在每个十一假期,总有刚上大一的小朋友向我哭诉:和自己的男朋友或女朋友分手了。他们在高中相恋三年,上了大学却连第一个十一都没有抗住。其实道理很简单:上了大学,每个人都会接触到比高中多的多的人。当身边接触的人都要比高中时候的朋友优秀时,分手的确是大概率事件。
可是,优秀的人太多也不见得是好事,我们总需要选择一个人来做终身伴侣,在这方面,数学其实可以指导我们。
1苏格拉底的麦穗
希腊哲学家苏格拉底的弟子曾求教老师:怎样才能找到理想的伴侣。苏格拉底没有直接回答,却让他们走麦田埂,只许前进,且仅给一次机会选摘一支最大的麦穗。
第一个弟子没走几步就看见一支又大又漂亮的麦穗,高兴地摘下了。但是他继续前进时,发现前面有许多更大的麦穗,但他也只得遗憾地走完了全程。
第二个弟子吸取了教训。每当他要摘时,总是提醒自己,后面还有更好的。当他快到终点时才发现,机会全错过了,空着双手回到了苏格拉底面前。
苏格拉底说:这就是爱情。传说苏格拉底的老婆是个悍妇,所以他对人说:如果你有一个好老婆,你会幸福一辈子。如果你有一个坏老婆,你会成为一个哲学家。
在寻找伴侣的过程中,我们每个人都面临这样的情况:过早选定一个人结婚,就好像为了一棵树放弃了整个森林,但是如果一直不选择,随着时间的流逝,就变成了剩男剩女。当我们经历了许多次爱情,终于明白谁才是自己的最佳伴侣时,那个人很可能已经结婚了。我们究竟应该采用一个什么策略,才能找到合适的伴侣呢?
2秘书问题
我们准备用数学来解决这个问题。在近代,这个问题称为秘书问题,或者最优停止问题,它是在1950年左右由密歇根大学的梅里尔弗拉德提出的,在1960年美国最著名的科普数学家马丁伽德纳在《美国科学人》杂志自己的专栏趣味数学中刊登了这个问题。
假设一堆人申请一个秘书岗位,而你是面试官,你的目标是从这堆申请人中遴选出最佳人选。你可以轻松地判断哪一名申请人更加优秀。按照随机顺序,每次面试一名申请人。你随时可以决定将这份工作交给其中一人,而对方只能接受,于是面试工作就此结束,后面的人就没有机会了。但是,一旦你否决其中一名申请人,就不能改变主意再回头选择他。究竟采取一个什么策略才能使得我们有最大的可能找到最佳人选呢?
比如有100个秘书应聘,一般人都不会接受第一个应聘的秘书,无论他有多优秀。因为从概率上讲,他在100个人中最优秀的概率只有1%。我们会考察第一个人,但是依然会拒绝他,并把他的水平作为参考。
如果我们考察了30个人,找到最优秀的人概率为30%,但是走到这一步的前提是这30%的人都被你拒绝了。我们考察的人越多,就越了解应聘者,但是可供我们选择的人也越来越少了。
如果我们考察完全部100个人,我们就有100%的概率知道哪一个人是最优秀的,但是这样做的代价就是放弃了所有人,我们一无所得。
3寻找最佳伴侣
无论是苏格拉底的麦穗,还是秘书问题,它们的本质都是相同的。我们要在有限个对象中找到最优的一个,但是一旦放弃就不能回头。
马丁加德纳提出:我们应该而且也只能选择这样的策略:
1.在考察最初的几个人时,无论他们多优秀,都拒绝他们,他们就构成了样本区。我们拒绝了样本区里的人,但是并非一无所获:我们已经了解了备选者的大体水平。
2.从样本区后面的第一个人开始,假如这个人比样本里所有的人都优秀,我们就接受他。如果他没有样本里最优秀的人优秀,我们就拒绝他,继续考察下一个人。
3.假如所有的人都考察完了,那么我们被迫选择最后一个。
紧接着的问题就是:考察的样本应该有多少,才有最大的可能找到最优秀的那个人呢?
我们回到恋爱的问题上。假如有一个女神,她面临着许多追求者,她必须与追求者恋爱才能真正确定这个人是否真的优秀,毕竟卖家秀和买家秀是不一样的。女神是非常有原则的,不会同时和多个人恋爱,而且一旦拒绝了一个人,也绝不回头。
从最简单的情况开始。假如女神一生中只会谈1次恋爱,那么情况就非常简单了,和他结婚,否则女神将一无所获。此时女神找到真命天子的概率是100%
如果女神一生可以谈两次恋爱,那么她面临两个选择:与第一个人结婚。或者与第一个人分手,与第二个人结婚。因为这两个人谁更优秀是随机的,因此无论采用哪种策略,女神获得真命天子的概率都是50%,这种情况下只能拼运气了。
如果女神一生会恋爱三次,那么情况就变得有趣了。如果这三个恋爱者按顺序分别是ABC,三个人的优秀指数用123表示,其中3是最优秀的人。但是女神并不清楚三个人中谁是指数为3的人,她该怎么办呢?
