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美国小学数学课外资源深度解析：七大平台优劣对比与选择指南
在之前的文章中，我们曾深入探讨了美国小学数学教育的局限性，主要体现在以下四个方面：
仅仅了解不足并不能解决问题，抱怨也无济于事。我们不能盲目乐观地认为华人孩子数学天生就好，或者相信孩子长大后自然会理解数学。事实上，数学学习与阅读类似，需要长时间的潜移默化和积累，逐步培养数感，并对数学概念建立深刻的理解。对于学龄前（preschool）至幼儿园（Kindergarten）阶段的孩子，我们曾推荐过寓教于乐的方法。而当孩子升入一年级后，虽然寓教于乐依然有效，但为了帮助他们更好地过渡到抽象概念学习，并熟悉学校和考试常用的解题形式，许多家长（包括我）都会为孩子选择一些学校之外的额外练习。这些练习既有传统的纸质书本，也有电脑或平板电脑（iPad）上的在线资源。市面上的资源种类繁多，这既是好事，也增加了家长的选择难度。
因此，本文将对市面上最常见的七种数学课外练习资源进行总结和对比，希望能帮助家长们找到最适合自己孩子的学习方案。我们将对比的平台包括：新加坡数学（Singapore Math）、IXL、Beestar、Beast Academy、可汗学院（Khan Academy）、Prodigy和Reflex Math。
数学课外练习的目的：因材施教，事半功倍
在具体对比不同练习资源之前，我们有必要先明确数学课外练习的目的。每个孩子的学习进度、对数学的兴趣以及对概念理解的深度都不同，家长对孩子数学学习的期望值也各异。因此，选择课外练习的首要步骤是客观了解孩子的现状和兴趣，然后设定一个合理的期望值，再做出明智的选择。
数学课外练习的目的，大致可以分为以下几种：
1. 加深对概念的理解
美国小学很大一部分老师在讲解数学，特别是运算时，主要关注学生是否记住了运算方法。例如，多位数加法的进位，老师可能只强调从右往左进位，但很少或简单带过为什么要这样操作；分数除法，老师会教导将除数倒过来与被除数相乘再约分，但很少仔细解释为什么要倒过来以及除法为何变为乘法。这种“知其然而不知其所以然”的教学方法，可能让学生表面上达到学会运算的目标，但所学知识未能与之前学的其他概念建立联系，也难以在以后的学习中进行延伸。因此，有时需要在家里进行额外辅导，帮助孩子真正弄明白“所以然”。
2. 锻炼计算速度和熟练性
小朋友刚开始学习加减法时，数手指头是完全可以接受的。但如果一直依赖这种方式，会影响到对其他新概念的学习，因为大脑在同一时间内的运作负荷是有限的，如果大部分负荷都用于数手指，那么分配给理解新知识的负荷就会不足。为了以后能高效学习新知识，像十以内加减法、二十以内加减法以及乘法口诀这些常用计算，在理解之后，就需要通过练习达到看到题目就能脱口而出答案的熟练程度。学校进行速算练习的机会有限，家庭作业又极少，因此有时需要在家里多加练习才能达到熟练程度。
3. 扩展题型
有些基本运算，小朋友需要接触多种相关的应用题才能加深理解，而且不少教学大纲也会要求多种类应用题（word problems）。然而，由于教材和师资的限制，许多学校的教学实际上无法涵盖所有题型。例如，加减法应该包括增减、合并/分开、比较这三个方向的应用题，但学校教学可能不会全部涵盖。再比如，乘法应该包括多组总量、工作效率和工作总量、速度和距离等应用题，但学校教学往往只涉及计算多组的总量。因此，通过某些课外练习，可以让小朋友有机会接触到那些学校没有教授的题型。
以上三点主要是以现有学习成绩较好的孩子为基础提出的。当然，也存在现有学习成绩未达到平均水平的情况（并非所有亚裔、华裔孩子都会自动数学成绩好）。
4. 追赶进度
如果小朋友的现有成绩尚未达到平均水平，家长可能需要额外帮助孩子补习，特别是针对那些没有掌握好的概念和计算方法。因为数学概念的学习是新知识建立在旧知识基础上的，如果不弥补这些漏洞，对以后的学习负面影响会越来越大。
5. 准备参加竞赛
如果小朋友对数学兴趣浓厚，并且在这方面展现出超强的学习能力，家长也可能会鼓励孩子参加各种数学竞赛。为了准备竞赛，孩子就需要接触一些难度远远超过小学数学平均要求的数学内容。
家长在理清希望孩子能从数学课外练习中获得哪些帮助之后，就可以根据需求寻找合适的练习资源了。
