[方程]3. 指数方程I：增长与衰减

内容提纲

指数方程的早期历史
什么是指数方程？
绘制指数方程
案例问题1
案例问题2
科学中的指数方程

你知道么？

应用一类数学问题（指数方程）计算出银行账户里的存款几年后利息是多少。科学家也用指数方程，比如通过碳测年来估计物体的年龄、预测疾病在人群中传播的速度。事实上，指数方程被用于科学的各个分支。

关键概念

指数方程里有一个变量作为指数，形式为 y= ab^x。
指数方程的解(y的数值)遵循几何级数，是反复乘同一个数的结果。
指数的图形形状表示指数增长或衰减。
指数性增长和衰减都常见，很多领域中用指数方程来建模并预测。

圣马修岛是阿拉斯加白令海的一个偏远岛屿。1944年，美国海岸警卫队在岛上设立了一个站点，协助飞机和船只在白令海航行。29头驯鹿（包括24头雌性和5头雄性）被引入该岛，作为该站点19人的应急食物来源（图1）。几年后，海岸警卫队放弃该岛，没带走驯鹿。1957年，美国鱼类和野生动物管理局（U.S. Fish and Wildlife Service）的生物学家戴夫·克莱因（Dave Klein）访问了该岛，并统计到1350只健康的驯鹿。由于没有捕食者，又有岛上丰富的地衣作为主要食物来源，它们的数量激增。克莱因于1963年又一次上岛，他惊讶地发现驯鹿数量已经增长到超过6000头，也就是平均每平方英里有47头驯鹿。

图1 圣马修岛的驯鹿

三年后的1966年，克莱因等人回到岛上，发现驯鹿的数量已经从6000只健康的驯鹿锐减到42只，且健康状况不好。这42头中的41头是雌性，唯一1 头雄性鹿角异常，表明它可能无法繁殖。过度放牧消耗完了地衣供应，而地衣是驯鹿冬季的重要食物来源，食物缺乏导致动物的体重下降了40%，它们因此无法承受圣马修岛的严冬（Klein，1968）。到二十世纪80年代，岛上再也没有驯鹿了。

图2显示了克莱因绘制的圣马修岛上驯鹿数量图。请注意，岛上的驯鹿数量在开始时每年变化相对较慢，但随着时间的推移，它的数量越来越多。这种增长模式的直观意义是：岛上的驯鹿越多，新出生的驯鹿也就越多。因此，群体数量随时间增长得越来越快，所以图形弯曲呈凹形—— 至少1963年之前如此。

图2 设想圣马修岛驯鹿的数量增长。实际测试的数据也在图中。来自 Klein, D.R. 1968. The introduction, increase, and crash of reindeer on St. Matthew Island. Journal of Wildlife Management, 32(2): 350-367.

有别于一条直线的斜率，图上曲线的斜率不是恒定的。因此，描述该图的方程必然不同于线性方程。线性方程以 y=mx+b 的形式。（更多信息，请参阅“科学线性方程模块：与两个变量的关系”。）描述此形状的方程将变量作为指数，例如y=5^x，因此称为“指数方程”。

圣马修岛上驯鹿数量的快速增加，可以用指数方程来描述，称为指数增长。这种类型的增长（及其相反的指数衰减）是一种常见的自然现象，因此指数方程经常用于所有科学分支。在更详细地描述这些方程之后，我们将确定描述驯鹿种群增长的方程。

指数方程的早期历史

数学问题解决的最早记录来自古埃及，以纸莎草纸的形式写于公元前1850 年至1600年之间。其中，莱因德纸草书（Rhind Mathematical Papyrus）是公元前1650年左右写成的数学问题集，其标题是“掌握事物意义和了解一切的正确计算方法，晦涩难懂......和所有的秘密“（参见图3 图片）。这不是一份纯学术的文件：纸莎草纸中的问题被用来管理城市的粮食供应等。

图3 古埃及莱因德纸草书的一部分，关于一个几何级发展的数学问题。

问题是：

在某个村庄，有7所房子;每所房子有7只猫;每只猫抓了7只老鼠;如果没有猫，每只老鼠会吃掉7个斯佩尔特小麦麦穗；每个斯佩尔特小麦麦穗在收获时可生产7赫卡特谷物。猫的存在拯救了多少千斤粮食？（引自Curtis，1978年）。

如果我们把这些信息放在表格形式中，会得到这样的结果：

物品	多少？	指数	总数
房子	7	7¹	7
猫	7x7所房子	7²	49
老鼠	7x7只猫x7所房子	7³	343
麦穗	7x7只老鼠x7只猫x7所房子	7⁴	2401
赫卡特	7x7个麦穗x7只老鼠x7只猫x7所房子	7⁵	16807

