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导读
美国队总教练罗博深跟我说的非常有趣的一点，就是个人夺金与国家夺冠之间的关系。如果你只想拿块金牌的话，那么你做五道题就够了。为了集体夺冠，就需要在做完五道题后还去竭尽全力做最难的。今年的中美并列第一，是双方的能力、技巧、斗志旗鼓相当的结果。
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2019年7月20日，第60届国际数学奥林匹克竞赛（International Mathematical Olympiad，简称IMO）的成绩公布了。出现了最富有戏剧性的结果：中国队和美国队并列第一！
2019年国际数学奥林匹克竞赛中国队合影
2019年国际数学奥林匹克竞赛美国队合影
上一次出现并列第一，还是在整整20年前的1999年，当时是中国队和俄罗斯队并列第一。再往前，并列第一就只有一次了，是1986年的美国队和苏联队。
这次的冠军对许多中国人堪称一场及时雨，因为中国队上一次得到第一还是在2014年（http://www.imo-official.org/country_team_r.aspx?code=CHN），已经连续四年没拿到第一了。
在2015年至2018年，中国队拿了两次第二、两次第三。其实也都是很好的成绩，但总是差这么一点，难免有些遗憾。当你再注意到，中国队在以前创造过四连冠甚至五连冠的惊人佳绩，你就更会感到连续四年没得第一是个显著的下降了。再加上教育部对所谓“素质教育”的推崇、对奥数培训的打压，近年来，奥数成了中国舆论场上的一个热门话题。因此，这次重返冠军，令大家格外欣慰。
中国队在国际数学奥林匹克竞赛的排名历史（横轴是竞赛的届数。第一届在1959年，此后除1980年外，每年都举办一届，2019年是第60届。黄色：参赛国的数量；黑色：反转的排名，位置越高表示排名越高）
再来看美国队，它也是IMO的一支传统强队，不过拿第一的次数比中国队少得多（http://www.imo-official.org/country_team_r.aspx?code=USA）。美国队从1974年参赛以来，包括这次在内总共得过8次冠军。而中国队参赛比美国队晚了11年，从1985年才开始参赛，却得到了20次冠军！因此可以说，中国队在开始参赛之后，就成了IMO的头号主角。
美国队在国际数学奥林匹克竞赛的排名历史
在中国队参赛之前，成绩最好的是苏联队（http://www.imo-official.org/country_team_r.aspx?code=USS），他们从1959年开始参赛到1991年国家解体，一共拿了13次第一，其中从1963年到1967年更是创造了五连冠的伟业。甚至在1991年，苏联解体的那一年，他们还拿到了最后一次冠军，令人唏嘘不已。
苏联队在国际数学奥林匹克竞赛的排名历史
在苏联解体后，俄罗斯队也称得上一支强队（http://www.imo-official.org/country_team_r.aspx?code=RUS），不过只拿到了两次冠军，跟中美相比就有显著的差距了。
俄罗斯队在国际数学奥林匹克竞赛的排名历史
有一点值得注意的是，美国队虽然总共只拿过8次冠军，但其中4次就是在最近的5年中拿的。具体而言，从2015年到2019年的5年中，美国队惊人地拿了4次第一，只有2017年是第四。由于这个第四卡在中间，使得美国队的连续夺冠纪录只有两次，连三连冠都还没到。不过无论如何，这五年的美国队就像开挂一样，创造了历史最佳成绩，这是非常了不起的。
