上一次我们讲了第一次数学危机，那是关于无理数的危机。这一回我们要来复习一下第二次数学危机，它是关于“无穷小”到底是什么的争论。这个争论从古希腊时代开始，在牛顿时代达到顶峰，经过了2000多年才被最终解决。
关于这个危机，有一个有趣的悖论：希腊联军第一勇士阿基里斯永远也追不上一只乌龟，这是为什么呢？点开下面的视频看看吧！
以下为我的科普书《十分钟智商运动》中相关内容的文章。
第二次数学危机是在关于一个奇怪的数——“无穷小”的争论。这个争论的源头依然要追溯到古希腊时代。
1芝诺悖论
公元前495年，古希腊学霸毕达哥拉斯去世了。这时，一个五岁的孩子正在牙牙学语，他叫做芝诺。
芝诺也是古希腊数学家，他提出了一系列悖论以反驳时间和空间的连续性和变化问题，比如有一个悖论称为“阿基里斯永远追不上一只乌龟”
古希腊传说中有一位跑的最快的英雄阿基里斯，希腊联军第一勇士，海洋女神忒提斯和英雄珀琉斯之子。阿基里斯出生后，忒提斯捏着他的脚踝将他浸泡在冥河斯堤克斯中，使他全身刀枪不入，唯有脚踝被忒提斯手握着，没有浸到冥河水，这是他唯一的弱点。在特洛伊战争中他被敌人射中脚踝而死。
有一天，阿基里斯遇到了一只乌龟。乌龟对阿基里斯说：“别看你跑得快，你永远也追不上我。”
阿基里斯问：“为什么呢？”
乌龟向他解释道：
开始比赛时，阿基里斯在后方A处，乌龟在前方B处，二者同时起跑。
阿基里斯要追上乌龟，首先要追上乌龟先跑的一段AB，但是在这段时间乌龟也在向前跑，当阿基里斯到达B处时，乌龟已经跑到了C处，还没有追上。虽然此时BC的距离小于AB的距离。
阿基里斯会继续跑BC这一段，但是这段时间乌龟也没闲着，跑到了D处，虽然CD小于BC，但是阿基里斯还是没有追上乌龟。
以此类推，阿基里斯和乌龟之间的距离只能不断缩小，但是永远都不会变为零。所以，阿基里斯就永远追不上乌龟啦。
以上就是芝诺悖论。所谓悖论，一般是指同一个命题中有两个对立相反的结论。而芝诺对于阿基里斯追乌龟问题的解释不是推出对立的结论，而是完全违背常理，其实称为诡辩更加合适。
2
这个诡辩错在哪？

要推翻这个诡辩其实也不难。
芝诺将一个追及过程分割成无限多份，并且认为：既然段数无穷多，累加起来的时间自然也是无穷长，所以追不上。但是实际上，由于阿基里斯速度大，乌龟速度小，两人之间的距离会越来越短。如果阿基里斯追了无穷多段，下次再追及的距离就是无穷小。
为了更加清楚地解释这个问题，我们把追及过程画在一个数轴上，并且假设AB之间距离为L。方便起见，设阿基里斯的速度等于乌龟速度的两倍。
这样一来，相同时间内阿基里斯运动的距离就是乌龟的两倍。所以阿基里斯走过AB=L时，乌龟走过的距离为BC=L/2 ；阿基里斯走过BC时，乌龟走过的距离CD=L/4 ……显然，第N次追及的距离是L/2^(N-1)，如果N无限大，这个长度就无限接近于零0，称为无穷小。
如果阿基里斯要追上乌龟，需要追及无限多段，将这无限多段距离求和：
大家经过简单计算就会发现，项数越多，这个式子的结果越接近2L。如果项数无穷多，阿基里斯跑过的距离就与2L相差无穷小。直到阿基里斯追上了乌龟，他跑过的总路程也不会超过2L。同样，如果阿基里斯跑过第一段距离AB的时间是t，那么无穷多段之后阿基里斯追上乌龟，需要的总时间不过是2t。
庄子曰：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。” 说的就是一根一尺长的木棍，每天砍掉它的一半，无论经过多久都砍不光。的确，我们可以把木棍分割成越来越短的无限多份，但是加起来依然是一根木棍那么长，这与芝诺悖论多么相似！
3无穷小：微积分的基础
芝诺最早提出了无穷小的概念。只可惜，希腊文明衰落之后，欧洲的科学一直没有太大进步。直到文艺复兴时代来临，在牛顿等一大批科学家的带领下，科学才重新蓬勃发展起来。
我们都知道牛顿是伟大的物理学家，但他也是伟大的数学家。牛顿提出的牛顿二项式定理、牛顿二分法以及微积分，都是近代数学的辉煌成就。
微积分在物理上的应用非常广泛，人们利用它解决了很多复杂的问题。微积分中有一个概念：导数。
在一个函数图像上随便取两个点P和M，计算二者纵坐标差Δy=y2-y1与横坐标差Δx=x2-x1 ，那么Δy/Δx就称为两个点连线的斜率。
如果M点越来越接近P点，那么PM的连线就会变成过P点的切线，而这条切线的斜率就称为P点的导数。写作
这里lim就叫极限， Δx就称为无穷小。
4第二次数学危机
本来一切看起来都很自然，但是英国大主教贝克莱首先对微积分发难：“无穷小到底是一个什么样的数？它是0吗？如果是0，为什么在求导时可以做分母？如果不是0，又怎么能说刚才计算的是一个点的切线斜率呢？”
从牛顿发明微积分到十九世纪二十年代，关于“无穷小”到底是怎样一个数，一直没有一个统一的认识。后来，经过阿贝尔、柯西、康托尔等人的努力，直到十九世纪七十年代，人们才确立起极限基本定理，使得无穷小有了一个合理的解释。从牛顿发明微积分开始计算，已经过去了300年。而从芝诺最早提出的无穷小概念，已经过去了2500年。
数学就是这样，为了一个看似简单的概念，可以争论几百年，甚至几千年。
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李永乐
李永乐老师：北京大学物理与经济双学士，清华大学电子工程硕士；北京市中学物理教师/物理竞赛教练。从教十年，培养清华北大学生200余人，国际奥赛、亚洲奥赛、国家奥赛金牌十余名。
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