下面开始对最常见的一些课外练习资源进行总结和对比。
新加坡数学（Singapore Math）: 循序渐进，结构严谨
新加坡数学（Singapore Math）严格意义上来说并非纯粹的课外数学练习，它本身就是一套完整的数学教材，包括教科书、教师指引、练习册、额外练习册以及高难度应用题等。作为一套教材，其最大的特点是：
通过目录，我们可以感受一下他们的练习册（workbook）结构。每个学年的练习册分为A、B两本（对应上下学期），每本包含4-5个单元（每个单元一个数学概念），每个单元有5-10个练习，外加一个单元总结练习。
每个单元内的练习都是循序渐进，由简至难。每套练习一般有3-5页。例如这组介绍分数概念的练习。
虽然按照其循序渐进的顺序做题应该不会太难，但每组练习3-5页的话，即使是专注且动作快的小朋友，也需要至少15-20分钟才能完成。
除了A、B两册练习册，每个年级还有一本额外练习，也是按单元顺序分的，编排上没有A、B练习册那么详细地按难度递增，但也并非比A、B练习册加深难度的题目，只是额外多一点练习。
除此之外，每个年级也还有一本加深难度的应用题练习册。
这本应用题练习册基本可以自成一个体系，因为每组练习里，都先给出两三个例题的详细图文解释，然后是一组与例题很相似的练习题，之后还有一组更高难度的题目，也是先给例题，再有一组相应的练习题。
关于版本
关于新加坡数学，疑问最多的莫过于几个版本的区别。根据其网站的解释，版本描述如下：
加利福尼亚州（California）计划于2025年进行幼儿园至八年级（Kindergarten through Grade 8）、代数I（Algebra I）和综合数学I（Integrated Mathematics I）的数学教学材料采纳，将基于加州共同核心州立数学标准（California Common Core State Standards for Mathematics）。要知道自己孩子的学校使用的是什么教材，是否根据CCSS编排的，最简单的方法就是直接询问老师。
新加坡数学总结
我们自己也断断续续使用了四年新加坡数学，总结如下：
优点：
局限性：
适合对象：
IXL：题量无限，分层清晰
IXL 不仅提供数学练习，每个年级的所有学科都有附带练习。它家的最大特点就是题库庞大且全面。例如，四年级（Grade 4）列表中，显示数学技能有383个。为什么会这么多？
我们来具体看看他们的数学四年级题库页面，大概分类如下：
可以看出每个概念下的小练习，都是按难度和循序渐进的学习进度细分的。以字母标记的概念，甚至26个字母都不够用，需要延伸到BB等双字母标记。总之，点进去一个年级，就是一整页密密麻麻的练习题链接。当然，也可以选择按数学概念归类显示题目，或者针对某个概念，设置练习计划。
家长可用的反馈数据也一样量大形式多。可以查看过去30天内，孩子在IXL练习上花费的总时间（和分项时间）、做了多少题、接触过哪些数学概念、每个概念做了多少题等等。
也可以查看具体每道题，孩子的答案和正确答案的比较。
还可以查看按照技能和概念分类，孩子做题的各种数据列表。
以上图例只是蜻蜓点水，实际上在IXL里家长有几十上百种查看孩子进度和练习效果的方式。
IXL还给小朋友提供游戏性的在线奖励，每做完100道题（或100的整数倍），或者每做对一定题数，或者每熟练掌握一项技能，小朋友都可以获取游戏里的小物件或闯关奖励。
这里要强调一下，那100道题是累积计算的，也就是说很可能是过去五天做了一共95道题，今天继续做，在做了5道题之后，达到了累积100题，这个奖励就会蹦出来。如果小朋友本来正在专心做题，并且预计今天可以做25~30题，但5题之后，因为积累到了总数100题，这个奖励游戏就会蹦出来，小朋友肯定会点击奖励链接去玩闯关游戏。玩完之后，就很难立马回到之前那个专心做题的状态，有时会找不到或想不起来刚才做到哪儿了，甚至有时压根就不想再做了。
IXL总结
IXL在我们学区是学校统一使用的在线数学练习之一，除了课堂练习（自习时间内小朋友可选的练习之一），也给每个学生提供单独的账号密码，可以回家做题。大壮在学校使用IXL的频率和时间都很高。但在家里，因为难以在300多个技能中快速准确地找到难度适合他的练习，也很少需要在一个小技能中重复做很多类似的题目，所以在家里很少使用。
对于IXL的各方面总结如下：
优点：
局限性：
适合对象：