更加有趣的是，在这五年的开挂期间，美国队的总教练都是同一个人，就是我的朋友、卡内基梅隆大学数学系的罗博深教授。你猜，我们是因为什么认识的？当然是因为拍科技袁人节目了！
罗博深
我和罗博深的对话是在5月30日做的，视频预计将在7月31日上线，敬请期待。下面，我们先来看看这届竞赛以及IMO整体的一些基本情况。
一个基本的问题是，国家的数学竞赛成绩和数学研究水平之间是什么样的关系呢？
整体而言，两者之间显然存在正相关。例如中国、美国、俄罗斯、德国、韩国、匈牙利在IMO中都拿过冠军，称得上竞赛强国，而这些国家的数学研究水平也都不错。
不过，这个相关程度并不是很强。例如法国和英国都是历史悠久的数学强国，出过许多伟大的数学家，但在竞赛中却一次冠军都没拿过，这次的排名分别是25和20。
再仔细看的话，中国在数学竞赛中成绩超群，但在数学研究中就离顶尖很远了。我的一些数学家朋友告诉我，在数学研究中，现在是美国最强，法国、俄罗斯、德国、英国紧随其后，再往下才是中国、巴西、日本、意大利等等。
你也许会感到很诧异：巴西？其实巴西的数学真的不可小觑，他们的数学竞赛每年有1800万学生参加，号称世界最大，而且2014年有一位巴西数学家阿图尔·阿维拉（Artur Avila）获得了菲尔兹奖。中国本土还从来没有数学家得到菲尔兹奖呢！
阿图尔·阿维拉
在大家熟悉的国际顶尖华人数学家中，陈省身没有得菲尔兹奖，得了沃尔夫奖，国际数学联合会专门设立了“陈省身奖”作为国际数学界最高级的终身成就奖。
陈省身
丘成桐是第一个获得菲尔兹奖的华人，不过他是以美国籍得的。
丘成桐
陶哲轩是第二个获得菲尔兹奖的华人，不过他是出生在澳大利亚的华裔。
陶哲轩
张益唐的成果配得上菲尔兹奖，不过他的年龄超过40岁了，不能得这个奖。
张益唐
所以大家要努力哦，你还有机会成为第一个中国本土获得菲尔兹奖的数学家！
以上的这些讨论，可以让我们认识到，数学竞赛是重要的，但远不是最重要的。它可以作为一个引子，引导大家关心数学、热爱数学，就像庄子说的“得鱼忘筌”。明白了这些，就可以以平常心看待竞赛了。
好，下面我们来具体看看这届竞赛的情况。
首先来看一下考题，在IMO的网站可以下载到各种语言的版本（http://www.imo-official.org/problems.aspx）。考试分为两天，每天3道题，做4个半小时，总共6道题。每道题7分，满分42分。
2019年国际数学奥林匹克竞赛第一天题目
2019年国际数学奥林匹克竞赛第二天题目
在这届的考题中，有些似乎连看懂题意都不容易，例如第2题和第6题这两道几何题。也有些看起来似乎很容易理解，例如代数的第1题和数论的第4题。
但无论哪道，找到思路都是很不容易的。即使是表面最亲民的第1题，也很可能在写写画画一大堆之后无法前进。我就是这样，推了不少，但在看网友写的答案之前，还是找不到办法确定函数的形式。差可告慰的是，在看了答案之后，仔细琢磨一下就理解了。
2019年国际数学奥林匹克竞赛第1题网友解答
有兴趣的观众，可以仔细去推演。在这里我解释一句：关键在于看出，这个函数在任意的n、n + 1和n + 2这相邻三点的取值构成一个等差数列，所以这个等差数列的公差即f(n + 1) - f(n)是一个常数，因此这个函数只能是线性函数。一旦想通这一点，后面的推导就都是顺理成章的了。
你看，这道题在本质上不难嘛。对于高手来说，应该算是送分题。事实上，IMO网站给出了每道题的得分分布图（http://www.imo-official.org/year_statistics.aspx?year=2019）。
2019年国际数学奥林匹克竞赛题得分分布图
