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跟随小博主,每天进步一丢丢
导读
概率论是AI的基础学科,如果想学的深的话,概率论必不可少的一门呀!概率基础还没有看的小伙伴们,可以看下面的链接啦:
今天的主要内容为概率的一些基本公理以及它的证明和应用。慢慢的来,每天进步一丢丢。
概率三公理(Axioms of Probability)
公理是大家公认的定理,不需要证明,也无法证明。很多的学科的发展都是建立在一些公理的基础上的,也就是说公理都是很简单的,一看就知道就是这么回事。比如概率的公理有三个:
公理一
注:我们的所有研究都是建立在任何事物的概率都是非负数
公理二
注:S是所有可能的集合,所有可能的概率当然就是1啦
公理三
注:事件互斥,那么它们交的概率就为各自的概率之和。该公理搭起了集合运算和概率运算的桥梁。
上述三公理是之后证明各种概率定理的前驱,所以也被誉为神圣三公理!
公理三的一个应用:
从一副52张扑克牌中抽出一张,是A(Ace)的概率是?
很简单,A有四种花色,每种都互斥,那么计算过程就为:
公理衍生之概率定理
定理一
注:空集表示该事件一直没有结果,比如筛子一直转不停,虽然不现实。我觉得这个式子的作用就是为了数学好计算啦。
证明:
这里就需要用到上述的三大公理了
注:先证互斥,再根据公理二,三推导。(先证互斥的原因是,公理三用到互斥的前提)
定理二
注:A^c为A的补集
证明:
注:先证互斥,再根据公理二,三推导。
定理三
注:A-B为A减去和B相同的部分
画图证明:
假设A,B为
那么黄色区域A
那么转换成公式为:
注:依然是先证明A-B和A并B互斥(由上图可知),再根据公理三推导即可。
定理四
注:A和B交的概率等于各自的概率,减去A,B的并
画图证明:
假设A,B为
A交B的部分为
那么上图可表示为
公式证明为
就性质四举个生活小栗子
比如街上碰到一个人,他们爱吃甜口或者咸口的概率是?
当然就为上述公式啦:
定理五(切面包定理)
若C1...Cn互斥,且他们的交集为S,则对于任意事件A来说:
画图表示为
注:当然,A也可以不属于某些Ci
就该定理,举一个生活中的小栗子:
阿宅暗恋某可爱女店员。她的笑容打开了他的心扉。阿宅注意到她的笑容会受到生意的影响,于是他每天记录她的生意和她的笑。店生意有满(人满),普(普通),惨(萧条)三个状态,而她有笑,怒两个状态。根据记录:
那么她的笑的概率怎么计算呢?
我们可以充分利用上述定理,即:
公式为:
定理六
画图表示为:
定理七
对任意n个事件,A1,...,An来说,有
Boole's不等式:
Bonferroni's不等式:
注:最后两个就不证明了,很好理解哒。
导读
这些公理,定理搞懂了吧  嘿嘿。接下来就该慢慢深入了,下集预告:条件概率!慢慢来,先把基础打牢!
reference
概率视频  叶丙成 台湾大学
IELTS a bit
predecessor n. 前任,前辈
condense vi. 浓缩;压缩
                  vt. 使浓缩;使压缩
proliferation n. 增殖,扩散;分芽繁殖
optic adj. 光学的;视觉的;眼睛的
         n. 眼睛;镜片
         n. 人名 奥普迪克
institution n. 制度;建立;公共机构;习俗
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