作Re(c)=2,Im(c)=3.
对于一个实数函数，由于自变量和函数值都是实数，我们就可以把自变量放在x轴上，把函数值放在y轴上，这样通过对应关系画出的曲线就是函数图像。
而黎曼ζ函数是一个关于复数的函数，自变量s和函数值ζ(s)都是复数，因此只有在4维平面上才能画出它的图像。尽管我们不太方便画出黎曼函数的图像，但是我们依然可以理解：黎曼ζ会把复平面中的一个点s通过函数的运算对应到复平面上的另一个点ζ(s)上，比如它的对应关系可能是这样的：A点对应到B点，C点对应到D点，E点对应到F点…
黎曼提出这个函数之后，他思考了一个问题：如果这个函数的函数值等于零，那么它的自变量是多少呢？即方程ζ(s)=0的根是多少？
很快，黎曼得出了一个结论：当s=-2、-4、-6、-8…，即负偶数时，这个函数的值是零，由于这些零点显而易见，黎曼就称这些零点为“平凡零点”。除此之外，黎曼发现这个函数还有其他的零点，就称为“非平凡零点”。
非平凡零点到底在哪里？黎曼作为当时世界上最伟大的数学家，居然发现这个问题如此的复杂，以至于自己都无法准确的得出结论，因此他在没有给出证明的情况下提出一个命题，这就是著名的黎曼猜想：
“所有非平凡零点都位于实部为1/2的直线上。”
也就是说，黎曼虽然不清楚零点到底在哪里，但是他认为零点的可能位置只在一条直线上，这条直线通过实轴上1/2的点，并且与实轴垂直。这条线就叫做临界线。
（零点可能的位置）
2重要的数学猜想
1900年，国际数学家大会在巴黎召开，以庆祝千禧年的到来。著名数学家希尔伯特发表了著名的演讲《未来的数学问题》。
在这个演讲中，希尔伯特列出了23个著名的数学猜想，这些猜想中有一部分至今还没有人解决，其中就包括黎曼猜想。其实，黎曼猜想是位于第八个猜想的位置，是“素数问题”的一部分，包括“黎曼猜想”，“哥德巴赫猜想”和“孪生素数猜想。”相比来讲，黎曼猜想远远没有后面两个猜想有名，这是因为黎曼猜想的表述过于复杂，而哥德巴赫猜想就很简单：“任何一个大于等于4的偶数都可以分解为两个素数的和”，孪生素数猜想更是如此：“存在无穷多对相差为2的素数”。
不过，黎曼猜想却是当今世界上最终要的数学猜想，建立在黎曼猜想基础上的数学结论有1000多个。如果黎曼猜想被证实，数学界就可以举杯庆祝，因为他们一生的工作没有白费。如果黎曼猜想被证伪，那么一定会有很多人不开心。就连希尔伯特都说：如果500年后我还能醒来，那么我第一个要问的问题就是：黎曼猜想被证实了吗？
一百年后，又到千禧年，美国克雷数学研究所科学顾问委员会筛选了七个难题，并且为每个难题悬赏100万美元。这七个问题分别是：NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼猜想、杨-米尔斯存在性和质量缺口、纳卫尔-斯托可方程、BSD猜想。在这七个问题中，只有庞加莱猜想被数学家佩雷尔曼解决，而包括黎曼猜想在内的其他猜想依然如巍峨的山峰耸立在科学家们面前，6个一百万美元还在等着大家。
有人说：证明黎曼猜想可能是世界上最难的赚到100万美元的方法了。
3艰难的推进
虽然黎曼猜想还没有被证实，但是人们在研究的过程中已经取得了一些进展。
1896年，法国数学家阿达马和比利时数学家普森证明了黎曼ζ函数的零点实部都在0到1之间，这使人们更加相信黎曼认为所有零点的实部都是1/2可能是正确的。两人还顺便证明了高斯提出的素数定理。
（阿达马）
1903年，数学家格拉姆计算了15个黎曼函数的非平凡零点。由于黎曼函数的复杂性，每计算一个零点都非常困难。人们按照格拉姆的方法继续计算，得到了138个非平凡零点，这些零点全部满足黎曼的猜想。
可是之后，计算零点就遇到了困难。这时有一个非常重要的人物：西格尔出现了。
黎曼39岁的时候就去世了，他发表的论文都非常精炼，而演算的过程多数都没有在论文中体现，而是写在手稿中。黎曼粗心的管家在黎曼去世后，烧掉了大部分的手稿，只剩下少部分留给了黎曼的妻子，后来又被妻子捐赠给黎曼的朋友。
西格尔决心从黎曼的手稿中挖掘出黎曼猜想的证明方法。他在黎曼天书般的手稿中默默的探索着，终于，他在1932年发现了黎曼计算零点的方法，而这种方法比格拉姆的方法要快很多。为了表彰西格尔的贡献，人们把这个公式称为黎曼-西格尔公式。要是没有西格尔，黎曼这个领先世界几十年的算法可能永无重见天日的那一天了。