在参赛的621位选手中，有超过一半的382人在第1题上得到了满分7分。由此可见，IMO也和平时见到的考试一样，上来先会出一些送分题，稳定一下考生的心情。不过即使对于这样一道送分题，也有73人得了0分。这让我们说什么好呢？如果你太菜了，那么老师再怎么努力地想把分数送给你，也送不成啊！
其他题目的得分分布，跟第1题就大相径庭。最有趣的是第3题和第6题，它们分别是第一天和第二天的压轴题目。第3题有520人吃了鸭蛋，第6题更是有558人一分没得！
第3题和第6题得到满分的人，分别只有28人和27人。显然，夺冠的关键就在这最难的两道题。
罗博深跟我说的非常有趣的一点，就是个人夺金与国家夺冠之间的关系。如果你只想拿块金牌的话，那么你做五道题就够了。咦，什么叫“只”想拿块金牌？
因为奥赛的金牌并不是根据绝对成绩来发的，而是根据相对成绩，只要你排名在前50位左右，就可以拿到金牌。例如这次竞赛总共有52人获得金牌，门槛是在满分42分中得到31分。你看，是不是做五道题就够了？
2019年国际数学奥林匹克竞赛个人成绩分布
以前美国队多年不能夺冠，一个原因就是队员们觉得自己反正也赢不了，做对五道就够了，第六道直接放弃。2015年美国队夺冠，就是因为那届队员特别想赢，在做完五道题后还去竭尽全力做最难的。他们赢了以后，后面的几届看到自己真的能赢，斗志也被点燃了，从此也竭尽全力做所有的题。
由此可见，今年的中美并列第一，是双方的能力、技巧、斗志旗鼓相当的结果。让我们为两国的队员喝彩！
下面，我们来看一下这届竞赛的结果。
在国家层面（http://www.imo-official.org/year_country_r.aspx?year=2019），中国和美国以227分并列第一。然后是韩国，以一分之差位列第三。
2019年国际数学奥林匹克竞赛韩国队合影
第四是朝鲜，187分。我们祝贺朝鲜追平自己的历史最好成绩（它在2015年也得了第四），不过它的得分跟前三位就有明显的差距了。第五到第十位分别是泰国、俄罗斯、越南、新加坡、塞尔维亚和波兰。
2019年国际数学奥林匹克竞赛前十名国家
在个人层面（http://www.imo-official.org/year_individual_r.aspx?year=2019&column=total&order=desc），这届竞赛一共有6人拿到42分的满分，其中两人来自中国，两人来自美国，另外两人分别来自韩国和波兰。
2019年国际数学奥林匹克竞赛前十名个人
中国队的6名选手都拿到了金牌，美国队和韩国队也是。这里一个有趣的问题是，美国队的6人中有5人是华裔，他们的总教练和副教练也是华裔。因此，有不少人开玩笑说美国队是中国二队，也有不少人在抱怨所谓人才外流的问题。
我想说的是，这些都不重要，不要让负能量沾染自己。正能量的思维是，美国队以及其他很多参赛队伍中有大量的华人，这说明华人是完全可以搞好数学的。我们应该更加努力，早日把中国建设成顶尖的数学强国。
还有一些有趣之处，出现在榜单的末尾。在参赛的112个国家和地区中，有3个国家的总分是0！这3个并列倒数第一的国家是：安哥拉、肯尼亚和阿联酋。
2019年国际数学奥林匹克竞赛排名最后的11个国家
在这三国当中，尤其特别的是阿联酋，因为它派出了一个完全由女生组成的队伍（2019IMO开幕式视频及最新照片来啦！竟然有个国家队全员女生！），在赛前吸引了很多关注。我看到这则消息时感到很奇怪：这个国家的男生到哪里去了？难道他们的数学都这么差吗？没想到结果是，这6位女生一分未得。
2019年国际数学奥林匹克竞赛阿联酋队合影
不过如大家所知，有些宗教国家平时严禁女人抛头露面，甚至还有宗教警察四处巡视。因此这次让女生出来参赛，总是一件值得鼓励的事。让我们希望，数学之光和自由之光普照世界。
