蒙特卡洛方法入门
引言
蒙特卡罗方法于20世纪40年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的成员S.M.乌拉姆和J.冯·诺伊曼首先提出。数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。在这之前，蒙特卡罗方法就已经存在。1777年，法国数学家布丰（Georges Louis Leclere de Buffon，1707—1788）提出用投针实验的方法求圆周率π。这被认为是蒙特卡罗方法的起源。
蒙特卡罗方法是一种计算方法。原理是通过大量随机样本，去了解一个系统，进而得到所要计算的值。它非常强大和灵活，又相当简单易懂，很容易实现。对于许多问题来说，它往往是最简单的计算方法，有时甚至是唯一可行的方法。它诞生于上个世纪40年代美国的"曼哈顿计划"，名字来源于赌城蒙特卡罗，象征概率。
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π的计算
        第一个例子是，如何用蒙特卡罗方法计算圆周率π。正方形内部有一个相切的圆，它们的面积之比是π/4。
现在，在这个正方形内部，随机产生10000个点（即10000个坐标对 (x, y)），计算它们与中心点的距离，从而判断是否落在圆的内部。
        如果这些点均匀分布，那么圆内的点应该占到所有点的 π/4，因此将这个比值乘以4，就是π的值。通过R语言脚本随机模拟30000个点，π的估算值与真实值相差0.07%。
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积分的计算
上面的方法加以推广，就可以计算任意一个积分的值。
        比如，计算函数 y = x2 在 [0, 1] 区间的积分，就是求出下图红色部分的面积。
这个函数在 (1,1) 点的取值为1，所以整个红色区域在一个面积为1的正方形里面。在该正方形内部，产生大量随机点，可以计算出有多少点落在红色区域（判断条件 y < x2）。这个比重就是所要求的积分值。用Matlab模拟100万个随机点，结果为0.3328。
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交通拥堵问题
蒙特卡罗方法不仅可以用于计算，还可以用于模拟系统内部的随机运动。下面的例子模拟单车道的交通堵塞。根据 Nagel-Schreckenberg 模型，车辆的运动满足以下规则。
■ 当前速度是 v 。
■ 如果前面没车，它在下一秒的速度会提高到 v + 1 ，直到达到规定的最高限速。
■ 如果前面有车，距离为d，且 d < v，那么它在下一秒的速度会降低到 d - 1 。
■ 此外，司机还会以概率 p 随机减速， 将下一秒的速度降低到 v - 1 。
在一条直线上，随机产生100个点，代表道路上的100辆车，另取概率 p 为 0.3 。
上图中，横轴代表距离（从左到右），纵轴代表时间（从上到下），因此每一行就表示下一秒的道路情况。可以看到，该模型会随机产生交通拥堵（图形上黑色聚集的部分）。这就证明了，单车道即使没有任何原因，也会产生交通堵塞。
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证券交易
证券市场有时交易活跃，有时交易冷清。下面是你对市场的预测。
■ 如果交易冷清，你会以平均价11元，卖出5万股。
■ 如果交易活跃，你会以平均价8元，卖出10万股。
■ 如果交易温和，你会以平均价10元，卖出7.5万股。
        已知你的成本在每股5.5元到7.5元之间，平均是6.5元。请问接下来的交易，你的净利润会是多少？取1000个随机样本，每个样本有两个数值：一个是证券的成本（5.5元到7.5元之间的均匀分布），另一个是当前市场状态（冷清、活跃、温和，各有三分之一可能）。
模拟计算得到，平均净利润为92, 427美元。
参考
  • Introduction To Monte Carlo Methods，by Alex Woods
  • Monte Carlo Simulation Tutorial
  • 蒙特卡罗（Monte Carlo）方法简介，by 王晓勇
  • 蒙特卡罗（Monte Carlo）模拟的一个应用实例
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