人们按照黎曼-西格尔公式，继续着零点的计算。恰好，这个时代有一项伟大的发明：计算机诞生了。
1936年，人们用海军使用的打孔计算机计算黎曼ζ函数的零点，人们计算了1041个非平凡零点。1953年，计算机之父、英国计算机科学家图灵用自己设计的计算机计算了1104个零点，原本图灵有望获得更大的突破，但是他因为同性恋被强行进行激素治疗，在随后的1954年，图灵在痛苦中自杀了。
计算机的发展越来越迅速，到1982年，人们已经用计算机计算了3亿个非平凡零点，而且这些零点全部满足黎曼的猜想：它们的实部都是1/2。
2000年，IBM实验室的几个科学家突发奇想：能不能让全世界的计算机在空余时间一起来计算李曼猜想呢？于是他们制作了ZetaGrid项目：世界上任何人都可以加入这个项目，通过互联网下载一段代码，这段代码会在计算机空闲的时间计算黎曼函数的非平凡零点。虽然普通计算机计算能力比较差，但是由于数量众多，这个项目取得了丰硕的成果：从2001年开始到2004年，计算了一万亿个非平凡零点，这些零点依然都在黎曼预言的那条线上。2004年时，有数学家证明：前十万亿个零点都在临界线上，这个项目的价值大打折扣，最后被默默关停了。
其实，历史上有许多人宣布证明了黎曼猜想。
第一个宣布证明的人是荷兰的数学家斯蒂尔切特。
1885年，斯蒂尔切特宣布自己证明了黎曼猜想。但是他一直宣称自己的证明还需要简化而拒绝公布细节。法国科学院为了鼓励斯蒂尔切特公布自己的证明过程，开展了一个为期五年的比赛，悬赏能够证明或者部分证明黎曼猜想的人。直到比赛结束，斯蒂尔切特也没有如人们预期那样拿走大奖。人们多数认为斯蒂尔切特不是有意吹嘘，就是犯了自己发现却没办法弥补的错误。倒是阿达马和普森，将黎曼猜想向前推进了一步，获得了奖金。
另一个有趣的人是数学家哈代。
1930年的时候，数学家哈代在假期去丹麦探访他的朋友哈那德·玻尔，也就是量子力学教父尼尔斯波尔的弟弟。在假期结束时匆忙往英国赶，却发现海边只剩下一艘小船。在夜晚乘坐一艘小船在大西洋上还是很危险的，有些人忙着向上帝祷告，但是哈代却选择写了一张明信片给他的朋友，上面写着：我已经证明了黎曼猜想。然后就安然坐船度过了海峡。
事后他对别人说：如果我的船倾覆了，别人就会认为我证明了黎曼猜想。上帝是不会把这份荣耀送给一个不信上帝的人的。也许他的真实想法是：如果一条命能换来黎曼猜想的荣耀，那也值了。事实上哈代对黎曼猜想有很大的贡献：他证明了在临界线上有无数多个非平凡零点。
2004年，普渡大学的数学家德布朗基在互联网上公布了一个124页的论文，宣布自己证明了黎曼猜想。然而数学界的反应很平淡，因为德布朗基经常使用一些别人看不懂的符号，而且在写论文时经常粗心大意，犯各种错误。这篇论文也最终被人们证明是有漏洞的。
2018年，阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，在数学界引起轩然大波。这是因为阿蒂亚爵士与德布朗基不同，他是世界上最一流的数学家，尤其善于将各种数学理论引入物理学中，比如他把拓扑学引入到广义相对论和量子力学中，促进了这些学科的发展。人们期待着阿蒂亚爵士能够证明黎曼猜想，然而最终，结果还是令人失望。甚至有人说：如果这也算证明，那我早就证明了黎曼猜想。
4不朽的丰碑
黎曼猜想是一个富有传奇色彩的猜想。
曾有人说过：如果证明了黎曼猜想就会不朽。这里的不朽不只是指名垂青史，也有长生不老的意思。阿达马和普森只是把黎曼猜想向前推进了一步，一个人活了98岁，一个人活了96岁。然而，如果有人敢否认黎曼猜想，他立刻就会死去。所以为什么没有人发论文证明黎曼猜想是错的，就是因为他刚开始否认的时候就死掉了，没有时间写论文。
黎曼猜想已经经过了150多年，至今还没有被证明，但是距离费马大定理350年才被证明，黎曼猜想也许还有很长的路要走。我们希望这个伟大的猜想，能够在我们有生之年被证明出来，那将是写入教科书的一刻。
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李永乐
李永乐老师：北京大学物理与经济双学士，清华大学电子工程硕士；北京市中学物理教师/物理竞赛教练。从教十年，培养清华北大学生200余人，国际奥赛、亚洲奥赛、国家奥赛金牌十余名。
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