我们首先把三个人的优秀指数可能的情况列出来,一共有6种可能。
按照前面所说的策略,女神应该划定几个人作为样本区,考察他们,并从样本后面的备选区选择终身伴侣。
1. 如果女神的样本个数是0,就表示女神会和第一个男朋友A结婚,在全部六种可能中,第一个人最优秀(指数为3)的可能有2种,因此女神找到真命天子的概率是2/6=33%
2. 如果女神的样本个数是1,就表示女神会把男朋友A作为样本,考察并拒绝他。在BC中选择自己的终身伴侣,前提是要比A优秀。在这种情况下,女神有三次会找到最优秀的(指数为3),找到最优秀的人概率为3/6=50%。注意到最后两种情况,由于最优秀的人落在了样本区间,女神被迫选择最后一个人。
3. 如果女神的样本个数为2,就是前两个人AB作为样本,于是女神只能选择第三个人C。此时女神有两种可能选择到最优秀的(指数为3的)人,找到最优解的概率为2/6=33%.
综上所述,当女神预计自己会谈三场恋爱时,选择第一个人作为样本是最好的方法,她会有50%的概率找到自己的真命天子——那个最优秀的人。
如果女神会谈5场、6场或者7场恋爱,情况又是如何呢?我们可以利用类似的办法求出样本个数的最优解,以及在这样的策略下找到真命天子的概率。
我们会发现,如果女神预计恋爱十次,就应该把前面3个人当作样本,这样她有39.87%的概率找到最优秀的伴侣。如果女神恋爱100次,就应该把前37个人当作样本,找到最佳伴侣的概率为37.1%。如果女神恋爱1000次,就应该把前面368个人当作样本,她有36.82%的概率找到最好的人。在1000个人中找到最好的,居然还有三分之一以上的概率,这个方法简直逆天了!
更为复杂的计算表明:如果女神全部恋爱的次数设为单位1,女神取其中前x的部分作为样本,那么女神获得最优解的概率为P=-xlnx
如果我们把这个函数画出来,那么它大概长这个样子:
横坐标是样本占总体的百分比,纵坐标为在该种情况下找到真命天子的概率。我们会发现如果样本少于5%,因为我们考察的人不够多,因此贸然选择一个人结婚,找到真命天子的概率不高;如果我们的样本超过了90%,那么因为可供我们选择的余地已经不大了,获得真命天子的概率也会不到十分之一。最优解是在样本大约占总体恋爱次数的36.79%,数学上是1/e,其中e是欧拉数,或者叫自然对数的底,然后执行选择策略,这样我们获得真名天子的概率最大,大约是也是36.79%
4这个规律真的有用吗?
我们才能在生活中应用这个策略呢?
从女神的角度,首先应该预估自己能够谈的恋爱次数。例如从18岁上大学开始谈第一次恋爱,半年一次,再有半年的空窗期,在28岁之前结婚,那么大约可以谈10次恋爱,从死理性派的角度看,我们应该把前三次作为样本,从第四次开始,只要有人比前三个人优秀,就嫁给他。
从男生角度,我们应该如何选择自己出现在女神身边的时机呢?最重要的就是:绝对不要出现在样本区间,而是应该出现在样本区后第一个人的位置,这样只要比样本区间的人优秀就好了,获得成功的概率是最大的。如果很不幸被女神甩掉了,也不要难过,可能只是因为你出现在她的样本区间了。只要你坚信自己是最优秀的,那么她将孤独终老。。
显然,这个模型与实际的恋爱并不完全相同,因为爱情这东西,没道理的。如果最佳伴侣出现在样本区间,就会被我们放弃掉,然后再也找不到比他优秀的人,孤独终老或者勉强接受最后一个。再有,我们假设等待是没有成本的。但是实际上,随着年龄的增长,我们选择伴侣的区间可能会发生变化:优秀的人会接触到更多优秀的人,从而让自己有更大的可能找到更好的伴侣,而普通人的圈子固化了,只能眼看着自己的选择余地越来越小。毕竟爱情不是考试,没有标准答案,遇到一个人快乐的走一生就够了。
尽管如此,这个模型依然有他的意义。例如,我们在买房子的时候,经常会考虑出手的时机。一旦我们买了一栋房子,就再也没钱买其他房子,而我们放弃这个房子,又可能会被其他人买走。此时我们可以遵循这样的策略。再比如我们在二手车市场卖车,我们不知道哪个买家出价最高,也可以采用这样的策略。
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李永乐
李永乐老师:北京大学物理与经济双学士,清华大学电子工程硕士;北京市中学物理教师/物理竞赛教练。从教十年,培养清华北大学生200余人,国际奥赛、亚洲奥赛、国家奥赛金牌十余名。
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