有人说他一生有两大理想：考上清华大学，中500万大奖。对大多数人来说，这两件事都不容易。但是大家有没有想过这两件事哪件更难呢？
去年高考前，我做了一期视频《考清华和中500万哪个难？》，从概率角度讨论了这个问题。如今，又到高考季，我把这个视频再分享一次，祝每个考生信心满满的走入考场。
1中500万的概率
买彩票中500万的概率有多大？
比如我们买一注双色球，需要在在33个红球中选择6个，在16个蓝色球中选一个，如果这七个球与开奖的结果完全相同，就能赢得500万现金大奖了！
利用组合数的知识可以知道：在33个红球中选出6个，方法数有
再在16个蓝球中选1个，方法数有16种。所以一共的选法数有
大约1772万种方法。因此买一注彩票，中500万大奖的概率大约是1772万分之一！
2考清华的概率
那么，考清华呢？
以2017年为例，全国考生842万，而清华大学只招3000人。如果全国所有考生都报名清华大学，清华大学采取抽签方式决定录取，那么我们用录取人数除以全国考生数，就得到录取概率了
大约是万分之3.6。每一万名考生中只有3到4名同学能够被录取，真是万里挑一！
不过我们仔细比较就会发现：中五百万的概率是1772万分之一，而考上清华是万分之三点六，考上清华的概率是中500万大奖概率的5000倍！考上清华比中500万容易5000倍！
大佬的坐姿
也许有人说：你算错了，因为高考是分省录取的，有的省考生多，名额少，所以会更难！
我们不妨来看看高考大省——河南省。 2017年河南省考生83万，清华大学录取100人，录取率
也就是万分之一点二。每1万名考生录取1.2人。这虽然比全国平均录取率低了不少，但是仍然是中500万大奖概率的2000倍！
所以说：考上清华的学生长什么样见过，中五百万的人长啥样从来没见过。
3正态分布
以上的模型非常粗糙，因为清华大学并不是抽签决定录取的，而是要看考试成绩。于是有同学会说，我从小学习就不好，就算把3000个名额都投到我们省我也考不上啊！
统计学告诉你，其实不！一！定！
在统计学上有一个著名的实验：高尔顿钉板实验。
英国生物统计学家高尔顿提出了高尔顿钉板实验。在一个漏斗中装有一些小球，漏斗下方有一些水平钉子，小球碰到钉子就会随机反弹。经过一次次碰撞，小球最终掉落到下方的竖直槽中。
高尔顿钉板
如果只下落一个小球，那么小球掉落在哪个槽中是随机的。但是如果一次次让小球下落，或者一次性释放许多小球，就会发现中央的小球多，两侧的小球少。球的数量满足一种规律。
不仅仅是高尔顿钉板，人们发现只要一个结果是由许多随即量影响的，那么这个结果就会满足这种“中间多，两头少”的规律。例如一个年龄段某地区男性的身高就近似满足正态分布。
某地区成年男性身高分布
被誉为数学王子的德国数学家高斯对正态分布理论有重大贡献，因此人们也把正态分布称为高斯分布。以前的德国十马克货币上就印有高斯和他的正态分布曲线。
10马克钞票
我们来介绍一下正态分布曲线。
正态分布的横坐标表示随机量取值，纵坐标表示概率密度。例如刚才讨论的人的身高分布，横坐标就表示身高，在130cm-200cm之间。纵坐标是在一个身高范围内的人数占总人数的比例，比如在130-135cm范围内，有5%的人，那么该处的纵坐标就是0.05。
在这种规定下，曲线下方的一小块面积就表示一个范围内身高人数占总人数的比例。显而易见，整条曲线下方的面积为1。
正态分布曲线
在这条曲线上，最高的部位刚好在曲线中间，称为期望μ。而曲线的宽窄用标准差σ表示。σ越大，则线条越矮胖；σ越小，则线条越瘦高。
不同标准差下的正态分布曲线
高斯等数学家经过计算发现：满足正态分布的随机量，最后取值在μ-σ到μ+σ之间的概率大约是68.2%，在μ-2σ到μ+2σ之间的概率大约是95%等。
用标准差划分的随机变量概率区间
4用正态分布预测高考成绩
一个人的考试成绩也受到多种因素的影响。
比如自己学习成绩高低、考试那天的身体状态、题目的难易程度，甚至是考场上的风吹草动。所以考试成绩并不是确定的，而会有波动和起伏。如果我们认为这些因素都是随机不可预测的，那么最终的考生成绩也会满足正态分布。
学习好的同学成绩的数学期望μ比较高，成绩稳定的同学成绩的标准差σ比较小。虽然我们不知道自己最终成绩如何，但是可以通过正态分布假设可以计算出自己成绩在各个区间的概率，从而推测自己是不是能考上清华。
例如：小明同学在高三参加了四次模拟考试，成绩分别是580，600，680和620。而清华的分数线为690分，这名同学有多大概率考上清华呢？
我们假设这位同学的成绩满足正态分布，根据数据计算出他的平均分和标准差。
平均分公式：
标准差公式：
所以，清华的分数线比这位同学的平均分高了
画出正态分布曲线，在μ+1.87σ右侧部分的面积就是他考上清华的概率。这个概率可以通过查表获得。
这个表表示x的取值小于某值时出现的概率。例如表格中0.9693这个数据横坐标1.8，纵坐标0.07，就表示x的取值x<μ+1.87σ的概率为0.9693，因此小明考上清华的概率（x>μ+1.87σ）为1-0.9693=0.0307，大约为3%。
看到了吗？即便一个同学每次考试平均分只有620，他依然有3%的概率在高考中考到690分清华的分数线！
高考在即，李老师祝大家考试顺利，都能够考出μ+2σ以上的成绩，考上自己理想的大学。2019，高考加油！
恰饭时间
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李永乐老师：
北京大学物理与经济双学士，清华大学电子工程硕士；北京市中学物理教师/物理竞赛教练。从教十年，培养清华北大学生200余人，国际奥赛、亚洲奥赛、国家奥赛金牌十余名。
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