表1: 莱因德纸草书问题的数据表

通过将相同的数相乘，数迅速增大，增速为所谓的“几何级”。埃及人不像我们今天那样使用指数符号，但他们非常熟悉几何级数的概念。

指数符号的使用要晚得多。勒内·笛卡尔（René Descartes）将符号a²定义为等同于aa，“用于将a乘以自身”，而a³，当时笛卡尔没有使用“指数”（法语中的exposant）这个词。事实上，“指数”一词何时开始用于描述右上标的数学表达式，我们并不完全清楚，似乎大多数人当时认为这不需要解释。由于解释缺乏，查尔斯·雷诺（Charles Reyneau）于1708年出版了《恶魔分析》（Analyse demontrée）。他指出“必须谈论《代数理论》中唯一没有解释的计算，这就是指数或幂”（Cajori，1913）。由此，到十八世纪初，指数方程的数学概念和指数符号都已牢固确立。

【考考自己】几何级增长的数学问题，最早记录于_____。

a.勒内·笛卡尔的手稿。

b.古埃及的纸草书。

什么是指数方程？

指数方程是指数上是一个变量的方程。比如y=5

是一个指数方程，因为它的指数x是一个变量（也可以说5的x次方），而

y=x⁵

不是一个指数方程，因为指数5不是一个变量。我们常把指数方程写成

y=ab^x

，其中a和b是常数（数值不会变的数），而x和y是变量。此外，a被称为初始值，而b被称为底数。在数学和科学的大部分领域，因为y的值取决于我们代入的x，所以x被认为是独立变量或操纵变量，而y是非独立变量或响应变量。

指数方程对b（底数）的值有一些限制。常数b不能等于1，并且必须大于0。为什么呢？因为如果b=1，那么无论x的值是多少，y的值始终是相同的数字a；而如果 b=0，则y的值始终为0；用这些值绘制方程时，我们将得到一条水平线（因此是线性方程）而不是指数曲线。如果b<0，则x的某些值将导致y值不是实数。例如，如果x是1/2且b=-2，则 (-2)^1/2= √-2，它不是实数，不能在实数轴上绘制。

绘制指数方程

让我们看一下指数方程y=5^x，并将其与线性方程y=5x+1进行比较。为了看出区别，我们首先完成一个值表，然后绘制两个方程，如下所示。

x	y=5x+1	y	y值的变化
-1	5(-1)+1	-4
0	5(0)+1	1	+5
1	5(1)+1	6	+5
2	5(2)+1	11	+5
3	5(3)+1	16	+5

表2a 线性方程不同x值时的y值

x	y=5^x	y	y值的变化
-1	5^-1	1/5
0	5⁰	1	x5
1	5¹	5	x5
2	5²	25	x5
3	5³	125	x5

表2b 指数方程不同x值时的y值

线性方程的y值是一遍又一遍地将相同值相加（在本例中为5）的结果，称为算术级数。相反，指数方程的y值是重复乘以相同量（同样是5）的结果，称为几何级数。我们可以以图形方式比较这两组结果，如图 4 中的图表所示。

图：线性方程y=5x+1（红色）对比指数方程y=5^x（蓝色）。

线性方程的图形是一条直线，并以稳定或恒定的速率增加。另一方面，指数方程的图形不是一条直线，而是以递增的速度增加，形成一条曲线。由于指数表达式中的幂表示基数乘以自身的次数，例如2³=2*2*2，那么随着幂的增加，我们乘以相同值的次数越来越多。这种关系导致y一开始缓慢增加，然后随着x值的增加而增加得更快，这会导致图形在形状上显示为弯曲或凹陷。

当初始值a为正时，指数方程的图形可以分为指数增长（向右增加）或指数衰减（向右减少），具体取决于b的值；请参阅图5中的两张图，比较生长和衰减。

图5 指数增长（左）和指数衰减（右）。

当b>1，y值向右增加时，发生指数增长。当0<b<1，y 值向右减小时，发生指数衰减，两个图都是凹形的。

当a<0时，指数方程的图形会向下凹，增加x值会产生越来越负的y值。虽然这在数学上是完全可以接受的，但在科学中，初始值a很少为负数。因此，我们在科学中使用的大多数图表看起来像图5所示的指数增长或衰减曲线。

