鼠年大吉
HAPPY 2020'S NEW YEAR
来源：知乎
作者：Orangrass
链接：https://zhuanlan.zhihu.com/p/54505069

前言

图卷积网络Graph Convolutional Network，简称GCN，最近两年大热，取得不少进展。
最近，清华大学孙茂松教授组在 arXiv 发布了论文 Graph Neural Networks: A Review of Methods and Applications ，作者对现有的 GNN 模型做了详尽且全面的综述。GCN就是GNN中的一种重要的分支。
但是对于GCN的萌新，看着这篇综述可能还是会困难重重、不知所措。
写这篇文章的目的，就是帮助萌新们掌握GCN的重要概念和理论，走出新手村。

什么是Convolution

Convolution的数学定义是：

一般称g为作用在f上的filter或kernel
一维的卷积示意图如下：
大家常见的CNN二维卷积示意图如下：
在图像里面卷积的概念很直接，因为像素点的排列顺序有明确的上下左右的位置关系。
那在抽象的graph里面卷积该怎么做呢？
比如这个社交网络抽象出来的graph里面，有的社交vip会关联上万的节点，这些节点没有空间上的位置关系，也就没办法通过上面给出的传统卷积公式进行计算。

Fourier变换

为了解决graph上卷积计算的问题，我们给出第二个装备--Fourier变换。
先上结论，根据卷积定理，卷积公式还可以写成：
这样我们只需要定义graph上的fourier变换，就可以定义出graph上的convolution变换。
好的，先来看下Fourier变换的定义：
Inverse Fourier变换则是：
根据Fourier变换及其逆变换的定义，下面我们来证明一下卷积定理
我们定义    是    和    的卷积，那么


带入  
  ;  


最后对等式的两边同时作用    ，得到

Laplacian算子


一波未平，又来一个陌生的概念。
不要担心，这是出新手村之前的最后一件装备了。
一阶导数定义为：
laplacian算子简单的来说就是二阶导数：
那在graph上，我们可以定义一阶导数为：
其中y是x的邻居节点
那么对应的Laplacian算子可以定义为：

定义    是   的度数矩阵(degree matrix)
定义    为   邻接矩阵(adjacency matrix)
那么图上的Laplacian算子可以写成
标准化之后得到  
定义Laplacian算子的目的是为了找到Fourier变换的基
比如传统Fourier变换的基    就是Laplacian算法的一组特征向量
  ,    是一个常数
那么图上的Fourier基就是    矩阵的n个特征向量    ，    可以分解为
其中    是特征值组成的对角矩阵
传统变换变换变换基逆变换基维度点的个数
那么Graph Fourier变换可以定义为
其中    可以看做是作用在第    个点上的signal，用向量  
  来表示
  是的对偶向量，    是矩阵    的第    行，   是矩阵    的第    行。
那么我们可以用矩阵形式来表示Graph Fourier变换
类似的Inverse Graph Fourier变换定义为
它的矩阵形式表达为

推导Graph Convolution

走到这里，我们已经获得了新手村的所有装备，下面就开始推导GCN的公式。还记得我们之前提到的先上卷积定理吗？
那么图的卷积公式可以表示为：
作为图卷积的filter函数    ，我们希望具有很好的局部性。就像CNN模型里的filter一样，只影响到一个像素附近的像素。那么我们可以把    定义成一个laplacian矩阵的函数  
作用一次laplacian矩阵相当于在图上传播了一次邻居节点。进一步我们可以把    看做是    一个laplacian特征值的函数。
改写上面的图卷积公式，我们就可以得到论文SEMI-SUPERVISED CLASSIFICATION WITH GRAPH CONVOLUTIONAL NETWORKS（链接：https://arxiv.org/pdf/1609.02907.pdf）的公式(3)
可以看到这个卷积计算的复杂度是非常高的，涉及到求laplacian矩阵的特征向量，和大量的矩阵计算。下面我们考虑对filter函数做近似，目标是省去特征向量的求解
其中    是Chebyshev多项式。这里可以把简单    简单看成是    的多项式。
因为
所以上面filter函数可以写成    的函数
设定   那卷积公式可以简化为
令  
  ，  

那么再加上激活层，我们就可以得到最终的GCN公式：

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