你会推导质能方程吗？

物理学中最美的公式是哪个？我想应该是质能方程E=MC²，它将自然界中最重要的几个量——能量、质量和光速联系到了一起。你知道质能方程表示什么含义吗？它是如何推导出来的呢？今天就来讲一下这个问题。

1质能方程的含义

1905年，26岁的爱因斯坦刚刚从苏黎世理工学院毕业，在瑞士专利局找了一份小职员的工作。谁都没有想到，这样一个在科学界默默无闻的年轻人，一年之内如有神助，连续发表了几篇论文，阐述了有关布朗运动、光电效应、狭义相对论、质能方程等方面的观点。

奇迹年论文

爱因斯坦的这些论文每一篇都在物理学史上具有举足轻重的地位，例如：关于光电效应的阐述证实了普朗克提出的能量量子化理论，并提出了光的波粒二象性；关于布朗运动的阐述证实了原子的存在；关于狭义相对论和质能方程的论述更是开拓了全新的时空观，刷新了人类对整个宇宙的认识。人们在震惊之余，将这一年称为爱因斯坦奇迹年。这是历史上第二个奇迹年。与之对应的是1666年的牛顿奇迹年，那一年24岁的牛顿坐在苹果树下，发现了光的色散、提出了微积分，并产生了万有引力的思想。

青年爱因斯坦

在1905年9月的论文《物体的惯性与它所含的能量有关吗？》中，爱因斯坦提出了一种新颖的观点：物体的质量并非是恒定不变的，而是与能量有关：

在这个公式中，E表示物体的总能量，例如运动的物体具有的动能，举高的物体具有重力势能…这些所有的能量之和，就是物体具有的总能量E。m表示物体的质量，c表示真空中的光速。

在爱因斯坦之前的论文中，已经说明了真空中的光速是一个常数，不会发生变化。所以，物体的能量E越大，物体的质量m也会越大，这和之前的物理学认为质量是物体的固有属性不会发生变化完全不同。

例如爱因斯坦认为：一个静止的物体质量为m0，当它运动起来时，增加了一部分动能，所以它的质量也会随之变大。质量的变化规律是：

我们会发现，随着速度v变大，物体的质量也会越来越大。如果物体的速度v非常接近光速c，物体的质量会变得无穷大。

粒子的质量与速度的关系

这个特点已经在粒子加速器的实验中得到了证实：人们用很大的能量加速一个粒子，粒子的速度可以非常接近光速，它的质量也会变得非常大。此时再继续增加能量，并不能让粒子的速度突破光速，而只能让粒子变得更重。所以有人说：粒子加速度器应该改名字，叫粒子加重器更合理。

欧洲核子中心的大型粒子加速器

质能方程的另一个实验证实是核反应。在大原子核发生裂变或者小原子核发生剧变的时候，原子核的质量会发生亏损，同时释放出巨大的原子能。根据实验结果，释放出的原子能刚好等于亏损的质量与光速平方的乘积。因此质能方程也成为原子能利用的核心公式。

铀235的裂变和氘与氚的聚变

虽然在高能粒子中，质能方程比较容易被验证，可我们不能把质能方程理解成仅仅应用在加速器和核反应中。实际上，生活中任何一个物体的能量和质量关系都满足质能方程。比如一个充满电的充电宝，质量就会比没电的充电宝大一些；一个上满发条的钟表，就比已经停下的钟表质量大一些……只不过，由于充电宝充满的电能和钟表上满发条的弹性势能造成的质量变化非常小，我们无法察觉——2000mAh的充电宝充满电时的质量增加只有0.0004ug。

上好的发条质量更大

2推导质能方程

现在，我们要开始推导质能方程了。1906年，爱因斯坦提出了一个思想实验，可以比较方便的推导出这个方程。不过在正式推导之前，我们先要回顾一下在相对论之前，人们已经了解的物理知识。

首先是动量守恒。人们在探究物体运动的守恒量时发现：物体的质量越大、速度越大，物体运动的本领就越强——不容易停下，还能将其它物体带动起来。于是，人们将物体的质量与速度的乘积叫做动量P。

经过许多科学家的努力，人们发现：在物体不受外力的时候，整个物体动量是守恒的。例如，静止的火箭动量是0，如果它向下喷气，自身就会向上运动，这叫做反冲。在不考虑外力的情况下，火箭和喷出气体的动量是等大反向的，这就使得整个系统的总动量依然为零，保持不变。

火箭反冲

不仅如此，如果我们在动量守恒的表达式两侧乘上时间t，就会发现：火箭和喷出的气体两部分的质量m与运动距离s的乘积也是相等的。

另一个方面，在爱因斯坦之前，麦克斯韦已经弄清楚了电磁波传播的规律，并且预言光是一种电磁波。根据电磁学理论，一束电磁波的能量E与动量p之间也存在一个简单的关系：

这个规律告诉我们：能量越大的光，动量也越大，照射到物体上时会产生压力，这就是光压。人类已经利用光压制造的光帆飞船在宇宙中航行了。

日本伊卡洛斯号光帆飞船

反过来，如果物体向前发射出光，也会受到光向后的反作用力。这就是爱因斯坦光箱的基本理论。爱因斯坦设想：在宇宙中有一个不受任何外力的静止的箱子，质量为M，长度为L。在它左侧有一个发光的装置，向右发射一个光子。由于反冲，箱子会向左运动。我们能通过这个实验来计算光子的质量m吗？

光子向右运动，箱子向左运动

假设这个光子的能量是E，当它向右运动时，根据电磁学理论，光子的动量是

由于光子对箱子的反冲作用，箱子会向左运动，动量大小是：

由于整个系统不受到外力作用，动量守恒，光子和箱子的动量应该是等大反向的，于是我们就能计算出箱子向左运动的速度了：

大家看：光子的质量很轻，对箱子的反冲力很小，所以箱子运动的距离远远小于光子运动的距离。或者说，在这个过程中，可以近似认为光子运动的距离接近于箱子长度

又因为光子的速度是c，所以整个过程的时间为

如此，用箱子的速度乘以时间，就可以得到光子到达右侧壁时，箱子向左运动的距离了：

如果你已经弄懂了上面的每一个步骤，那么现在，见证神奇的时刻到了：我们将光看做一个粒子，设它的质量为m，由于在发光的过程中整个系统必须满足动量守恒，所以光子与箱子的质量与运动距离的乘积是相等的。

将两侧的箱子质量M和长度L约掉，再将光速做移项，就能得到光子能量E与质量m的关系：

虽然，在这里我们所计算的是光子的质能关系，但是实际上它是普遍成立的。我们可以做一个简单的说明：当光子到达箱子右侧时，光子会消失，能量转化为热（分子动能）。此时，为了满足刚才所述的动量守恒，箱子的右侧的质量必须有略微的增加，这部分的质量增加刚好等于光子的质量。所以，热（分子动能）所对应的质量也满足质能方程。推而广之，任何能量与质量之间的关系都是一样的。爱因斯坦说：原来物理学家认为质量守恒、能量守恒，现在可以统一成质能守恒了。

牛顿曾认为：自然界存在一个绝对静止的参考系（以太参考系），这个参考系下，物理规律是特殊的。而爱因斯坦却认为：以太参考系并不存，物理规律在所有参考系下都是相同的。相比于以往的物理学家总是通过实验得出物理规律，并且为了适合实验结果拼凑理论，爱因斯坦的灵感更多的来源于他深邃的思考。他的理论从一提出就像一件完美的艺术品，如此的无懈可击。

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