【考考自己】指数方程的图是一条____。

a.曲线

b.直线

案例问题1

假设你在2015年大学毕业，一家公司希望以每年40000美元起薪雇佣你，该公司还承诺，至少在工作的前五年每年加薪5%。让我们来看看你的薪水在五年内将如何变化。

设x=合同开始后的年数，y=x年后的年薪（以美元为单位）。加薪意味着把之前的薪水乘以1.05，即100%（原始金额）+5%（加薪）=105%（注意必须将百分比表示为小数。这些计算的结果如下表所示。

x年	年薪（5%上涨）	涨薪后的年薪
0	40,000.00 = 40,000.00⋅(1.05)⁰	$40,000.00
1	40,000.00 (1.05) = 40,000.00⋅(1.05)¹	$42,000.00
2	[40,000.00(1.05)](1.05) = 40,000.00⋅(1.05)²	$44,100.00
3	[40,000.00(1.05)²](1.05) = 40,000.00⋅(1.05)³	$46,305.00
4	[40,000.00(1.05)³](1.05) = 40,000.00⋅(1.05)⁴	$48,620.25
5	[40,000.00(1.05)⁴](1.05) = 40,000.00⋅(1.05)⁵	$51,051.26

表3 案例问题1的计算

请注意，第0年代表工作的第1年，薪水不乘以任何数，或者可以认为 40000美元•(1.05)⁰=40000 美元•1=40000美元。然后在第1年，40000 美元乘以(1.05)¹，即 1.05。对于第2年，40000美元乘以(1.05)两次，一次是第1年的加薪，第二次是第2年的额外加薪。这给了我们40000美元 • (1.05)²。这种模式每增加一年就会继续，1.05上的指数是年数。

在薪资这个场景中，起薪a是初始值。值b=(1 + 0.05)或1.05，可以认为是上一年工资的100%加上5%的增长。将这两个值代入，方程变为 y=40000(1.05)^x，其中x是自被雇用以来的年数。有了这个指数方程式，我们可以算出在工作任何年数后的薪水，只要不发生其他变化。

【考考自己】年薪每年增长特定百分数，计算未来薪酬应使用____。

a.线性方程

b.指数方程

案例问题2

再来看圣马修岛的驯鹿，我们写一个指数方程来表示种群数量的增长。因为我们并没有逐年的数据，或者固定时间间隔的数据，所以这个问题需要一些处理，才能解决。首先，我们要把年份(1957年)换算到1944年引入驯鹿后过了多少年。这个年数就是方程中的x，而y就是岛上的驯鹿数量。我们由此有了三个数据点，1944年(0年)、1957年(13年)、1963年(19年)。

年份	引入驯鹿后的年数(年份-1944)	驯鹿数量
1944	0	29
1957	13	1350
1963	19	6000

表4 圣马修岛上的驯鹿数据

驯鹿数量的初始值是29，因此a=29。我们需要确定b是多少，才能完整写出方程。但手酸并不容易，因为我们没有逐年数据。我们用excel之类的软件可以写下（(0,29),(13,1350),(19,6000)），然后在方程列表里找到一个适合这组数据的指数方程。通过统计（回归）过程，得到一个指数方程

y=30.14(1.33)^x

因此b为1.33。对比案例问题1里的b为1.05，也就是每年5%增速。而这里（1.33-1.00=0.33或33%），也就是说驯鹿的增速是每年33%！

这个方程可以用来近似求得1944到1963年之间任意年份的驯鹿数量。然而我们必须记住，这个数学模型是从有限的数据中得出的，实际数据可能会和方程值有略微偏差。比如，1963年，我们把x=19代入(1963-1944=19

)

，得到

y=29(1.33)¹⁹=6520 头驯鹿

但这个数值比实际当时岛上数到的驯鹿更大些。数据差异有几个可能原因，比如研究者数数的误差、驯鹿种群数量的自然变化、数学模型不精确（由于只有三个数据点）。了解更多数学模型，可以参见“科学研究中的建模：通过简化系统来做出预测”模块。

科学中的指数方程

科学中好多情况都用到指数方程，模拟病毒性疾病在人群中的传播、估计给定高度的大气压力、核裂变中的链式反应。所有这些过程都涉及一个几何级数：例如，一个携带病毒的人可以感染另外十个人，而这十个人中的每一个人都可以感染另外十个人。所有这些情况，都可以使用指数方程对真实世界的数据进行建模，这些方程可以提供对未来行为的预测。求解指数方程是得出变量的宝贵工具，例如增长率、衰减率、经过的时间、某物在给定时间的数量。

资料来源：

Anne E. Egger, Ph.D., Janet Shiver, Ph.D., Teri Willard, Ed.D. “Exponential Equations I” Visionlearning Vol. MAT-3 (2), 2014.

https://www.visionlearning.com/en/library/Math-in-Science/62/Exponential-Equations-I/206

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References

Cajori, F. (1913). History of the exponential and logarithmic concepts. The American Mathematical Monthly, 20(2), 35-47.
Curtis, L. J. (1978). Concept of the exponential law prior to 1900. American Journal of Physics, 46(9), 896-906.
Descartes, R. (1637). La Géométrie. Leyde: Jan Maire.
Klein, D. R. (1968). The introduction, increase, and crash of reindeer on St. Matthew Island. Journal of Wildlife Management, 32(2), 350-367.

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