最近,电视剧《隐秘的角落》热播,剧中的天才杀人犯、数学老师张东升给学生们讲了一个心形曲线的故事。

《隐秘的角落》剧照
你听说过这个故事吗?它是真是假?心形曲线到底是怎么画出来的?今天我们就来给大家介绍一下。
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1美丽的爱情故事
在十七世纪中叶,法国正在流行黑死病,50多岁的著名数学家、物理学家、哲学家笛卡尔逃离了法国,流落到瑞典街头要饭。有一天,他邂逅了上街游玩的年轻的瑞典公主克里斯蒂娜。经过交谈,克里斯蒂娜对才华横溢的笛卡尔仰慕万分,就把他回皇宫,当自己的数学老师。在日复一日的讨论中,公主对笛卡尔的感情从仰慕变成了爱慕。

笛卡儿
很快,他们之间的感情被国王发现了,国王非常愤怒,下令要处死笛卡尔,在公主的苦苦哀求下,笛卡尔才逃过了死刑,被驱逐出瑞典,回到了法国。
克里斯蒂娜公主
笛卡尔回到法国后,日夜思念公主,他把自己的思念写在一封封信上寄给了公主,可是公主从来没有回信,因为笛卡尔所有的信都被国王拦截了。相思之苦让笛卡尔身染重病,在弥留之际他给公主写了最后一封信,这封信里只有一行字:
r=a(1-sinθ)
这封信也到了瑞典国王手里,但是国王看不懂这封信的意思,找手下的大臣,也没有一个人看得懂。国王觉得这可能只是一个数学问题,于是就没有阻拦它,把它交到了公主手里。公主拿到信之后非常开心,因为这正是笛卡尔教给她的解析几何!原来,这是一个几何图形的代数表达式,画出来的样子是这样的。
心形线
等她的父亲去世,公主成为了女王,她立刻来到法国寻找笛卡尔。只可惜,那个时候笛卡尔已经去世了。这个故事还被某矿泉水拍成了非常唯美的广告,相信大家都一定看过。
某矿泉水广告
2故事是真是假?
据考证,上面那个凄美的故事,并不是真的。
克里斯蒂娜女王生于1626年,在6岁的时候就已经继承了王位,到18岁就开始了实际的统治。她被认为是那个年代最博闻广识的女性,在她喜爱书籍、绘画、和雕塑,对宗教、哲学、数学、和炼金术也有浓厚的兴趣。她吸引了一大批科学家,想要让斯德哥尔摩成为“北方雅典”。
在她年轻的时候,经常与法国驻瑞典大使讨论哲学,而笛卡尔是当时法国最有名的哲学家。出于对对笛卡尔的崇拜,克里斯蒂娜邀请笛卡尔来瑞典。在1649年10月,笛卡尔应邀来到了瑞典,此时笛卡尔53岁,女王23岁,女王的父亲早已经去世了,如果他们真的恋爱了,没有人能够阻止他们。
由于女王每天早上5点就起床了,笛卡尔也按照女王的时间,在早上5点到王宫的图书馆同女王讨论哲学。瑞典处于北欧,冬天异常寒冷。几个月后,笛卡尔患上了肺炎,1650年2月,笛卡尔因肺炎在瑞典去世。对他的去世,克里斯蒂娜女王表示非常内疚。
也许,后人之所以演绎出这个故事,是因为伟大的哲学家、数学家笛卡尔终生未婚,聪明高贵的克里斯蒂娜女王也终生未婚,最后,笛卡尔还因女王的邀请而去世,这多多少少会让人浮想联翩吧。
3笛卡儿是个什么样的人
笛卡尔是著名的数学家,他对数学最重要的贡献就是发明了解析几何——一种可以把代数和几何紧密联系在一起的数学分支。我们通常把直角坐标系叫做笛卡尔坐标系,它可以用一组坐标来表示一个点的位置。
笛卡儿坐标系
以二维笛卡尔坐标系为例:它由x轴和y轴组成,每一个点都可以用一对坐标(x,y)来表示,对应了这个点在x轴和y轴上的投影。一个解析表达式描述了x和y之间的一个关系(代数),满足这个关系的点又可以在坐标平面上画出(几何),这样就实现了代数和几何的联系。
解析几何表示的几条线
比如,我在图中画出了三个解析式的图像,它分别对应了两条曲线和一个圆。
在几何图形上,我们可以看出:蓝色的直线和红色的直线相交,交点是A点,它的坐标是A(5,5),这就代表了下面的方程组的解:

我们同样会发现,圆形和红色直线不相交,这代表下属方程组无解:
几何问题可以变成代数问题求解,代数问题也可以转化成几何问题,这就是笛卡尔创立的解析几何。
笛卡尔不光是一个数学家,也是一个物理学家和哲学家。他第一个提出:如果物体不受到任何外力的作用,它将会保持匀速直线运动,这几乎已经准确的表述了牛顿第一定律。在他之前的科学巨匠伽利略的观点是:物体的惯性运动是匀速圆周运动,因为在没有发现万有引力的情况下,很容易把天体围绕太阳的运动看作是一种惯性运动。显然,伽利略的说法并不准确。
笛卡尔认为:理性的思考比感觉更可靠。比如,我们如何能区分听到、看到了真实的东西,还是我们在梦中产生了这种感觉呢?人无法完全区分睡梦的经验与清醒的经验。所以,感觉是可以被怀疑的,我们唯一不能怀疑的是我们正在怀疑这件事。由此,他得出了名言:我思故我在。
他还在著作中提出了四条思考的规则:
  • 凡是我没有明确地认识到的东西,我绝不把它当成真的接受。
  • 把我所审查的每一个难题按照可能和必要的程度分成若干部分,以便一一妥为解决。
  • 按次序进行我的思考,从最简单、最容易认识的对象开始,一点一点逐步上升,直到认识最复杂的对象。
  • 在任何情况之下,都要尽量全面地考察,尽量普遍地复查,做到确信毫无遗漏。
笛卡尔的思想深刻的影响了欧洲几代人,他是当之无愧的西方哲学创始人之一。
4心形曲线
说了这么多,我们还是来谈谈最初的问题吧——心形曲线。尽管笛卡尔非常伟大,但是心形曲线貌似还真不是笛卡尔提出的。因为写出心形曲线使用的坐标系并非直角坐标系,而是极坐标系,这个坐标系到了后来的牛顿时代才为科学界熟知。
在极坐标下表示出的两个点
极坐标系的意思是:将平面内任何一个点与原点连线,这个线段的长度叫做极径r;极径与水平向右的方向还有一个夹角θ,称之为极角。只要给定一个点,我总能找到一个极径r和极角θ,反之亦然,所以就可以用(r, θ)来表示坐标平面上的一个点了。
显然,这种表示的方法与笛卡尔的直角坐标系是不一样的。极坐标方程并不表示某个点横纵坐标x与y的关系,而是表示极径r和极角θ之间的关系。有些几何图形,用极坐标系表示起来非常方便。
比如半径为1的圆形:r=1
玫瑰线:r=2sin(1-4θ
阿基米德螺旋:r=0.1
θ
以及,著名的心形线:
r=a(1-sinθ)
我们把心形曲线和剧中情景对比一下:
你会发现几个问题:
  • 首先,张东升写出的心形曲线解析式是极坐标公式,剧中却在两个坐标轴上写出了x和y,这意思显然是直角坐标而非极坐标。
  • 其次,这颗心中间凹进去的部分应该是通过原点的,剧中却没有画出通过原点,也算一个小bug吧。
这部剧其实我还没有看,但是身边有好多朋友给我推荐了。还有人跟我说:看了这部剧之后恐慌了,难道高智商的人更容易变态么?下一回我们就来讨论一下这个话题。
重点
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