如果前面讲的竞赛题让你“不明觉厉”，那么下面，我们就来介绍一个简单而精妙的数学定理，而且它还很有实用价值。为什么在这里提到这个定理呢？因为这个定理是我第一次见到罗博深的时候，他正在讲的，讲给上海市延安初级中学的师生们。
这个定理叫做皮克定理（Pick’s theorem），它说的是：在一个平面上标出那些横纵坐标都为整数的点，把这些点叫做格点。以任意多个格点作为顶点，做一个多边形，那么这个多边形的
面积 = 内点数 + 边界点数/2 - 1。
也就是说，数出有多少个格点完全包含在多边形中，每个这样的格点贡献1的面积。再数出有多少个格点在多边形的边界上，每个这样的格点贡献1/2的面积。把两部分贡献加起来，再减去1，就得到了多边形的面积。
举个例子，在下面这个四边形中，内点有7个，边界点有8个，因此它的面积等于7+ 8/2 - 1 = 10。是不是很方便啊？
皮克定理
我跟罗博深交流的时候，说我们在物理和化学中研究晶体结构时，就经常用类似的方法。如何确定一个晶胞中包含多少个原子呢？例如下图所示的，体心立方和面心立方的晶胞。
体心立方和面心立方晶胞
简便的算法是，一个原子如果位于一个晶胞之内，那么就把它完全归于这个晶胞。一个原子如果位于一个面上，即被两个晶胞分享，那么就给每个晶胞1/2个原子。一个原子如果位于一条棱上，即被四个晶胞分享，那么就给每个晶胞1/4个原子。一个原子如果位于一个角上，即被八个晶胞分享，那么就给每个晶胞1/8个原子。基本的思想就是“均分”。
根据这种算法，你很快就会发现，虽然看起来眼花缭乱，但体心立方只包含2个原子，面心立方只包含4个原子。这就是跟皮克定理的一个有趣的类比。
因此，你能从直觉看出皮克定理是正确的吗？你能从直觉看出这个定理可以用数学归纳法证明吗？
最后，我们来预报一下。围绕着数学与教育，我和罗博深讨论了许多大家关心的问题，例如：
你是如何让美国队的成绩突飞猛进的？
个人如何学好数学？
如何激发学生对数学的兴趣？
真正热爱数学的学生，应该怎样做？
如何看待其他的数学教育方法，例如可汗学院？
如何看待其他奥赛强队？
有些数学强国在奥赛中成绩并不突出，例如法国，对此应该怎样看待？
包括中美在内，许多国家的数学教育难度都在下降，对此应该如何看待？
如何在媒体上传播科学，扭转媒体对科学家的刻板印象？
……
再次预告，我们的对话将在7月31日上线，敬请期待（预告片见https://www.bilibili.com/video/av60023973）。在这里我可以说的是，罗博深的许多回答完全不在常见的套路之内，是非常真诚的真知灼见。如果各国像这样热爱科学与教育的专业人士多一些，将是世界之大幸。
我们聊了许多问题，不过有一个问题是我们完全没有提的：如何看待近年来美国队的成绩上升和中国队的成绩下降？在我们看来，这个问题并不重要。
从宇宙的视角看来，地球上这些国家之间的竞争就像鸡虫之争，不值一提。人类有没有掌握像黎曼猜想、孪生质数猜想这样的思想之光，才是真正有意义的，决定了人类在宇宙中的地位。
真正重要而有趣的，是数学本身！
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背景简介：袁岚峰，中国科学技术大学化学博士，中国科学技术大学合肥微尺度物质科学国家研究中心副研究员，科技与战略风云学会会长，青年科学家社会责任联盟理事，中国无神论学会理事，安徽省科学技术协会常务委员，微博@中科大胡不归，知乎@袁岚峰（https://www.zhihu.com/people/yuan-lan-feng-8）。
责任编辑：吴啟然
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